RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION BICARRÉE

19S. Soit l'équation

(1) ax^ -{-bx^-^c^iQ. .

Considérons l'équation du second degré

(2) ay^ + by + c = 0,

obtenue en remplaçant ce* par j/, et supposons o jt 0, ce qui revient à admettre que les équations (1) et (2) n'ont pas de racines nulles.

Il est évident que si uu nombre a est une racine de l'équation (1),^ son carré est une racine positive de l'équalion (2), et qu'inversement,

si p est une racine positive de Téquation (2), ses deux racines carrées algébriques sont des racines de l'équation (1). Par conséquent, on aura les racines de Téquation (1) en cherchant les racines positives de réqualion (2) et prenant leurs racines carrées algébriques.

Conséquences :

1° Si l'équation (2) a ses racines imaginaires, ou ses racines réelles, mais négatives, l'équalion (1) n'a pas de racine.

2® Si l'équation (2) a une racine positive et une racine négative, ou deux racines positives, mais égales, ce qui en réalité ne fait qu'une racine positive, l'équation (1) a deux racines, qui sont les racines carrées algébriques de cette racine positive.

3^ Enfin, si l'équation (2) a ses racines positives et inégales, Téquation (1) a quatre racines, qui sont les racines carrées algébriques de ces racines.

196. Remarque. — Dans l'hypothèse c ?£ 0, l'équation bicarrée a zéro, deux ou quatre racines.

Lorsqu'elle a des racines, ces racines sont deux à deux de même valeur absolue et de signes contraires.

197. Remarque. — Les racines de l'équation (2) étant représentées par

— 6 it \/b* - Âac

celles de l'équation (1) seront données par la formule

(3) .,= ±y/=i£v/6>-4ao

'la dans laquelle il faut associer les signes des quatre manières possibles.

198. Remarque. — Lorsque les racines de l'équation (2) sont égales, ce qui correspond à

6* - 4ac = 0,

les quatre valeurs que fournit la formule (3) se réduisent aux deux suivantes :

— iiT ainsi que cela derait être, puisque, dans ce cas, l'équatio: que deux racines.

Pour la commodité du langage, on dit que l'équation (1) quatre racines, mais égales deux à deux.

499. Rbmarqub. — Lorsqu'une des racines ou les deux i t'équation (3) sont négatives, les expressions correspondant formule (3) sont imaginaires.

Quand les racines de l'équation (â) sont imaginaires, b: n'ait plus, en apparence du motnê, des expressions de la mêi on dit cependant encore que les quatre valeurs que donne la f( sont imaginaires.

Il résulte de là que l'équation (1), tout au moins dabs 1' c ?^ 0, a toujours quatre racines. Ces racines sont réelles □aires. Le nombre des racines imaginaires est quatre, deux