R 7 TL
Yo
augmentera indéfiniment quand on fera tendre, d’une certaine manière, le point (x, y, z) vers un point de la courbe C.
On a supposé que C était une courbe simple de la surface ; la même conclusion subsiste si C est une courbe double, et, dans ce cas, la fonction R doit non seulement ne pas devenir infinie le long de la courbe double, mais elle doit, de plus, s'annuler le long de cette courbe. En effet, R(x, y, 3) contiendra X? en dénominateur, f: contiendra X en facteur ; si donc la valeur de R était différente de zéro pour X — 0, l'intégrale se réduirait encore à une
f— H ch
et deviendrait infinie pour un certain continuum.
expression de la forme
Nous arrivons donc à la conclusion que R(x, y, z) reste finie pour tout point à distance finte et s'annule le long des courbes doubles.
Or, si l’on prend d’abord une courbe f(x, y)= 0, il résulte aisément du théorème cité de Noether (Chap. V, n° 13) que toute fonction rationnelle R(x, y) restant finie pour tout point à distance finie et s’annulant aux points doubles peutse mettre sous la forme d’un polynome entier en x et y. Cela résulte aussi de la discussion de la forme classique des intégrales abéliennes de première espèce, où l’on rencontre une fonction rationnelle R jouissant de la propriété indiquée et qui se réduit à une fonction enlièrecnrvel
Si nous revenons maintenant à la surface proposée, on conclut du théorème précédent que R(x, y, z) peut se mettre sous la forme d’un polynome Q(x, y, =): nous avons donc à envisager
l’intégrale JE Y, NE,
Il faut l’étudier pour un domaine d'intégration s'étendant à l’in-
fini. Posons VY = AGE et prenons l'intégrale
HE) t OCT) edtdr f Hi ( — - REA = <Xo lo
HCAE ES) Faisons varier & dans un champ fini, et faisons grandir x indépe QËe bre) Ar (æ, 4,23)
J A S 14 QU \ doit être une intégrale de première espèce pour la courbe définie par la relation entre 3 et
finiment : l'intégrale
CS UT, z) 0:
où & est un paramètre arbitraire ; car, dans le cas contraire, notre intégrale double deviendrait certainement infinie quand, £ variant dans un champ fini, x grandirait indéfiniment. Il résulte de Jà
INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. 181 que, pour £ arbitraire, le produit QGUTr 2)
doit être un polynome de degré m— 3 en x et 3. Par suite, Q(x, y, =) est un polynome de degré m — 4 en x, yetz,et nous avons donc la forme nécessaire de l'intégrale
pics Y,3)dx dy F: ;
où Q(x, y,<) est un polynome de degré m— 4, tel que la
surface Q(æx, 7; s)=0
passe par la courbe double.
2. Si maintenant nous prenons l'intégrale précédente, nous devons nous demander si elle sera nécessairement de première espèce. D’après les raisonnements qui précèdent, on ne peut avoir de doute à ce sujel que pour un continuum dans le voisinage d’un point-pince sur la courbe double ou dans le voisinage d’un point triple de la courbe double, puisque, pour un point ordinaire de la
: ) : Ê , ligne double, = est fini. Nous allons traiter ces cas, en procédant
comme nous l'avons fait pour les intégrales de différentielles totales de première espèce (Chap. V).
Soit un point-pince de la courbe double ; on ne diminue pas la généralité du raisonnement en supposant que l’axe des z est la courbe double, le point-pince étant à l’origine. Nous aurons ainsi l'équation, si le plan x — o est le plan tangent au point-pince,
(a+ar+8$y—+yzs+...)m+(xx +8'y +y'z +...)xy
("x \ By ! Y'z- O0) (GE 210):
Considérons l'intégrale double
fl [ Or dr dy ; F2 |
où nous supposons que la surface Q —0o passe par lPaxe des z,
c’est-à-dire que Q—=Mzxz+Nry,
M et N étant des polynomes. Si l’on pose D UNE
l'équation de la surface montre immédiatement que w tend vers zéro quand le point (x, y, z) tend vers l’origine. Or, en faisant dans l'intégrale le changement de variable + = wy, nous avons
il (Mu+N)du dy
VVIU QU? Er
les termes non écrits au dénominateur s’annulant pour æ —0, y—0,z3—o. En supposant, comme nous pouvons le faire, que y <0 (le point-pince étant général), nous avons une intégrale restant finie de quelque manière que w et y tendent vers zéro.
