AB = &, CP = A
Désignons par ic et y les nomin'es qui mesurent la base DH et la hauteur DK du rectangle DHIK demandé.
Puisque le rectangle doit avoir un péri- 'on ait
(â) équivautà
dam la prtimière, OD a h- b '
i ie système (j), est équivalent au Buivant:
par les formules (3),
secondu équation n'est jamais satisfaite, ; système de racines.
se réduit à l'unique équation
nés de racines, obtenus en donnant à l'une rbitraire et calculant la valeur correspoD-
= avec A - p 9* 0, le système (1) le problème est impossible.
. dans les deux cas où nous avons trouvé icines satisfont aux inéquations
Si Ton a
ft - 6 > 0,
les racines fournies par les formules (3) ne satisferont aux inéquations
que si Ton a
c'est-à-dire
Si l'on a
les racines fournies par les formules (3) ne satisferont aux inéquations
que si Ton a
c'est-à-dire
Conséqxience : Pour que les formules (3) satisfassent aux inéquations et donnent par suite un système de solutions du problème, il faut et il suffit que p soit compris entre b et h.
Remarque. — Si p = 6, ou bien si p = A, l'une des inconnues est nulle; le rectangle se réduit à une droite, qui est la base ou la hauteur du triangle.
Le système (1) a une infinité de racines, obtenues en donnant^ dans l'équation
une valeur arbitraire à y, et calculant la valeur de x correspondante. L'inéquation y > nous oblige à ne donner à y que des valeurs positives. Comme x ^ p — y, l'inéquation x > impose en outre la condition y < p.
Conséquence : Le problème a une infinité de solutions, obtenues en donnant successivement à y toutes les valeurs comprises entre et p et calculant les valeurs de x correspondantes au moyen de
Re^narqm. — La connaissance des nombres x et y permettant la construction du rectangle, nous pouvons regarder la question comme résolue.
PROBIiÈHE II
Sur le diamètre AB = 2R d'une demi-circonférence, déterminer un oint M tel que si par ce point on élève «ne perpendiculaire MN, mitée à son intersection N avec la demi-àrconférence, on ait AM + MN = 1,
étant une longueur donnée.
Désignons par xv^iy les nombres poùtifs ou auls qui mesurent les loiig:ueurs inconnues AM et MN.
On doit avoir
D'ailleurs, le point N étant sur la demi- ^ circonférence,
WN* = AM X MB; il faut donc encore que l'on ait
Ainsi les nombres que nous avons appelés X tX, y forment «n système de racines du système d'équations
ou du système équi\-aleut
obtenu par l'élimination de y.
Lu seconde des équations (2) étant du second degré, peut avoir ses racines imaginaires. Si celte particularité se présentait, le syslàme (â) n'aurait pas de lacines et le problème serait impossible.
Si les racines de la seconde des équations (2) sont réelles, le système (S), et par suite le sysième équivalent (1), admettent deux systèmes de racines, obtenus en résolvant la seconde des équations (2) et portant successivement dans la première les racines trouvées.
Ces deux systèmes de racines ne sont pas nécessairement des systèmes de solutions du problème. L'un quelconque d'entre eux, pour
être un système de solutions du problème, doit satisfaire aux relations conditionnelles
qui résultent de la définition des nombres œ et y. Cela d'ailleurs suffit,
car Téquation
y» = aj(2R - a?),
qui est alors satisfaite et dans laquelle y* et x sont positifs ou nuls, montre que 2R — a? est positif ou nul, c'est-à-dire que
Le point M ne sort pas de la demi-circonférence; la construction est possible.
Remarquons qu'en vertu de l'équation
nous pouvons remplacer la relation
par la suivante :
En résumé, nous aurons les solutions du problème en résolvant le système
et portant les résultats dans Téquation
yz^l-x.
Résolution du système
J'applique la méthode exposée av n® 17S.
Calculs préliminaires.
l^Le réalisant de Téquation est
p = « f« + 2RZ -H RK
— iHÎ — fonction da second degré en / doal le réalisant est posiiif.
- P + 2R/ + R» = les réelles, f et l'(t < V), et l'on ft
>its que les nombres ^ et l' ayant pour produit — R', sont mtraires. f est donc négatif, et, puisque ( est positif par e biaAme i — f est positif, p est du signe de
asittf.
F(f) = 1(1 - SR).
:u signe de t— 2R.
K(±oo) = +oo.
ist positif, omme des racines x et x' {x' < x') de l'équation
2 ' >urs supérieure à zéro.
;uT9 fournissent pour 1 les veleurs remarquables
t, F„ iK.
I leurs relations de grandeur.
,11) = - ;■ j- îlll + R'.
Comme {' est la racine positive de
cp(Z) = et que
cp(2R) = R%
C est compris entre 2R et + oo . Le classement est
Conséquences :
F(±:oo)
