PREMIÈRE PARTIE

vertu d^iiiie proposition démontrée plus haut (n*^ 5), que le nombre des racines de l'équalion (2) qui sont supérieures à l'unilé est au plus égal au nombre des alternances de la suite

En désignant par R le nombre de ces alternances, on aura donc

V''<R et V<V'4-R; d'où encore

14. Considérons, en particulier, le casoii Ton arrête la série (A) à son premier terme; il résulte de ce qui précède que p est au plus égal au nombre des racines de l'équation

qui sont supérieures à Tunité, et Ton peut énoncer cette proposition importante :

Théorkme I. — Le nombre des racines positives de r équation

A,F(a4a7)-4- A2F(aaa?)-|- . . . ~h A„F(a„a?)= o,

oà les quantités a, , a^» • • » OL^sont des quantités positives rangées par ordre décroissant de grandeur, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

15. On aurait pu, d'une façon plus générale, considérer l'équation

où 0( a?) désigne un polynôme entier. Mais je crois inutile de m'étendre sur ce sujet; ce que j'ai dit plus haut suffit pour faire voir de quelle manière on pourrait traiter cette question.

e-^-^^[z)(lz = o.

16. Appliquons les résultats précédents au cas où F(^) = c^; le développement de celte fonclion est, comme on le sait, convergent pour toutes les valeurs de la variable et ne présente que des coefficients positifs.

Soit Téquation

i\) A,e*.-^-h AoC^^^-f- . ..H- A„e^"^ = o,

où les nombres a,, «o, . . . , «„ vont en décroissant et sont, du reste, positifs ou négatifs.

Cette équation a évidemment les mêmes racin« s que Téquation suivante :

^^^fA^a,).r.^ A.e(*-*-«»^'-4- ... H- Alf^"«"= O,

où k désigne un nombre positif arbitraire que Ton pourra toujours choisir de telle sorte que les nombres (A -f-ai), [k -\- oc.,), . . . , (A -ha„) soient lous positifs.

En faisant application du théorème I, on en conclut que l'équation (i) a au plus autant de racines posilives que la suite

(A) A^ -h Ao -f- . . . -f- A^,

présente d'alternances.

Supposons maintenant que les nombres «,, «o» •••» assoient les différents termes d'une progression arithmétique dont la raison soit très petite et dont le premier terme et le dernier terme soient respectivement — a et — /; ; je suppose a <! A. Les coefficients A^, A < , . . . étant complètement arbitraires, on voit(|ue l'équation peut, quand la raison de la progression tend vers zéro, se mettre sous la forme

(2) / e''^'^[z)dz = o,

OÙ <J>(s) désigne une fonction entièrement arbitraire, continue ou