ÉQUIVALENCE DES ÉQUATIONS

*. Théorème. — Si l'on ajoute une même quantité aux deux membres

le éqvaiion, ou si Ton retranche une même guanlité des deux membres

le équation, on obtient une équation e'quivaknte.

i puis ne considérer que le cas de laddilion, car retrancher une

Qtité, c'est ajouter cette quantité prise en signe contraire.

I dis que les deux équations

équivalentes.

' Soit « une racine de l'équation (i).

'égalité m=m

iJors une identité. On déduit dv là (13) l'identité

prouve que le nombre « est une racine de l'équation (2). Soit a une racine de l'équation (â).

égalité

/(«) + ^{^) = fia) + ?(a)

me identité. On en déduit (13) l'identité

/•(•) = ri'),

I nombre a. est une racine de l'équation (1).

molusion: Les équations (1) et (2), ayant les mêmes racines, sont

valentes.

': Remarque. — Nous avons supposé qu'on ajoutait une fonction ;. Le raisonnement subsiste quand on ajoute une quantité indélante do x-

se. Corollaire. — Si Von fait passer un terme d'une équation

d'un membre dans Vautre^ en changeant son signe, on obtient une

équation équivalente.

En effets ropération revient à retrancher des deux membres le

terme en question.

Exemple : Les deux équations

CD' — 2o" = axy X* — ax = 2a« sont équivalentes.

37. Corollaire. — // est toujours possible de trouver une équation

de la forme

équivalente à une é(fuation de la forme

Il suffit de faire passer tous les termes du second membre dan» le premier, en changeant les signes de chacun d'eux. La nouvelle équation est

Si Ton désigne la différence f(x) — f'{x) par F(x), elle s'écrit

Exemple : Les deux équations

05» = 2a« + ax,

X* — ax — 2a" = sont équivalentes.

38. Théorème. — Lorsqu^on multiplie ou divise les deux membi*es d'une équation par une même quantité qui ne contient pas Vinconnue et qui n'est ni nulle, ni infinie^ on a une équation équivalente.

Je puis ne considérer que le cas de la multiplication, car diviser

par une certaine quantité m, c'est multiplier par son inverse — •

Soit l'équation

(*) f{x) = rix).

Posons

¥{x) = f{x) ^ rix).

quatioD

F{x) = [uivalente (37) à l'équation (1).

lignons par M la quantité par laquelle on multiplie les deux m^n- !e l'équation (1). Après cette multiplication, on obtient l'équation

/{x). H = f{x). M it équivalente (37) & l'équation

is nous proposons de démontrer que, si la quantité M. n'est ni ni infinie, les équations (i) et (3) sont équivalentes, uffit d'établir l'équivalence des équations (2) et (4). servons que si l'on donne à x une certaine valeur, la quantité M e contient pas a: ne change pas.

Soit a une racine de l'équation (2).

galité

le identité. Comme te nombre M n'est pas inSûi et que F(a) est e produit F(a).M est lui-même nul. L'égalité

F(«). M = )nc une idenlité, et le nombre « est une racine de l'équation (4). Soit a une racine de l'équation (4).

galité

F(a).M = le identité. Comme le nombre M n'est pas nul et que le produit M l'est, il faut que F(a) soit nul, c'estr-à-dire que l'on ait l'identité

F(a) = 0, lombre a est racine de l'équation (2).

xlusion : Les équations (i) et (4) admettent les mêmes racines, sont équivalentes, ainsi que les équations (1) et (3). ICATI0N3. — Soit l'équation

ax^ -h bx + c = 0, laquelle je suppose que a soit fini et différent de zéro.

Cette équation est équivalente à

ainsi qu'à

4a*aj* + iabx 4- iac = 0.

39. Conséquence. — Lorsque certains termes d'une équation contiennent des dénominateurs et que ces dénominateurs sont numériques, c'est-à-dire ne renferment pas l'inconnue, en multipliant les deux membres de l'équation par une quantité multiple de tous les dénominateurs, m chasse les dénominateurs et on obtient une équation équivalents.

Exemple : Soit l'équation

ce — a 6__aj— 6 b a ~^ a '

En multipliant les deux membres par le produit ab, qui est multiple de tous les dénominateurs, oîi obtient l'équation équivalente

a{x -- a) — b^ = b{pc — 6),

qui n'a plus de dénominateurs.

40. Remarque. — 11 arrive souvent qu'on multiplie les deux membres d'une équation par une quantité qui contient l'inconnue et qui, par conséquent, peut devenir nulle ou infinie pour certaines valeurs de cette inconnue. Comme on ne se trouve plus dans les conditions du théorème précédent, on ne peut plus affirmer que l'on ait une équation équivalente.