DEN VEUT

donnera deux droites distinctes. Si, pour le point de rencontre de ces deux droites, on a

ps(X, Y'1)20,

la surface (3) n’aura pas de points multiples pour 3 voisin de zéro et pour X, Y finis. On peut encore aller plus loin; lorsque Les coordonnées (4, 8) du point de rencontre des droites oo(X, Y,1)=0o, annulent le polynome v,, la surface (3) aura le point double

INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. 189 (a, $, 0), mais, en général, le cône des tangentes sera irréducüuble, et nous n'avons aucune condition.

Il en est encore ainsi, en général, même quand le point est un point uniplanatre, c’est-à-dire quand o,(x,7,3)est un carré parfait. En effet, la surface (3) aura, comme points doubles correspondant à z— 0, les points de rencontre de la droite double

ga(X, Y, 1)=

avec la courbe &,(X, Y,1)—o; ces points doubles seront, en général, des points doubles isolés ordinaires pour la surface (3), et, par suite, nous ne trouvons aucune condition à imposer au polynome Q par le fait de la présence d’un point uniplanaire général.

Il en sera autrement si l’on a cette sorte de point uniplanaire désigné par les géomètres anglais sous le nom de tacnode, et dont nous avons déjà parlé (p. 55). L’équation est, dans ce cas, susceptible de se mettre sous la . me

TER PM, sh =tiTU(r, Jr) ot Vs) 50;

% est un polynome homogène du second degré en x, yet z,etv,

est du quatrième degré; c’est le cas où w, est un carré parfait, et

où ©, contient une fois en facteur l’expression linéaire dont e, est ‘

le carré. En posant

nous avons la relation (=) FIL, Z)=X2 EX 20 (X V1) —0.

Cette surface E aura pour ligne double

K— 0, 20 L'intégrale

devient

1) COX, V7, 7) 2NIdz e/ f FX

Pour que l'intégrale soit de première espèce, il est nécessaire que le polynome, qui figure au numérateur, égalé à zéro, repré-

] 5 insi sente une surface passant par la ligne double de ÿ. Il en sera ains

s1 la surface | Oz; 7, 010

passe par le tacnode. Il est clair, d’ailleurs, que celte condition le tacnode soit un point général de

est suffisante pourvu que :

un tacnode entraine une Con-

cette sorte. Ainsi, /a présence d € . n Es > e .

dition pour les intégrales doubles dé Pr Emme espèce ( )

k intégrales 4. Nous avons, aux n° À et 2, dans la recherci!€ des 5

doubles de première espèce, supposé que la surface : ; : < tie

ment, comme lignes multiples, des lignes doubles. Il est €S$en 1 les cas

: 12 ; . bientôt possibles, la forme précédemment trouvée. Nous aurons pie

avait seule-

de voir qu’une intégrale de première espèce a, dans tou

. ’ . : . 2 T—besoin de ce résultat pour arriver à la notion du genre d’une AE

face.

Reprenons l'intégrale sous la forme

dx d ff RG r z) a

la surface ayant, cette fois, des singularités entièrement arbi-

traires. Je dis d’abord que l'intégrale simple I 5 P ä dx J R(x, 5 ar ©

qu’on peut regarder comme une intégrale abélienne relative à la courbe fæ,7,3)=0, est une intégrale de première espèce. Nous donnons à y une valeur arbitraire, de sorte que les points

multiples de la courbe fx, y, 3)— o sont à l'intersection de la

courbe avec le plan y — y. Soit un de ces points de rencontre dont nous désignerons l’x par a(y), la fonction a(y) étant une fonction holomorphe de y dans un certain intervalle suffisamment petit.

te ; R On pourra, dans le voisinage de x — 4, développer -; de la

(!) M. Nocther a étudié l'influence de points singuliers d'espèce variée sur le genre d’une surface algébrique dans les Nachrichten de la Société Royale de Gôttingen (1831).

manière suivante :

De C3 (æ— at

les coefficients des puissances de æ — «& non écrites étant supérieurs à — 2, et le coefficient À étant une fonction holomorphe

de y dans l'intervalle considéré. On à alors à prendre l'intégrale

double

Posons Da LU:

nous aurons alors l'intégrale

REP in (a +..)du a.

Si l’on avait

on pourrail avoir un continuum d'intégration pour lequel Pintégrale sera infinie : on a donc

CNE et, par suite, l'intégrale

, dr

Je ee 7: Ti

reste finie pour æ — &. Ainsi, l'intégrale précédente relative à la courbe f(x, y,3)—0 reste finie pour tout point à distance finie. Il en résulte que R(x, y, z) est un polynome en x et 4; on établirait de la même façon que R(x, y, 3) est un polynome en y et z, et par suite R(x,y,z) est un polynome en x; y et 3° Nous arrivons donc à la conclusion que, quelles que soient les singularités, une intégrale de première espèce a nécessairement la

Jorme ff Q(x, y, z)dx dy ./ ÿE

et l’on voit, comme plus haut, que Q(x, y, 2) est au plus du degré m — 4.

