PROBLÈME VI
On donne deux droites rectangulaires X'OXet Y'OY, et deuxpoints A
et A! sur la. première droite, à
Yl
[ », égale distance dupoint 0.
Déterminer un point M du plan XOY, qui soit à une distance donnée X de la droite X'OX et tel que le produit
MA X MA' = a».
Soit OA = OA' = c.
Désignons par a? et y les coordonnées du point M (voir
le problème précédent). Nous avons les équations
y = dz A,
y/y% -f- (ûç - cY .y/j/» +{x + cf = aS qui forment un système équivalent au suivant :
La résolution du problème revient évidemment à celle de ce système. D'ailleurs, à toute racine réelle de l'équalion (2) correspondent
deux valeurs réelles de y fournies par T^quation (1) et, par suite, deux solutions du problème. Ces solutions peuvent être confondues si X = 0.
La question est donc ramenée à la recherche des racines réelles de l'équation (2).
Résolution de l'équation (2).
Cette équation est bicarrée. Calculons ses trois réalisants et cherchons leurs signes.
!• Pi = (c* - X»)« - (À> -h c«;* -h a*
Pi est du signe de
p, est du signe de
fi est du signe de
Remarque. — Ces calculs donnent pour X* les trois valeurs remarquabl s
Classons ces valeurs.
4lî> «' - <'•.
■^ 211 — car celte inégalité revient à
4c« S« On a
4c* < si i'oaa
â^Ona
si Ton a
Il résulte de là que si l'on a
a« < 2 cS
le classement est
^ -" <4?<"- Si Ton a
il est
Remarqua. X* est un nombre quelconque supérieur ou égal à zéro. Zéro est donc une nouvelle valeur remarquable de X-. On a toujours
0<^ et • 0<c«;
mais on peut avoir
Conséquence : Différents cas sont à examiner selon la grandeur de a* par rapport à
0, cS 2c\ + 00 .
Résultats. — Pour la commodité de l'exposition, remplaçons, dans l'équation (2), x* par z et désignons par a et p (a < p) les racines de L'équalion obtenue, lorsqu'elles sont réelles.
l« Soit a* = 0.
Pi = — X«. L'équation (2) a toujours ses racines imaginaires,
excepté lorsque X = 0« Dans cette hypothèse, ses quatre racines sont égales deux à deux et égales les unes à + c, les autres à — c.
2» Soit
Pi
oc
Pi
RÉSULTATS
Oa a
a>0 et p>0.
L'équation (2) a quatre racines réelles, données par
L'équalion (3) a deux racines doubles, doinées par __
Les quatre racines sont imaginaires.
8° Soit
Pi
-hoo
RÉSULTATS
L'équalion (2) a deux racines nulles et deux racines réelles, données par
On a
a > et P > 0.
L'équation (2) a quatre racines réelles, données par
L'équation (2) a deux racines doubles, données par
X= ± \/cL.
Les quatre racines sont imagiaaires.
i^ Soit
Pi
-t-oo
RÉSULTATS
On a
a<0 et p>0.
L'équation (2) a deux racines imaginaires et deu: racines réelles, données par
L'équation (2) a deux rucines nulles et deux racines réelles, données par
On a
a>0 et f>0.
L'équation (2) a quatre racines réelles, données par
L'équation (2) a deux racines donble^, données par
Les quatre racines sont imaginaires.
S« Soit
-h OC
Pi
Ps
RÉSULTATS
On a
a<0 et (3>0 L'équation (2) a deux racines imaginaires et deux racines réel es, données par
ce = -+- \/p.
, — j a = P = 0. L'équation (2) a quatre racines nulles.
Le:
} quati
>e racines sont imaginaires.
6» Soit
2c» < a* < + oo.
pi
pi
bésultatl
Ona
«<0 et p>0.
racines réelles, donnéed par
a<0 L'équalion |2| a deni radnea imagi- ~ P = naires el deux rocines nulles.
Oaa
a<0 et. p<0.
Les quaire raciaea sont imaginairea.
Conclusions.
Toute racioe réelle de l'équation (S) rouroissant pour le problème deux solutions, distinctGR si X ;^ 0, confondues si X = 0, nous avons les résultats suivants :
Le problème n'est possible qae si X = 0, Il a deux solutions, qui sont les deux points A et A'.
Le problème n'est possible que si X < ^> Il a en général huit solutions, qui se réduisent à quatre, soil lorsque X = 0, soit lorsque / = — ■ Remarquons que si X = avec a = c, deux des quatre points trouvés se confondent avec le point ; en réalité il n'y a que trois solutions.
\a problème n'est possible que si X < — . ^"^*^^
Lorsque X < y/u* — c*, il a quatre solutions, qui se deux si X = 0.
Lorsque 1 = \/a* — C. il a six solutions. Deux de ces s doaneut deux points situés sur Y'OY.
Enûn, lorsque 1 > /o* — c% il a huit solutions, qui sent à quatre ei > = ^ •
Le problème n'est possible que si X < ^a* — C, Il a q tions, qui se réduisent à deux, soit lorsque X = 0, s X = /a' — c*. Dans cette dernière hypothèse, les deux poi sont sur Y'OY.
Remarijue. — Lorsque X t^ 0, les points qui répondent a sont symétriques deux à deux par rapport à X'OX.
Si l'on excepte les points qui se trouvent sur Y'OY, i encore que les divers points trouvés sont deux à deux ! par rapport à Y'OY,
Résolution de quelques problèmes laci donnés dans les concours.
I. Problème. — Étant donnée une demi-dreonférenœ A pose de trouver sur le diamètre AB un point P tel qu point P on élève une perpendiculaire sur le diamètre AB, q la circonférence en N, et ensuite que par le point N o parallèle à AB coupant la drcmférence en M, on ait
A* étant une quantité donnée.
(CiHipcat d'aptitude au professorat d<a Écoles non
Désignons la longueur inconni Dans l'équation
SÂS' + PM" = A'
figurent deux autres inconnue; * "" Q B je les représente par y et s.
On voit immédiatement que l'évaluation de PM nécessit d'une quatrième inconnue QM ; je l'appelle t.
L'énoncé du problème et des propriétés géométriques bien connues nous fournissent les quatre équations .
^if + ^» = A;», .
5J« = /* + (2R - txy.
t^ = x{lK - x),
dans lesquelles x, y, zeit ne peuvent recevoir que des valeur- réello& et positives. Nous devons donc joindre au système précédent les relations conditionnelles
Si Ton remarque maintenant que le calcul de y, zeit n'est pas demandé et qu'il suffit alors que ce calcul soit possible, on voit, après Télimination de y, z et t, que la question est ramenée à celle de la résolution du système
4R(2R - ic) -h x{m - x) -h (2R - 2a;)« = k\
Q<x< -2R, qui s'écrit
Y(x) = 3a;« - lORo? + ISR» - A« = 0,
Résolution du système (d).
Calculs préliminaires, 1® Le réalisant de l'équation V{x) =
go ^
F(2R) = — (A;« — 4R>), F(± oo) = + 00.
3<* Ces calculs montrent que les-signes des quantités p, F(0), F(2R) dépendent de la grandeur de k^ par rapport aux valeurs remarquables
