PRÉFACE

Riemann a le premier traité la question des fonctions abéliennes, et il a trouvé de très- beaux théorèmes relatifs à cette nouvelle classe de fonctions; mais la méthode qu'il a suivie présente de grandes difficultés et ne paraît pas susceptible d'acquérir le degré de clarté et de rigueur que l'oo recherche dans les Sciences mathématiques.

Plus tard, MM. Gîebscb et Gordan ont pubhé sur le même sujet un livre fort remarquable par la simplicité et l'élégaûce de la méthode; mais ils se sont bornés à un cas tout particulier, celui où l'équation proposée n'admet que des points critiques du second ordre, c'est-à-dire des points où deux racines seulement deviennent égales.

J'ai repris la question telle que l'a posée Riemann, et j'ai essayé de la résoudre dans toute sa généralité, quels que soient l'ordre des points critiques, leur disti-ibution dans le plau, et la loi de permutation des racines autour de ces points.

Dans la première Partie, qui se rapporte à l'étude des intégrales abéliennes de première espèce, j'ai suivi la même marche que MM. Clebsch et Gordan. Toutefois, j'ai laissé de côté les considérations géométnques sur les points singuliers des courbes algébriques, dont Ils font usage, considérations qui peuvent