Soit

F(;r) = aQ-h a^x -h a.^x'^ -f- . . .

une série indéfinie ordonnée suivant les puissances croissantes deœ, dans laquelle je suppose tous les coefficients positifs ou nuls, le premier étant différent de zéro.

Considérons l'équation

(i) f[x) = A, P{(/.ix) -j- Ar>F(a2^) H-- • . • -h A,,F(û(„ir) = o,

où les cci désignent des quantités positives que je supposerai rangées par ordre décroissant de grandeur, en sorle que l'on ait

«1 > «2 > ^.1 > • . > «,!-< > (Xn-

Cela posé, si nous développons en série le second membre de l'équation (i), nous aurons

/[x) = ao (A, -h Aa-f- .. . -f- A;,)

-f-rr, (AiGfi -f- AaSCo -h . . . -h \„Un)0C

-4- a2(A, «**-!- Aga^-^- ... H- A„(/.^^)x H-as(A,a'|-j- Aaa^-h . . . -h Kccl)x

et il résulte de la règle des signes de Descartes que le nombre p des racines positives de Téquation (i) [c'est-à-dire le nombre des quantités positives qui annulent /{x) et pour lequel le développement en série de cette /onction est convergent] est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la série indéfinie

] AiOc.-hA^oCi-^ . . . -f- A„a„,

A| a^-l- A^ccl -4- ... -h A^a,";,

Pour avoir une limite supérieure du nombre de ces variations, arrêtons cette série au terme de rang i,

Ai(/.\ -4- Aaa!^ -h ... -h A„a",

et désignons par V le nombre des variations que présentent ces 1 + i premiers termes.

En désignant par V" le nombre des variations de la série indéfinie

Ai(x\ -h Aja^-h . . . -h A;,a^, A| «'""h- Aa»'/* -h . . . -l-A„a',^*

on a évidemment V = V -h V".

Or la seconde série se composant des valeurs que prend la fonction

lorsqu'on y fait successivement a? = o, a? = i, a? = 2, . . . , le nombre des variations des termes de cette série est au plus égal au nombre des racines positives de Téquation <P{x) = o, ou encore au,nombre des racines supérieures à Tunité de l'équation

(2) A,a; z'^^^'-hA^a^s^^es^-. . . 4. a„x;,2^°b«« = o;

que l'on déduit delà précédente en posant ^=2.

Les nombres positifs a,, «3, . . . , u„ allant en décroissant, il en es! de même des exposants loga^, loga^, . . ., loga^,; il en résulte, en