Soit l'équation
On constate facilement qu'en chassant les dénominateurs on obtient une équation équivalentf*, qui est
(x — a)[ajc^ — b{a -h b)x — a6*] =51 0,
et qui se décompose en deux autres :
X — a = 0, ax'^ — b[a -\- b)x — ab^ = 0\
que Ton sait résoudre. ' L'équalion proposée a donc trob racines :
b{a H- 6),±:V6»(a 4- bf + 4a*6«
188^ Soit Féquation
Cette équation équivaut à
(2) ûc - 3 = v/2aî - 3.
Élevons les deux membres de réquatioii (2) au carré. Nous obtenons une équation équivalente à la suivante :
(3) ^ ce» - 8a; + 12 = 0.
• • • j> On sait (49) que toute racine de l'équation (2) et, par suite, de
l'équation (1), est racine de l'équation (3); mais la réciproque peut
ne pas être vraie. . )
On résoudra donc l'équation (1) en cherchant les racines de l'équation (3) et conservant toute racine qui satisfera à la première.
L'équation (3) admet les deux racines 2 et 6. En remplaçant, dans l'équation (1), x successivement par 2 et par 6, on constate que le premier nombre ne satisfait pas à cette équation; mais que le second convient. Par conséquent, l'équation. (1) admet la racine unique
189. Rebiarqus. — Au Heu de résoudre tout d'abord l'équation (3) et de substituer ses racines dans l'équation (1), on aurait pu procéder de la façon suivante : -
Puisque Féquation (3) est équivalente (SO) à l'ensemble des équations .
toute racine de Téquation (3) est une racine de Tune des équations (4), et, si Ton remplace dans ces équations x par Tune quelconque des racines de l'équation (3), Tune de ces équations devient une identité.
En formant le réalisant de Téquation (3), on voit que les racines de cette équation sont réelles. La substitution dont nous venons de parler donne donc à a; — 3 une valeur réelle, et le second membre de celle des équations (4) qui devient une identité, prend nécessairement une valeur réelle.
Il résulte de là que le radical ^2x — 3 est rendu réel par chacune des racines de l'équation (3).
D*ailleurs, si la racine substituée convient à la première des équations (4) , comme elle rend le second membre positif, il faut qu'elle rende a? — 3 positif; si cette racine convient à la seconde, elle rend a? — 3 négatif.
Par conséquent, pour qu'une racine de l'équation (3) satisfasse à Téquation (i), il faut et il suffit qu'elle soit une solution de l'inéquation
ce - 3 > 0,
^t Ja résolution de l'équation (1) est ramenée à celle du système
f(x) = ce» - 8aî -h 12 = 0, ce— 3>0.
Pour résoudre ce système (17S) nous formons f(3) ; nous trouvons
ce qui prouve que 3 est compris entre les racines de l'équation
fix) = 0.
La plus grande racine convient donc seule à l'inéquation, et l'équation proposée a une solution unique :
190. Remarque. — Appliquée à Téquation précédente, cette méthode a pu sembler moins avantageuse que la vérification directe employée tout d'abord ; mais lorsque l'équation a des coefficients littéraux, elle est le plus souvent préférable.
19). Soit réquatîon
(1) 05-4- y/ai^'lx — a) = Za^
dans laquelle on suppose a quelconque.
Considérons l'équation équivalente
et élevons au carré. Nous trouvons une équation qui équivaut à
(3) ûc*- 8aaj4- 10a* = 0.
L'équation (3) ayant ses racines réelles, on peut répéter le raisonnement du n® 189, et la résolution de l'équation (1) se ramène à celle du système
( f{x) = a?» - 8ax + 10a» = 0,
Or,
f{Za) et le coefficient de x^ sont de signes contraires. 3a est compris entre les racines de l'équation (3). La plus petite racine de cette équation satisfait seule au système (4).
n s'ensuit que l'équation (1) a une seule racine, qui est
si
et
a? = a(4 4- v^O), si
Remarque, — Agissons comme au n® 188, c est-à-dire essayons la vérification directe.
Les racines de l'équation (3) sont
x' = a(4 - v/6), x' = o(4 -t-v/ÏÏ).
Si l'on substitue œ'dans le premier membre de l'équation (1), on trouve
a(4 - v/6) -H v/a«(7 - Vê)-
Le radical y a«(7 — 2v/t)) étant, par définition, une quantité positive, ce radical est égal à
