PREMIÈRE PARTIE

^[x) = o, on a d'ailleurs V</>'; d*OLi, en vertu de la relation V>/?,

Ainsi l'équation 9{x) = o a au moins autant de racines positives que Téquation /{x) = o; en particulier, si l'équation /{o[^) = o a toutes ses racines réelles et positives, il en est de même de l'équation

Je remarquerai, de plus, que. Vêtant dans ce cas égal à p, la substitution dans <^[x) des nombres o, w, sw, ... doit précisément donner^ variations; d'où il résulte que, i désignant un nombre entier quelconque, l'équation ^[x) = o a, au plus, une racine comprise entre /w et

{i-h- i)ci).

Posons, par exemple,

on aura

On voit que l'équation ^[x) = o a toutes ses racines réelles et, de plus, qu'on peut toutes les séparer en substituant dans le polynôme ^[x) la suite des nombres

o, 0), Qci), 3c(), ....

12. Comme je l'ai démontré, le nombre V des variations des termes du développement de e^^/[x) est au moins égal au nombre p des racines positives de l'équation /(a?) =o; ce nombre ne peut d'ailleurs que diminuer lorsque z prend des valeurs de plus en plus grandes. On peut se demander si, pour des valeurs sufBsamment grandes dejz (et, par conséquent, pour toutes les valeurs plus grandes), V sera précisément égal k p.

Supposons, ce qu'il est toujours permis de faire, que l'équation

1L\ THÉORIE DES ÉQUATIOlfS NUMÉRIQUES.

y(a?)= o n'ait pas de racine nulle. De ce que j'ai établi plus haut, il résulte, en supposant z positif, que V est au plus égal au nombre des racines positives de Téquation ^[x) = o, où 0(.r) représente le polynôme qui figure dans l'égalité (A) (n^ H ).

Soit a)*0(a)) le discriminant de ce polynôme; le nombre entier k sera généralement égal à zéro, sauf le cas où l'équation f[x) = o a des racines égales. Désignons par w, lui nombre positif inférieur à la plus pelile racine positive de l'équation 0(o)) = o, et faisons varier par degrés insensibles w, depuis o jusqu'à w,. L'équation $(a?) = o n'ayant jamais de racine nulle, puisque «o est différent de zéro, aucune racine négative ne pourra devenir positive; les racines qui étaient imaginaires pour 0) = o ne pourront pas devenir positives, car elles ne le pourraient qu'en devenant égales deux à deux, ce qui est im[)Ossible, puisque w est plus petit qiic (ù^. Il pourrait se faire, si l'équalion f[x) = O a des racines égales, que certaines racines positives multiples devinssent imaginaires; dans tous les cas, p' désignant le nombre des racines positives de l'équation 0,(^) = o, où ^^[oc) désigne ce que devient le polynôme 9[x) quand on y remplace w par w,, on a p'<,p.

Or, on a V</>'et, par suite, </;; d'autre part V>/?; de là, résulte Y = p] ainsi le nombre u}^ ayant été choisi comme je l'ai dit plus haut,

si Ton pose z = — > on est assuré que pour cette valeur de z (et pour

les valeurs plus grandes) le nombre des variations que présente le développement de ê'^fix) est exactement égal au nombre des racines positives de l'équation f{x] = o.

Ce théorème subsi^te évidemment si cette équation, contrairement à ce que j'ai supposé, avait des racines nulles.

Remarque. -— De là résulte une méthode entièrement différente de celle de Lagrange et de celle de Sturm pour déterminer exactement le nombre des racines positives d'une équation.

Cette méthode exige seulement le calcul du discriminant a)*0(a)) du polynôme ^(a?); mais, ce polynôme étant une fonction de la variable w, le calcul de ce discriminant ne laisse pas que d'être très pénible.

Ou a ensuite à déterminer une limite inférieure ro, des racines positives de l'équation 0(w) = o et, cela posé, le nombre des variations