PRINCIPES RELATIFS AUX IDENTITÉS ET AUX INIDENTITÉS
Identités.
13. Principe. — Si Von ajoute une même quantité algébrique aux deux membres d'une identité, ou si l'on retranche une méms quantité algébrique des deux membres d'une identité, on a encore une identité.
Ce principe est évident.
14. Remarque. — Lorsqu'on fait passer un terme d'une identité d'un membre dans Tautre, en changeant son signe, on a une nouvelle identité ; car si T est le terme en question, l'opération revient à retrancher T des deux membres de l'identité.
15. Principe. — Si l'on multiplie ou divise par une méms quantité algébrique les deux membres d'une identité, on a encore une identitém
Ce principe est évident.
Application. — Soit l'identité évidente
On en déduit^ en divisant les deux membres par le produit
(6 — c){a — c){a — 6), l'identité
d'où
16. Remarque. — Lorsque, ôhtïs une identité, certains termes contiennent des dénominateurs, en multipliant les deux membres par une expression multiple do tous les dénominateurs, on a une nouvelle identité qui ne contient plus de dénominateurs.
Par cette opération, on dit qu'on a chassé les dénominateurs.
17. Principe. — Si l'on élève au carré les deux membres d'une identité, on obtient une nouvelle identité.
Ce principe est évident.
Inidentités.
18. Principe. — Si Von ajoute une même quantité algébrique aux deux membres d'une inidentité, ou si Von retranche une méms quantité algébrique des deux membres d*une inidentité^ on a encore une inidentùé.
Il suiSt de justifier ce priacipe quand ou ajoute une même quantité car retrancher une quantité revient à ajouter cette quantité prise en signe contraire.
10 Soit rinidentité
Par définition, nous avons
d'où, évidenmient,
(A -h C) - (B 4- C) > et (6)
^ Soit rinidentité
Par définition, nous avons
B>A, d'où, daprès ce qui précède,
B 4- C > A + C, e'est-Jt-dire
19. Remarque. — Quand on fait passer un terme d'une inidentité d'un membre dans l'autre, en changeant son signe, on retranche en réalité une même quantité des deux membres de rinidentité, on a donc encore une inidentité.
20. Principe. — Si Von multiplie ou divise par une même quantité algébrique positive les deux membres dune inidentiléy on a encore une inidentité,
il suffit de justifier ce principe quand on multiplie par une même
quantité, car diviser par m revient à multiplier par m' = — •
Soit Tuoe ou Tautre des inidentités
Nous en tirons les inidentités
A- B^O, d*où, si m est un facteur positif quelconque, les inidentités :
SI.Pqingipe. — Si Von multiplie ou divise far une même quantité NÉGATIVE {65 deux membj^es d*une inidentité et si l'on change le sens de l'inégalité, on a une nouvelle inidentité.
Comme précédemment, on peut se borner à examiner le cas de la multiplication.
Soit Tune ou l'autre des inidentités
Nous en tirons les inidentités
A - B ^ 0, d'où, si m est un facteur négatif quelconque, les inidentités :
m A — wiB ^0,
Application. — Soient les trois quantités algébriques a, 6, c, que je suppose rangées par ordre de grandeur croissante de la façon suivante :
Remarquant que les différences (a — 6), (6 — c), (a — c) sont négatives, et partant de l'inidentité
nous en déduisons, en multipliant les deux membres par le faetc^ur
positif {b — c){a — c), TiDidenlité
a(b — c){a — c) < 6(6 — c){a — c) ou
a'(6 — c) — abc ■+■ ac^ < 6*(a — c) — aôc -+- 6c* et (19)
o«(6 - c) + c>(a - 6)< 6«(a - c), puis, divisant par le facteur négatif {a — 6)(6 — c){a — c), Tinidentilô
(a - 6)(a - c) (6 - c){a - c) (6 - c)(a - 6) ou bien
+ 71 tt; r + •; rr. : > 0.
22. Remarque. — Lorsque, dans une inidentité, certains termes contiennent des dénominateurs, si l'on peut former une expression qui soit multiple de tous les dénominateurs et dont on connaisse le signe, l'un ou l'autre des deux principes (20) et (21) permettra de chasser les dénominateurs.
D'ailleurs, on pourra toujours appliquer le premier principe si Ton réduit tous les termes au même dénominateur et si Ton multiplie les deux membres par le carré du dénominateur commun, quantité nécessairement positive.
23. Principe. — Si Von élève au carré les deux membres d'une inidentitéy on peut obtenir :
1^ Une inidentité de même sens.
Exemple: 5>- 3 et 2S> 9;
2<* Une inidentité de sens contraire.
Exemple: 3 > - 8 et 9 < 25 ;
3® Une identité.
Exemple: 3 > — 3 et 9= 6,
DES ÉQUATIONS ET DES INÉQUATIOINS A DlfE iNconnuB
E4. DftnHinoH. — On appelle varit^te indépendante, toute quantité
;ébrique qui peut recevoir des valeurs arbitraires.
m. Considérons une expression a%ébrique contenant la variable
lépendante x.
La valeur de l'expression dépend de la valeur qui est donnée à x.
ur cette raison, on dit qu'elle est une fonction de x, et on la repré-
ite par l'un des symboles
F{x), f{x), <p(cc), ...
si l'on donne à a; la valeur connue a, la fonction, que je suppose présentée par F(a;), prend une valeur que l'on peut calculer, puisque utes les quantités qu'elle renferme sont alors connues. Nous représenterons celte valeur par F(a), Exemple: Si
F{ir) = x* - 2ox + 2a', i a, par déûnition,
De même,
36, Quand on écrit une équalion, on y regarde nécessairement les connues comme arbitraires. Si nous ne considérons que des équations une inconnue, x, cette inconnue est, provisoirement, une variable dépendante dont les deux membres de l'équation sont des fonctions. Ceci nous conduit à représenter symboliquement une équation à le inconnue de la façon suivante:
FM = nx).
37. D'après une définiliou précédente, pour qu'un nombre a soit
racine de cette équation, il faut et il suffit que l'égalité
F(«) = /(«) soit une identité.
28. Des considérations analogues conduisent pour les inéquations à une inconnue à la représentation symbolique
¥(x) > f{x)y ou bien F{x) < f{x).
Ajoutons que pour qu'un nombre à soit solution d'une inéquation ainsi représentée, il faut et il suffit que l'inégalité
F(a) > /"(a), ou bien F(a) < /"(a)
soit une inidentité.
29. Remarque. — Une équation peut avoir plusieurs racines. Soit Téquation
(1) CD» - 2a» = ax.
Si l'on remplace x par — a, l'équation devient l'identité
Si l'on remplace x par 2a, l'équation devient l'identité
L'équation (1) admet donc au moins les deux racines
— a et 2a.
30. Remarque. — Une inéquation peut avoir une infinité de solutions. Soit l'inéquation
On constate facilement que tous les nombres dont la valeur absolue est supérieure à celle de a transforment l'inéquation en une inidentité, c'est-à-dire satisfont à l'inéquation.
L'inéquation (1) a donc une infinité de solutions.
31. Remarque. — Nous emploierons spécialement le mot racine pour désigner un nombre qui satisfait à une équation, et le mot solution pour désigner celui qui satisfait à une inéquation.
32. Définitions. — Deux équations (ou deux inéquations) sont équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes racines (ou les mêmes solutions).
lésoudre une équation {ou une inéquation), c'est en chercher les ines (ou les solutions).
3. REMAHotB. — Il esl évident que, dans la résolution d'une équation d'une inéquation), on peut remplacer cette équation (ou celte ]ualton) par une autre équivalente.
