D DU "A 3 J

æ étant lié à y par la relation D Ve

Les deux périodes de cette intégrale elliptique de première espèce seront les résidus de l'intégrale double (3).

8. Nous venons d'indiquer une classe très étendue de surfaces fermées pour lesquelles la valeur correspondante de l'intégrale double se ramène à une période, polaire ou cyclique, d’une intégrale abélienne. On peut se demander si la valeur de l'intégrale double d’une fraction rationnelle

prise suivant une surface fermée arbitraire, assujettie seulement à ne pas rencontrer le continuum définit par l’équation

se ramènera à une somme de multiples des valeurs que nous venons de trouver. La réponse est affirmative, et c’est ce théorème que nous allons établir.

D + 5 . . A SION POSE LT = Li +1», Y—=Yi+iy», toute surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre

Ti, Lo, Jr Po:

Nous supposons que le champ d'intégration ne corresponde pas à æ arbitraire, y restant constant, auquel cas l'intégrale serait nulle.

Nous admettons aussi que le polynome A(zx,y)et ses divers facteurs irréductibles (s’il est réductible) contiennent simultanément æely, comme on peut loujours le supposer, en ayant fait préalablement une substitution linéaire.

Pour une valeur donnée à y,, l'équation

A(æ,y)=0, ou, ce qui revient au même, les deux équations

A1 (Dr, De, Vis Va) — 0

A2 (T1; La, Vis Ja) = 0 | En) ee el

définissent un ensemble de valeurs de +,, 2,3, que l’on peut regarder comme représentant un certain nombre de courbes

. L (PES ù à gauches « dans l’espace à trois dimensions (æ,, x, y1). Chaque plan

y —consis

rencontre les courbes 4 en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir : le nombre des racines de l’équation A(x, y)—=0 pour une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de y: en nombre fini, l’ensemble des courbes « ne présente pas de points multiples; les valeurs de y», pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de z dans les valeurs de y pour lesquelles l’équation A(x,y)= 0 a une racine multiple.

Ceci posé, revenons à notre surface fermée S d'intégration conçue tout à fait d’une manière générale. La surface étant tout entière à distance finie, il n’y aura de points de la surface que pour des valeurs de y, comprises entre deux certaines limites &, et & (ay Las). Quand y, en croissant devient égale à &,, une courbe correspondante commence à paraître sur S. Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont venues se confondre; dans toute autre hypothèse la surface ne serait pas fermée. La courbe ne peut d’ailleurs, pour y:— @&,, se réduire à un point si l’on veut que l'intégrale soit différente de zéro, car pour y arbitraire la courbe correspondante, extension de ce point, ne tournerait pas autour des courbes ©, et l’on pourrait, par une déformation continue, réduire

à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface. Nous avons donc pour y:—4@, une certaine courbe, enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y» croît, celte courbe se dédouble, et l’on a ainsi pour y: arbitraire des couples de courbes qui, pendant la variation continue de y, ne peuvent disparaître que deux par deux en venant à coïncider. Nous désignerons par C une de ces courbes correspondant à une valeur d’ailleurs quelconque de y2.

Considérons alors une courbe C et les lignes & qui correspondent à la même valeur de y2. Par cette courbe C faisons passer une surface È ayant C pour contour. Cette surface rencontrera une ou plusieurs lignes 4; soient M ces points de rencontre. Une déformation continue de C permettra, en supprimant des lignes parcourues deux fois en sens inverse, de la réduire à de petites courbes entourant les points M. On pourra ensuite déplacer ces dernières courbes de manière qu’elles soient chacune dans un

plan

Jaiconste

toutes ces réductions et tous ses déplacements s’effectuant d’ailleurs sans traverser les lignes +. ;

De cette façon nous avons remplacé la surface initiale S par un certain nombre de surfaces engendrées par une petite courbe située dans un plan

K étant une constante, qui varie avec y: suivant une loi en grande partie arbitraire. Chacune de nos nouvelles surfaces rentre dans le type des surfaces étudiées au numéro précédent; l’ensemble des valeurs de y: et de y, donne sur le plan de la variable y une courbe fermée, et à chaque point de cette courbe fermée correspond une petite courbe dans le plan de la variable x. Le théorème est donc établi.

On pourrait encore l’établir de la manière suivante. Nous avons désigné par a, et a; les valeurs entre lesquelles varie Fe soient parcillement b, et b, les valeurs entre lesquelles varie y,. Quand y, va en croissant de a, à &>, chacune des courbes & engendre une portion de surface, et l’on a ainsi autant de /ames de surface qu'il y a de racines. Ces lames ne se coupent pas et se

DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES. Gr

touchent seulement aux points qui correspondent aux racines multiples. L’intersection de cette portion de surface par un plan J1= K se compose donc d'autant de portions de courbe 6 qu'il y à de racines, ces courbes ne se coupant pas et pouvant seulement être tangentes.

Revenons maintenant à notre surface d'intégration. À chaque valeur de y: correspondront une ou plusieurs courbes fermées C dans l’espace +,,æ2, y, et l’ensemble de ces courbes déterminera une surface fermée S complètement comprise entre les plans Yi bi, y1= b2. Cette surface pourra couper une ou plusieurs des lames de À définies précédemment, mais elle ne pourra en traverser complètement aucune. Envisageons en effet une courbe d’intersection de S avec une des lames de A. Sur cette courbe, considérée comme appartenant à À, y, varie de &, à &>, et considérée comme appartenant à S, y, varie entre des limites au plus égales. Si donc l'intersection était complète, ilexisterait au moins sur la surface d'intégration un point appartenant à A.

La surface S possède donc un certain nombre de trous, par lesquels passent une ou plusieurs lames ou portions de lames de A et l’on conçoit que l’on puisse, par une déformation continue, substituer à la surface S une nouvelle surface à trous, tangente aux plans y = b,, y1—= D, et par lesquels passeront entièrement une ou plusieurs lames de surface A.

On peut donc considérer la surface d'intégration comme définie par deux équations de la forme

Pet Ja) 0 P2(%1, Z2, Vis Y2)= 0;

c’est-à-dire qu’elle est située dans l’espace æ,, æ2, y1, y'a sur une sorte de cylindre indéfini, P;(æx1, æ2, Y1)—= 0, qui ne rencontre pas la portion de A définie plus haut. On peut alors, par une seconde déformation continue de la surface d'intégration sur ce cylindre, lui substituer une nouvelle surface définie par des équa-

lions de la forme

ce qui suffit pour établir le théorème énoncé.

Il est donc démontré que tout résidu de l'intégrale double

FREE y) dx dy

A(æ, 7) peut être regardé comme une période logarithmique ou cyclique d’une ne abélienne.

9. Considérons, comme application, une intégrale double étudiée il y a longtemps déjà par Didon [ Sur une formule de Calcul intégral (Annales de l’École Normale, 1873)]. Ce géomètre, guidé sans doute par la pensée de trouver le nombre des racines communes à deux équations simultanées

racines pour lesquelles l’x fût compris dans un certain contour C du plan des x, tandis que ly devait être à l’intérieur d’un contour (/ du plan des y, considéra l'intégrale double