Nous représenterons le polynôme Q par

et nous dirons que le terme ^^^f'' x^~' correspond au point (y, S) du réseau des nombres entiers. Menons des droites O'a', O'p' parallèles à Oa, Op, à une distance égale à l'unité [fig. i). Les termes indépendants de œ correspondent à des points situés sur O'a', les termes indépendants de / à des points situés sur 0'^'. Nous allons démontrer que tous les termes du polynôme Q, qui correspondent aux points du réseau situés au-dessous de la ligne polygonale P, ou sur cette ligne, doivent avoir leurs coefficients nuls séparément.

Si l'on considère les valeurs A^y relatives au côté C;, on obtiendra les termes du moindre degré dans le polynôme Q en faisant mouvoir une droite parallèle à C;, à partir de l'origine 0, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs points (y, S); soit r^ la position de cette parallèle et

le premier groupe ordonne suivant les puissances décroissantes dey; comme on a

d'où

5 nombres l et /, étant entiers, si l'on pose Jli = By,6, l'' -r- 1 Byî l'r ' + By;. s;.,

yGoosle

C PHEMIEIiE PARTIE. -- CHAPITRE I.

il vient

(()) Q(œ, r) =xiir-^''^-^'-~i [rf{v] -^- a^ <\,{.x' , ^)] — a;'(r^-iW+('',-i)P Q(iï(37', j'I,

■^{x', f) étant un polynôme entier en x' et v. D'après !a formule (6), on a

(lo) r(^,j)=^'«iï-'^,-;'f(iî(^',j'),

d'où

et l'intégrale (2) devient

àr

Pour qu'elle conseiTC une valeur finie, il faut que la quantité U soit infiniment petite. Cette condition est remplie si la droite T, est audessus de C,-; car on a, dans ce cas,

d'ailleurs, la dérivée ^— --' qui est égale à f^, et se réduit à $'((■) pour x' = o, n'est pas infiniment petite. Si elle n'était pas au-dessus, il faudrait que la quantité Q'^'^(x',y) fût infiniment petite et, par conséquent, que l'on eût ^(v) — o ou j^,=:o; cela devant avoir lieu pour les ki racines de l'équation L^^o supposées inégales, le polynôme j^,serait d'un degré égal ou supérieur à L/, et l'on aurait t^^ki ou tip^kip, c'est-à-dire y,- — Yija, — «,+1; la longueur de la droite r,-, entre les deux points extrêmes situés sur cette droite, serait égale ou supérieure à celle du côté C,-.

Si la parallèle To au premier côté Co n'était pas au-dessus de lui, cette parallèle ayant une longueur au moins égale à celle de C^, et son premier point b„ étant à gauche du point «„ ou n, son dernier point b'^

FORMATION DES INTÉGRALES DE PliEMlÈRE ESPÈCE. 7

serait à gauche du sommet a,. La parallèle r, à C, rencontrant r,, en t'y, ou en un point n'appartenant pas au réseau des nombres entiers, mais situé encore plus à gauche, son dernier point b\ serait à gauche du sommet a,. En continuant de la sorte, on arriverait à une droite T;,, parallèle au dernier côté C^.,, et dont l'extrémité b\^ serait à gauche du point a^ ou / situé sur l'axe Op, ce qui est impossible.

Si plusieurs parallèles successives r,,, r,, .... r,,, à partir de la première, étaient au-dessus des côtés correspondants C^, G,, ..., G,,, la suivante r,- n'étant pas au-dessus de C^-, le premier point A,- de r, étant encore dans ce cas à gauche du sommet a,-, son dernier point b) serait à gauche de «,+,, et l'on continuerait, comme précédemment, pour arriver à la même impossibilité.

Ainsi, il est nécessaire que toutes les droites T^ soient au-dessus des côtés correspondants C^ et, par conséquent, que tous les termes qui correspondent aux points du réseau situés au-dessous de la ligne polygonale P, ou sur cette ligne, disparaissent du polynôme Q.

4. Il est facile de trouver les termes du moindre degi'é dans le polynôme Q. Le côté G,-, dont la projection sur 0« contient «, — a,^, ou k/p divisions, est divisé par les parallèles à Op en kip parties égales. Quand on parcourt ce côté à partir du sommet a,, à chaque division

parcourue on s'élève de -; après t divisions, on s'est élevé de -^; soit tq~sp — r, r étant un nombre entier positif et moindre que p ; l'ordonnée de rang t, prolongée au-dessus de G,, rencontre un point du réseau à la distance-; le nombre r prenant toutes les valeurs infé-

ricures à p.

quan

d t varie de

I il /) -