Placons-nous maintenant en un point triple de la courbe
Ç P double; nous pouvons supposer que ce point est à l’origine et que les trois axes de coordonnées sont les droites doubles. On a alors l'équation V2 + (7, y, 3)+...=0,
tous les cônes v;— o ayant pour courbes doubles les axes de coordonnées, et l'intégrale prend la forme
ue Or M2) drdy e DV Æ Pi,3( 8 Va FER
la surface Q(x, y, z)—o passant par les trois axes, et ayant nécessairement, par suite, un point double à l'origine. En posant y — ux, 3 — vx, l'intégrale devient
[[ Our we)r du dr à: ri[u ro. (u 0)
la relation entre w, 6 et x étant
(1) UP + Doi (l, U, P)+...= 0,
ce les termes de moindre degré dans les o;(1,u,6) sont au moins à nur ; .
du second degré. D'autre part, Q(x, ux, vx) contient +? en
facteur et est certainement de la forme x? (Mu+ Nr) Donc . 7 r . 5 x l'intégrale peut s’écrire
4 jh (Mu+ Ne)x du dx
UT, (1, up).
Or, on peut supposer qu'on se trouve dans une région autour de l’origine pour laquelle & et + restent finies, car, dans le cas contraire, on ferait un autre changement de variables en considérant d’autres rapports des trois lettres æ, y, entre elles. Nous pouvons donc dire que nous avons une surface représentée par l'équation (1); nous avons à considérer ceux de ses points qui correspondent à des valeurs de x voisines de zéro et à des valeurs finies de ete, l’une au moins de ces dernières étant nécessairement voisine de zéro. Tous ces points sont des points simples de la surface (1), sauf les points correspondant à 4 —0,6—o: la surface (1) admet en effet la ligne double
LION Dr)
Nous pouvons regarder l'intégrale (2) comme une intégrale double relative à (1), dans laquelle le coefficient de du dx au numérateur s’annule pour la ligne double. Nous sommes ainsi assurés, d'après ce qui précède, que l’intégrale reste finte.
Nous conclurons donc que la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale double, où Q est un polynome de degré m—4,
TES Y, z)dx dy.
ie J:
soit de première espèce est que la surface de degré m — A Q(x, y, z) =0
passe par la courbe double.
3. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la surface n'avait que des singularités ordinaires, c’est-à-dire une ligne double pouvant avoir seulement des points triples, ce qui correspond à la réduction générale des singularités d’une surface algébriques.
Il est d’un grand intérêt d'examiner certaines circonstances pouvant se rencontrer fréquemment, de facon à ne pas avoir à faire la réduction générale. Le cas le plus simple sera celui d’un point double isolé avec un cône de tangentes irréductible; nous allons voir que la présence d’un tel point n’entraîne aucune con-
séquence pour le polynome Q. En mettant le point double à l'origine, nous avons, pour l’équation de la surface,
pa(T, V, 3)+ Pa(d, Y, Z)+...= 0.
Posons DIN TENIERS l'équation de la surface devient
(3) pa(X, Y, 1)+ 393(X, Y,1)+...= 0.
Prenons l'intégrale double
IRÉSSETE
É Q(Kz, Yz, z)dX ds Par Xi Y,1)+4( )
elle devient
On peut supposer que X et Ÿ restent finies, car, autrement, on ferait un autre changement de variables ; nous avons donc à considérer, pour des valeurs très petites de z, des valeurs finies de X et Y. Dans ces conditions, le point (X, YŸ, z) est certainement un point simple de la surface définie par Péquation (3), puisque 9 est irréductible. L'intégrale reste donc finite, et la présence du point double n’entraîne aucune conséquence pour le polynome Q.
On peut discuter, avec les formules précédentes, beaucoup d’autres cas; tout d’abord, la même conclusion subsistera, en général, quand le cône
Pa(@, Y, 3)= 0 se composera de deux plans distincts. Dans ce cas, l'équation
