VII. — Du système bicanonique

42. Une notion très intéressante, et sur laquelle M. Enriques est le premier à avoir appelé l'attention, est celle du système bicanonique, qui joue un rôle fondamental dans la théorie des surfaces rationnelles, et peut fournir, dans bien d'autres cas, de nouveaux caractères invariants de la surface, distincts des nombres p^r et pn étudiés précédemment. Nous nous bornerons à donner la définition d'un pareil système et à mettre en évidence ses principales propriétés.

Soient |C|| et |Co| deux systèmes linéaires de courbes sur une surface, et reportons-nous au théorème fondamental de M. Enriques (n° 34) qui est exprimé par la relation symbolique

d'où l'on conclut

(l) l2C,«-2C,-'>,v0,|=:|2G,«-^-iC,^-2S0i|.

Si le système |C)rt| adjointe |C)| contient ce système, c'est-à-dire si la surface possède un système canonique (pg^ o), il résulte de la deuxième égalité que le système

(A) |2G,« -2C,---2S0i| = [2G,«— 2G2— 2ZO2I

est le double du système canonique; et il ne peut évidemment donner lieu à aucune considération nouvelle.

Mais supposons, au contraire, que la surface soit de genre^^o-^ o, c'est-à-dire que le système |C,a| ne contienne pas |C,|, il pourra arriver cependant, comme nous le verrons tout à l'heure par des exemples, que le système laCi^j coutienne le système |2 C, |, et qu'on puisse, par conséquent, de l'égalité (i) conclure à l'égalité (A); d'où cet énoncé :

Si une surface algébrique, le double d'un système linéaire irréductible [Cj, est contenue dans le double de son système adjoint \0a\, il en sera de même pour tout autre système linéaire sur la surface, et le système résiduel de \'i.C\par rapport à [aCrtl est, à des points bases près, le même cjuel que soit le système |C|.