TL

Le résidu de la fonction sous le signe d'intégration est

dax UE Te : :

Or, pour 0, me satisfait à l'équation du second degré

” dx 2 7 dæ 7 Ar 72 + (0 + Ay:= 0, et l’on trouve alors de suite pour valeur de l'intégrale

Po) :

[VCAL, D — A AR eo

Ceci suppose que l’on n’a pas un point de rebroussement. Dans ce cas, les deux racines +, et æ, se permutent quand y tourne autour de l’origine, et pour que la surface considérée soit fermée, il faut que y tourne deux fois autour de l’origine. On a alors à

prendre l'intégrale 12 (gène æ) y 2T4 1e AG)

: : LE SA le long d’une courbe entourant deux fois l’origine, et l'intégrale est nécessairement nulle.

T. Après ces exemples, revenons aux considérations générales du n° 4. Le cas le plus simple serait celui où le contour C ne contiendrait qu’une seule racine æ, à son intérieur; il faudrait alors que le contour T du plan des y fût un cycle pour la racine x,

DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES. d7

de l’équation A(æi, ÿ) 10

de telle sorte que x, revienne à sa valeur initiale quand y décrit F. En intégrant d’abord, en laissant y constant, nous avons

Puy) DUT ERA

et l'intégrale cherchée est égale à

; P . dk RARES + hi AT) Elle est donc égale à une période d’une intégrale abélienne

relative à la courbe A(x, y)— 0 ou à une de ses courbes composantes, dans le cas où À serait réductible.

Soit maintenant d’une manière générale T1, Ta, 3 Ty,

un ensemble de racines situées dans C et se permutant les unes dans.les autres quand y déerit T. Nous pouvons substituer à CG un certain nombre de courbes fermées de telle sorte que chacune d’elles ne contienne que des racines se permutant circulairement les unes dans les autres, et notre surface primitive sera ainsi remplacée par un certain nombre de surfaces plus simples. Il suffira de considérer l’une d'elles, et de supposer par conséquent que C’ ne renferme que Z4, T2, ..., Zu, en admettant que celles-ci se permutent circulairement. Nous aurons comme valeur de l’intégrale

, EI CP Crea En) 2 2TT ; Le + — + — dy.

( ) étre Az(t2,) Ar(Tu ) 1

Or, d’autre part, la courbe F parcourue 1 fois formera évidem-

ment un cycle pour la racine +, ; formons alors l’intégrale