AB...L^B,...N

OX

qui, pour x racine de l'équation A<(^,jk) = o, représente une période de l'intégrale (5), ne dépend pas dejr. On a donc

ab...l£;^b....n.^"^'

Y étant une constante convenable, et x et y étant liées par la relation Al {x, y) ^ o; on peut encore dire que le poljnome en x

K-Y.AB...L^B,...Ni

est divisible par k,{x,y). Envisageons alors le second membre de (4) niis sous la forme

AT Hj-^r) , ..^losA.] , .; r -^{x.y) c^logAil

r;^LAB...LA,...Ni ' '^ dy \ J^ LâbT . . LA^ . . .N^ " ^ -^^- J ^

on voit de suite, d'après ce qui précède, que la fraction rationuelle sous le signe ^ ne renferme plus k, au dénominateur, et il en est par suite de même de la fraction rationnelle sous le signe — • On peut ainsi faire disparaître tous les dénominateurs A^ B^, ..., Ni et, par suite, nous pouvons admettre que, dans Je second membre de (4), les polynômes connus A, B, . . . , L figurent seuls au dénominateur.

lo. La question proposée se résoudra maintenant aisément. Désignons par P le produit AB. . .L; nous avons l'identité

^,y) à rE(x,y)-} à \K{x,y)l

où M, H el K sont des polynômes en x. Soit v le degré de P en ^ ; on sait que, d'une fraction rationnelle en x

K(.r,jK)

OQ peut retrancher une expression j- ( V étant un polynôme en x, ici rationnel en y), de telle sorte que, en posant

K(;r,jK) ày^ M^ vT ) P dx P '

le degré de K, en x soit au plus v — i . D'ailleurs, par une soustraction analogue, nous pouvons supposer que M est en x de degré v — i au plus. Par suite, dans l'identité (6), nous pouvons supposer que la fonction donnée M, polynôme en x et rationnelle eny, est de degré v — i en x^ el qu'il en est de même pour les deux fonctions inconnues H et K.

Les inconnues dans l'identité (()) sont alors les coefficients des diverses puissances de x dans H et K. Si le problème est possible, on devra pouvoir choisir pour ces coefficients des fonctions rationnelles dey.

Or comptons le nombre des inconnues et le nombre des conditions. Nous avons dans H et K un nombre de coefficients égal à 2v. On doit égaler le second membre de (6) à