PREMIERE PARTIE
Les termes de la diagonale principale présentent trois variations, mais, la suite
n'en présentant qu'une, on voit que l'équation proposée a une seule racine supérieure à l'unité.
A l'égard des racines positives inférieures à l'unité, je considérerai
la transformée en ->
qui donne le Tableau suivant :
d'où l'on conclut que l'équation n'a pas de racines inférieures à Tunité.
11. Soit /(a?) un polynôme entier; en désignant par w une quantité positive et par m un nombre entier arbitraire, considérons le développement, suivant les puissances croissantes de a?, de la fraction
Soit Y le nombre des variations de ce développement; il résulte de ce qui précède que le nombre V ne peut que diminuer quand le nombre m augmente ; il est d'ailleurs, au moins, égal au nombre p des racines positives de l'équation /(a?) = o, qui sont inférieures à w. Cela posé, faisons croître indéBniment les nombres co et m, de telle sorte que le rap-
port — ait pour limite un nombre donné positif z; y — ayant pour
limite c**^, on peut énoncer la proposition suivante :
z désignant un nombre positifs le nombre V des variations que présente le développement de e^^f[x) suivant les puissances croissantes de x
22 THiiORIE DES KQUATIONS NUMERIQUES.
ne peut que diminuer, quand z augmente, et il est au moins égal au nombre p des racines positives de V équation f[x)^=o. Soient
f(^x) =aQ -ha^œ -f-a2^"-^...-4- a,tX"
on trouve aisément
AQ = ao, A, = «0^-1- a,, A2 = ^o^^"^ ^^i^ -f- 2^/2» •••» et, en général,
A,- = «oC' H- laiS'""' -j-i(£ — i)a2c'~- -j- /(« — i)(« — 3)ûr3Z.'~' -f-
D'où l'on voit, z étant positif, que A^- est de même signe que l'expression
a,,z" ^ia^z''- * + i[i — i)a^z"-'^ '^i{i ^ Ov' — sj^aZ""'* -h...;
si donc on forme le polynôme
F(.r) = ûf^z" -ha,2"~\r -f- a^z'^~^x[x — 1) 4-...
le nombre V est égal au nombre des variations de la suite
Posons J5 = - et, en changeant x en -
i <i^[x) = a^ -¥a^X'\'a^x{x — co) h- a^œ[x — rù){x — 2w) 4-. . (A) J
( -I- a„x{x — 0)) ... (.r — w — iw),
V est aussi égal au nombre des variations de la suite
0(0), 0(ci)), 0(2w), ....
En désignant par p' le nombre des racines positives de Téquation
