RS 4R
[ui se rangent par ordre de grandeur croissante de la façon suivante :
Remarquons que F(± » ) est positif. Désignons par s! et a;" (a:' les racines de l'équation F(ir) = quand elles sont réelles et obse que la demi-somme de ces racines, élant -^, est comprise en et 2R.
RÉSULTATS
IIR'
iR>
PlOl
SOLDTlONSDUS-iSrÈUE(l)
Les racines de l'éqoaUon F(x) = étant naires, le système n'a pas de solution.
Le système a une solution &R
Les racines de l'équation V\x) — soni celui des intervalles
— 00 2R - + =0 qai contient leur demi- somme.
Cette demi-somme étant comprise entre le système a deui solations
{ Le système a deux solutions
Une racine de l'équation F(ic) ^ est co enti-e et 2R ; l'autre, entre 2R et + oo .
Le système a une solution 3; = ai.
\ s! :=^ Le Bystéme a une solution -j x" > 2R 3i = X- = 0.
Les deui racines de l'équation F(a;) = eitérieures * l'intervaUeO 2R.
Le système n'a pas de solution.
ff
'MMê^m?my%: — 218 -
ï^^sï^^vï^)" V ' Conclusions.
Toute solution du système (1) étant une solution dû problème et réciproquement :
Lorsque Ton a
-^ < k^ < 4RS
le problème admet deux solutions
ce ^^ ce y Cu *]/ y
qui sont égales pour
Lorsque Ton a
le problème admet une solution
p )ur toute autre valeur de /t* le problème est impossible. Observons que
, 5R - \/3A:» - HR'^ ^, 5R + v/3A:» - liR> a; = 5 > ar' = .
II. Problème. — Chercher les valeurs de.x qui salis fcmt à V inégalité
(C:rlificat d*aptUude au profetisorat des Écoles normales^ 1887.)
En faisant passer tous les termes dans le premier membre et réduisant au môme dénominateur, on obtient l'inéquation équivalente
x^ — ax — Qa^ ^
La fonction du second degré x'^ — ax — 6a*, dont le réalisant est positif, peut se mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs binômes du premier degré. Elle s'écrit
{x + la){x - 3a).
Quant à la fonction x^ — a*, elle est évidemment égale au produit
On a donc à résoudre Tinéquation
c'est-à-dire à trouver les valeurs de x qui rendent positive la fonction
Si nous remarquons maintenant que le signe de /"(x) dépend des signes des binômes
X + îa œ — 5a x + a x — a,
c'est-à-dire de la grandeur de x par rapport aux valeurs remarquabius
qui se rangent, par ordre de grandeur croissante, de la façon suivante
— 2a —a + a -)-3a lorsque a est positif, et en ordre inverse quand a est négatif, nous avons les résultats suivants :
x+ia
iE-t-a
x-Za
Toos les nombres de cet inter- Talle sont des solutions, à l'eiception de — âa, valeur pour laquelle /■(ar) = 0.
Aucun nombi'e compris entre
Tous les Donabrcs de cet intervalle sont des solutions. Les valeurs extrêmes convieonenl, caralo.sA^|^-F«.
Aucun nombre compris entre
Tous les nombres de cet intervalle sont des solutions, à l'exception de -t-3o, valeur pour laquelle f[x) = 0.
-la
valle sont des solutions, A l'ciception de +3a, valeur pour laquelle r(:c)^0.
Aucun nombre compris entre -H3a el-i-a n'est solution.
Tous les noinbresde cet intervalle sont des solutions. Les valcuL-s extrêmes conviennent, car alors Ak)= + '»-
Aucun nombre compris entre — a et — 2o n'est solution.
Tous les nombres de cet intervalle sont des solutions, à l'excention de —2a, valeur pour laquelle /■(a;! = 0.
Conclusion, — Les solutions de Tinéquation sont tous les nombres extérieurs à l'intervalle (—2a, +3a) et tous les nombres compris dans Tintervalle (—a, -f-a), ainsi que les deux nombres —a et -ha.
III. Problème. — m étant un nombre quelconque positif ou négatifs chercher y suivant la grandeur de m, le nombre des racines de l'équation
qui sont comprises entre — i et -h i.
(Cerlificat d'aptitude au professorat des Écoles normales, 488$,)
Calculs préliminaires. Le réalisant de Téquation est
P = ^(^n 4- ^ Vwi - 2 j ; il est du signe de
f{±i oo) est du signe de
/(— 1) est du signe de
/(+ 1) est positif.
Les valeurs remarquables de m, rangées par ordre de grandeur croissante, sont donc
Observons que la demi-somme des racines est 7^7-^ rr , que TcM? a
^^7 7:^ — 1> SI Ion a 7^0;
enfin que Ton a
3m -h 2 >> wi ^
rr; TT^l» SI 1 OU a T'>Q*
Comparaison de
- 1 e( + I aux l'ocines x' ei de l'équation f(x) = 0.
Une raci
On a - i <
— ; l'aulre
f prisée Une raci
Ou i
Les raci celui des i
qui conlie
La demi
est comprl Les deux v
\ ou.
Les racii
Les raci celui des ii
+ ao
U dem:
est donc su
— 22* — ns. — L'intervalle — 1, + 1 comprend une racine si l'on a
racines si l'on a
sblème. — Élanl donnée une demi-ciramfirence décHte sur diamètre, on considère une circonférence C, intérieure à la férmce donnée, tangente à cette demi-circonférence et tangente AB ; soit M le point de contact avec AB ; un demande de déterint M de telle sorte que, si l'on ajoute à la longueur AM (e : la circonférence C, on obtienne une somme égale à une lonée a; OTi désignera par R le rayon de la demi-circonférence
/Certificat d'aptUvde au professorat des ieiles Kormales, ISS9 j
Désignons AM par a; et le rayon inconnu le la circonférence C par y.
L'énoncé du probli^me donne l'équation
X + ty — a.
La relation géométrique " "■ " ÔM' = OK X OH
ïutre, queUe que soit la position du point M par rapport au 'équation
(x - Ri' ^ (R - 2y)R.
le formé par ces deux équations étant équivalent au suivant
œ» - 3Ra; + aR = 0,
is peine que la question revient à la résolution du système
F(ic) = ic' - 3Ra: + aR =
trélimmaires. 1" Le réalisant de l'équation V(x) = est
Ct-»)
F(0) = oR r(0) = a{a- 2R) ± oo) = -i- 00,
3° F(0) et F(±oo) sont toujours positifs. Les signes ( dépendent de la grandeur de a par rapport aux valeur
Observons que 2R est infôrieur h -j-. Désignons par x les racines de l'équation F{a;) = quand elles sont remarquons que la demi-somme de ces racines est -^
