SUR UNE PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS. ITS

De l'équation (3) on tire

Pm- |H -A|P„,» + A2P,„-3 + .. . + A n,-|P» ' ' ~ xT~' + Ai j"'"- +A2XT~^ -^- ■ - + Am i

Les quantités P^, P,, ..., P,,,, «tant des fonctions rationnelles de x, les quantités A,, A^, ..., A,„., des fonctions rationnelles de x et y,, on en conclut que la valeur v, est égale à une fonction rationnelle de œ et de y,. Comme y, désigne l'une quelconque des valeurs de y et v, la valeur correspondante de c, il en résulte que la fonction analytique et monotrope v du point {x, y) est égale à une fonction rationnelle de X et y.

En remplaçant, dans la formule (4): Ai, A^, .... A„, , par leurs valeurs, on obtient l'expression

x„p,„-,+(Xor+x,iP,„.+...+(x.r'--'+Xir"'-^+-+x.-OP„

^ ' nîXoj"'-' + (m-i)S,7'"-^ + ...-i-X,„,

Le dénominateur est la dérivée partielle du polynôme F(^, 7} par rapport ky. On sait qu'à l'aide de l'équation F{x,y) = o toute fraction rationnelle de x et àey peut être transformée en une autre, dont le dénominateur est indépendant de/.