la

on a donc

yiq + àip.

= ociq

ot l'intégral

se réduit à

Bans le cas que nous étudions, les conditions précédentes sont suffisantes, puisque la dérivée Y'^' n'est pas infiniment petite.

Remarquons que tous les points du réseau qui sont situés au-dessous de la ligne lirisée V, ou sur cette ligne, conviennent au poiyûôme Q, qui est du degré m — 3. Sur les axes Oa, Op [Jig. 2) prenons.

en effet, des longueurs OA, OB égales à m; tous les termes du polynôme F(a:r, j) se rapportent à des points situés dans le triangle isoscèle AOB ou sur ses côtés. Sur les droites O'a.', O'p' prenons de même des longueurs O'A', O'B' égales à m — 3; tous les points du réseau situés dans le triangle isoscèle A'O'B' ou sur ses côtés conviennent au polynôme Q. La ligne brisée P étant située à l'intérieur du triangle AOB, excepté les deux points extrêmes qui peuvent coïncider avec A et B, tous les points du réseau situés au-dessous de cette ligne ou sur cette ligne, à l'exception des points placés sur OA et OB, sont situés à l'intérieur du triangle A'O'B' ou sur ses côtés.

5. Il faut maintenant compter le nombre de ces points. Les points du réseau se succédant de p en p divisions sur le côté C,-, ce côté en contient ^, — 1, outre ses deux extrémités. Considérons le trapèze formé par le côté C, et les deux ordonnées «,(/,, «iVit^i+i menées par ses extrémités {Jîg. 3); prolongeons chacune de ces ordonnées d'une longueur égale à l'autre, de manière à former le rectangle e^-rf^ej^., (//+, ; le nombre des points du réseau situés à l'intérieur de ce rectangle, abs-

FORMATION DES INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE, traction faite de ceux qui sont placés sur la droite C,-, est

En divisant par a, on a le nombre des points situés a l'intérieur du trapèze: à ce nombre nous ajouterons les P; points placés sur l'or-

donnée do droite a^dj, à partir de 0'«', l'ordonnée de gauche a,,., d/^, étant regardée comme appartenant au trapisze suivant, et les /:, — i points placés sur C,-; nous obtiendrons pour le trapèze relatif au côté C,- un nombre de points marqué par

Cette formule convient au triangle relatif au premier côté 0^ [fig-i) et au dernier trapèze dont l'ordonnée de gauche 0/ ne doit pas être comptée; il suffit de faire, d'une part k„ = n, po = o, d'autre part tt^ = o, P/, = /. Le nombre total des points cherchés est donc

c'est le nombre des relations linéaires et homogènes auxquelles doivent satisfaire les coefiicients du polynôme Q, pour que l'intégrale conserve une valeur finie dans le voisinage du point critique [a, b).

Seconde transformation.

G. Nous iivons traité le cas où les équations L = o, relatives aux différents côtés du polygone P, n'ont pas de racines multiples. Supposons maintenant que l'équation L, = o ait une racine multiple X d'ordre «'; l'équation $(r) = o admettant n' racines égales à r,, n' égales kv.., ..., n' égales à c^, l'équation (7} admet ri racines voisines de c,, ri voisines de Vo, .... ri voisines de c^; l'équation (3) admet donc «'racines

ayant la valeur approchée t', a;'', ri ayant la valeur approchée v.;^x^\ ...,

ri ayant la valeur approchée Vpx''\ les valeurs approchées de ces

pri racines sont représentées par la même formule v^x'', et les valeurs

elles-mêmes par la formule /= (c, -\-y')x^', y' étant une quantité infiniment petite. Dans l'équation (7), les termes indépendants de œ' proviennent du développement de

' ■' ' ^ ' \ .-i. . .ri ^ ' \.-x. ..{ri -r\]

A une valeur infiniment petite de x' correspondent ri valeurs infiniment petites de j'. Pour répartir ces ri racines en groupes du même degré, puis en systèmes circulaires, on procédera comme précédemment. Soit

on formera la ligne brisée convexe F' allant du point ri situé sur l'axe 0« au point /' situé sur Op, dont chaque côté passe par plusieurs points (a', ^'), et qui laisse tous les autres au-dessus d'elle. Au côté Q correspond une manière de former le groupe des termes du moindre degré

a;;. •^■. r"^'' xii -^ 2 A'„^ ji' fo-' xf + a;- ^^ ^^.^^ j'"'- ^ ^ f ^ >-i .

En désignant par ;// le degré de 7' par rapport à x' , on a