Soient

(1) F(aî) = Aaj» + Ba; + C > 0,

(2) f(x) = ax* + bx + c> l',

les deux inéquations respectivement équivalentes aux inéquatiou système donné. 11 nous suffit de trouver les solutions commune; inéquations (1) eti2).

CoDsidéroas les iréalîsaots des deux fondions V{ee) el f{w). Trois cas se présentent :

1° L'un des réalisants est négatif.

Si le coefficient de x' dans l'inéquation correspondante est positif, les solutions de cette inéquation sont tous les nombres depuis — <» jusqu'à 4- oo , et les solutions du système sont toutes les solutions de l'autre inéquation.

Si le coefRcient de x* dans l'iDéquation correspondante est m cette inéquation n'a pas de solution. Le système n'a pas de sol

3* L'un des réalisants est nul.

Fixons les idées. Supposons que le réalisant de l'inéquati soit nul.

Si A. est positif, l'inéquation (1) a pour solution tous les no depuis — 40 jusqu'à + co , excepté le nombre X'. qui est la double de l'équation

Les solutions du système sont toutes celles de l'iDéquatio excepté X', lorsque ce nombre se trouve parmi ces solutions.

Si A est négatif, l'inéquation (1) n'ayant pas de solution, il i de même du système proposé.

3" Les deux réalisants sont positifs.

Les deux inéquations s'écrivent

\{x ~ X')(x - X") > 0, a(x - af}(x - X-) > 0.

La résolution de chacune d'elles (144) détermine des intervalle lesquels x doit être compris. Ces intervalles sont limités ( valeurs suivantes, que j'écris dans un ordre quelconque : — •0, X', X", x', x", + oc .

Classons ces valeurs par ordre de grandeur, ainsi que nous appris à k faire (162).

11 est alors facile de voir quels sont les intervalles dans l X doit se trouver pour satisfaire à la fois aux deux inéquatioi solutions du système sont les valeurs comprises dans ces intei

Exemple : Je suppose que les solutions de la première inéc soient données par

— X ^ a; < X' et X" < a: < + » , ■

et celles de la seconde par

af <x <x''.

Je suppose^ en outre, que les valeurs remarquables soient classées de la façon suivaate :

- 00 < rc' < X' < X" < a;'' < 4- 00.

Les solutions du système sont définies par

af <x<\' et \" <x< x\

169. Remarque. — La résolution d*un système formé d'une. in équation et d'une relation conditionnelle, ou bien de deux relations conditionnelles, se fera par la même méthode.

170. Application. — Soit le système des deux inéquations simultanées

(1) (X - \)x^ - !2aj - A > 0.

(2) ic* - Xa? - 2 > 0,

dans lesquelles X peut recevoir une valeur quelconque. Les fonctions qui composent ces inéquations ont été étudiées (167)4 J'utilise les résultats.

Les deux réalisants sont toujours positifs.

Lorsque X 5c 1, Tinéquation (l) s'écrit

(>, -, i)(aî - X'){x - X'') > 0.

Si A < 1, ses solutions sont données par

Si X > 1, ses solutions sont données par

-a><ic<X' et X''<a?< + oo.

Lorsque X = 1, l'inéquation (1) s'écrit

et ses solutions sont données par

L'inéquation (3) s'écrit dans tous les cas

(x - x')(x - rc") > 0.

Ses solutions sont données par

— X < oj < a?' et 05" < a; < -*- (X.

— U5 — Nous avons alors le tableau suivant, dans 1< 'o i les racines de l'équation

ij