FORMATION DES INTÉGKALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

exposants « et ^ dey et x clans les différents termes de l'équation (3), on formera la ligne brisée convexe P {Jig- 1). dont les côtés succes-

sifs Co, C|, ..., C/,| passent par plusieurs de ces points, et qui laisse au-dessus d'elle tous les autres points. Le premier côté G„ part du point n situé sur l'axe Oa et le dernier C;^^, aboutit à un point l situé sur l'axe op. Au côté C, allant du sommet «j- au sommet «,+, correspond une manière de former le groupe des termes du moindre degré dans l'équation; soit

ce premier groupe, ordonné suivant les puissances décroissantes de v. En désignant par ;j. le degré de y par rapport à x, on a

les deux nombres entiers/) et q étant premiers entre eux, et par suite

- aui = kip, (3,+, — p,- = luq.

k et ki étant des nombres entiers.

Si l'on pose

X = x'P, y = vxi'- -■

riSEM!ÈHE PARTIE. - CHAPITBE I.

(5) U = A,.,^,).*' + 2Aa!îX*.- * + A,,^, 3,^,,

(6) F[.ï,j)=^='i:'^P/[0(<.} + ^'ip(,î;', ..)] = ^^ii'.-'*^[a;', v),

'F(ir', v) étant un polynôme entier en x' et c, et l'équation {?)) devient

Soit \ une racine simple de l'équation L, = o, et r,, Ca, .... <',, If s racines de l'équation binôme (■■'' = >; pour x' = 0, l'équation (7), qui se réduit à <î>(c) = o, admet les/» racines simples f,, Cj, ..., Vp-, on en conclut que l'équation (7) admet/» racines simples voisines respectivement de f|, V., Vp, et, par conséquent, que l'équation 3) admet

p racines simples représentées par la même formule y= ((•, + j'jic, v^ étant l'une quelconque des racines de l'équation binôme c^ = X, et y' ayant une valeur infiniment petite. En remplaçant v par c, -V-y', l'équation (7) devient

(8) ${x\v) = Yi^^[.x',y') = o.

A une valeur infiniment petite de x correspond une seule valeur infiniment petite de j', qui est par conséquent une fonction holomorphe de x', et se développe en une série convergente

r' = ax' -\- bx"' ^- . . . ,

ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de œ'. A cette valeur de y' correspond un système circulaire de p valeurs de y,

y^x^' (,cj -h ax''-'- bx^~\-- - ■/.

Si les équations L = o n'ont pas de racines multiples, et c'est le cas