SUR LE THÉORÈME DE GREEN

La même transformation s'opère quelle que soit la forme de la courhe

fermée; car, pour la première intégrale double, une parallèle à Ox

rencontrant la courbe en un nombre pair de points, par exemple en

quatre points m,, m.., m.^, m, {fig. i3), il faudra intégrer par rapport

il œ de m, à m.., puis de m,^ à m.,, ce qui donnerft les quatre éléments différentiels [{V„ — ¥,) + (¥, —V,)]./)^. L'intégrale (2) étendue à la courbe entière, décrite dans le sens positif, donnera ces quatre éléments avec leurs signes. On ramène de même, dans tous les cas, la seconde intégrale double à l'intégrale (3).

La formule (4) donne une démonstration très-simple du tltéorèrae de Cauchy (Introduction, n" 13). Voici une autre conséquence de la

même formule. Si l'on y remplace V par V ^ et U par — U t-> elle devient

En y faisant ensuite U = V = X, on a

La quantité y- ^- -+- -,-^ étant nulle, et les quantités y^> -j— pouvan être remplacées dans le second membre par les quantités respective