CHAPITRE PREIIEB

FORJIATION ET NOIliiHiK BES INTÉGRALES BV. PIIEMIÈRE ESPÈCE,

Formation des intégrales.

1. Étant donnée une équation algébrique, du degré m et irréductible,

on sait que, par une substitution du premier degré, les intégrales abéliennes se mettent sous la forme

flx.

|(a;,j) étant une fonction rationnelie de a; et y. Grâce à cette substitution, on peut supposer que l'équation (i) contient un terme du degré m par rapport à y, de manière que la fonction algébrique y conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de la variable .t;

on peut supposer aussi que, pour a; = ;» , le rapport - a m valeurs

finies et distinctes, de manière que l'intégrale reste finie dans le voisinage du point j?= 00 sur la sphère (').

Les intégrales abéliennes se ramènent à trois espèces d'intégrales; celles de première espèce sont de la forme

dx,

Q(a;,y) étant un polynôme entier du degré m — 3 en a? et y, et tel que l'intégrale conserve une valeur finie sur toute la surface de la sphère. Nous nous proposons d'abord de former les intégrales de première espèce et de trouver leur nombre. Cette question a été traitée par M. Elliot dans une thèse présentée à la Faculté des Sciences en i SyS (-) : lions suivrons la marche adoptée par M. EUiot.

Première transformation.

2. L'intégrale ne peut devenir infinie qu'aux points oii la dérivée Fj. s'annule; ce sont les points critiques de la fonction algébrique / de x. Supposons que, pour x = a, l'équation admette n racines égales à b; transportons l'origine au point critique {a, b), c'est-à-dire remplaçons X ci y par a + ir et b-\-y, et représentons l'équation proposée par

[ 3 ) F [x, y) = 2 Aïjr"-^'* = "■

A une valeur infiniment petite de x correspondent n valeurs infiniment petites de y. Ces n racines se partagent en groupes de racines du même degré et les racines d'un même groupe forment un ou plusieurs systèmes circulaires. On effectuera cette séparation par la méthode de M. Puiseux {''). Ayant tracé dans un plan deux axes rectangulaires Oœ et Op, et marqué les points qui ont pour coordonnées les

(') Briot et BouQUiîT, Théorie des fonctions dlipikjiœ s, 2° édition, In-jj"; 1875, p. CQt. [^) Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 1' série, t. IV; 187!. (') Tiiéorie des fonctions elliptiques, p. 4^.