Nous avons là des conditions nécessaires; 1l faudra ensuite faire une discussion pour écrire les conditions supplémentaires. La

surface pourra avoir des points multiples isolés qui nécessiteront une discussion spéciale; relativement aux lignes multiples, il résulte évidemment de l’analyse ci-dessus qu’un plan arbitraire

Y = const.

coupera la surface Q — o suivant une courbe qui sera une adjointe d'ordre »m — 4 de l'intersection de la surface proposée par le même plan, et, sous cette condition, l’intégrale restera certainement finie pour le voisinage d’un point pris arbitrairement sur la courbe multiple. Mais il pourra y avoir sur celle-ci certains points particuliers pour lesquels une discussion sera nécessaire; ainsi, par exemple, pour prendre un cas très simple, si une surface a, comme plus haut, une courbe double le long de laquelle les deux plans tangents sont, en général, différents, et qui a seulement certains points-pince de nature générale, il suffira que l’adjointe Q — o passe par la ligne double, sans qu'il y ait aucune condition supplémentaire à ajouter pour les points-pince. Mais si le pointpince est spécial, il pourra y avoir des conditions supplémentaires à écrire; il en sera ainsi dans le cas où le coefficient y” sera nul. On s’en convaincra en prenant la surface

(a+ ys)er+(az + By + y's)ay +(a'x + fy)r?= 0,

qui admet la ligne double x — 0, y —0o, avec un point-pince à l’origine. L'intégrale

si O(x 7, <)dzr dy a

Q(x, y, 3) étant un polynome tel que la surface Q(x, y, 3)=0

passe par la ligne double, reste finie dans le voisinage de tout point de la courbe double à distance finie, sauf pour l’origine. Dans tous les cas possibles, la recherche des conditions supplémentaires se déduit aisément de la réduction supposée effectuée des singularités, ou, ce qui revient au même, des expressions des coordonnées x, y, 3 des points de la surface dans le voisinage d’un point singulier, exprimées au moyen d’un nombre limité de développements holomorphes par rapport à deux paramètres.

: Toute surface Q(x, y, =) = 0 d'ordre m — 4, pour laquelle le premier membre de l’équation peut servir à former une intégrale double de première espèce, est dite une surface adjointe d'ordre m— 1. Le système linéaire formé par ces adjointes est désigné sous le nom de système canonique.

Un cas simple et intéressant est celui d’une surface ayant des lignes multiples et des points multiples isolés; ces lignes et ces points étant de la nature suivante. En un point arbitraire de la ligne multiple, les plans tangents sont différents; il peut seulement ÿ avoir certains points particuliers de la ligne multiple où deux plans tangents sont confondus, et l’on suppose que lPon soit dans le cas le plus général où cette circonstance se présente. Relativement à un point multiple isolé, on suppose que la surface ayant pour équation

Ep(T, Vs 2) + Pp#1(8, V, 2)... = 0, la transformation TE Xe: DNS fait correspondre à ce point une courbe B—0; 2p(X, Y,1)= 0, dont tous les points à distance finie sont des points simples pour la surface transformée.

IL résulte d'abord, de ce que nous avons dit plus haut, que /a

surface adjointe Oz, J'; 3) =

aura une ligne multiple d’ordre p de la surface comme ligne multiple de degré p —1.

Pour voir la condition relative à un point multiple rsolé d'ordre g, faisons dans l’intégrale

(LT Or tc) dede Ce y

le changement de variable x = X2, y — V3 : l'intégrale devient

IVe, s)e dX ds Il CE, Y,1)+ 3 51°

et l’on voit de suite qu’au numérateur, le polynome Q(Xz, Yz, =) doit contenir 39? en facteur; donc la surface adjointe Q — 0 admet le point multiple isolé d'ordre q de la surface comme point multiple d'ordre q — 2; c’est l'extension de ce que nous avons trouvé pour g — 2, cas dans lequel aucune condition ne se

trouve imposée à adjointe.

6. Terminons celte Section par une remarque qu’on peut regarder comme une extension du théorème d'Abel aux intégrales doubles de première espèce. Soit la surface

f(æ, Y3 3)=0, et considérons les deux faisceaux de surfaces

AL Se) NP, 72) —=0; Cr M EE LD )Et0; Supposons que les trois équations précédentes définissent un

certain nombre m1 de points

(æ1, Vas na) Goo (en Vins Zm),

variables avec À el y, et décrivant toute la surface, c’est-à-dire que le déterminant fonctionnel de x; et y, par rapport à À et u, n’est pas identiquement nul. Nous désignons, comme plus haut, par

[<= Y, z)dr dv x É

une intégrale double de première espèce de la surface, et nous

formons la somme

D(x1, 4) D(x ) Bi V 1; 21) = ee à ge) Pres Jon Fe Q( 1) #1 1) Dés un.) ONCE 0 De Zn DNS (E) F ren 5 : :

31 FA a 0 Fn0 ER à C’est une fonction symétrique de (z4, 4, 24), Le) a) Jai

elle est done une fonction rationnelle de X et u, Soit R(À; um).

Or, si l’on prend un continuum arbitraire d'intégration dans le domaine des variables complexes (À, a), il y correspondra un

INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. IOI - Continuum pour (æ;, Ye, 3i), et l’on aura