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et, par suite, l'expression E est identiquement nulle, ce qui consutue une extension du théorème d’Abel aux intégrales doubles de première espèce. On voit que nous avons suivi absolument la même voie que celle qui est souvent employée pour établir le théorème d’Abel en se limitant aux intégrales de première espèce; au point de vue analytique, cette extension est d’ailleurs plus curieuse qu'utile, et nous n’y insisterons pas (!).

II. — Du genre géométrique (#/ächengeschlecht) des surfaces algébriques (2).

G. Dans la théorie des courbes algébriques, la considération des intégrales de première espèce conduit à un nombre qui joue un rôle considérable : c’est le nombre habituellement désigné par p, et qui est égal au nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Considérons pareillement une surface

(*) Dans deux Mémoires du Journal de Mathématiques (1887 et 1890), M. Humbert a fait d’élégantes applications géométriques de l'extension du théorème d’Abel aux intégrales multiples.

(2) La notion de genre a été introduite dans la théorie des surfaces par Clebsch dans une courte Note des Comptes rendus (décembre 1868). Elle a été ensuite approfondie par M. Noether dans un Mémoire du tome IT des Hath. Annalen, que nous avons déjà cité, et surtout dans son Mémoire fondamental du tome VIII de la même collection. Dans ce dernier Mémoire, M. Noether se place uniquement au

point de vue algébrique.

algébrique irréductuble quelconque de degré m

ES 2e dy

l'expression générale des intégrales doubles de première espèce. Le polynome Q est un polynome de degré »m— 4, et dépend d’une manière linéaire et homogène d’un certain nombre de constantes arbitraires. Soit p, ce nombre, de telle manière que, si l’on

et soit

désigne par (S) Q:, Q», HOLY) Qpz

Pg polynomes correspondant à des intégrales de première espèce, entre lesquels on n’a pas de relation homogène et linéaire à coefficients constants. l'expression générale de Q sera

Q = A1Qi+ À 2 Q 2 +. Sa A pe Qpa

les À étant des constantes. Quand nous disons qu'entre les termes q

de la suite (S) n’existe pas de relation homogène et linéaire, on

peut entendre indifféremment qu’une telle relation

4 Q+aeQ:+...+a, Q,,—=0

(où les à sont des constantes qui ne sont pas toutes nulles) ne peut avoir lieu, soit qu'on y considère x, y, z comme trois variables indépendantes, soit que le point (x, y, 3) appartienne à la surface f. Les deux points de vue reviennent au même, puisque les Q sont de degré inférieur à 7.

Le nombre p, s'appelle le genre géométrique de la surface ; Noether le désigne aussi sous le nom de Flächengeschlecht; il est l'analogue du genre riemannien p d’une courbe algébrique. Nous verrons bientôt (Chap. VIIL) pourquoi nous ajoutons l’indice g : c’est qu'il y aura lieu d'introduire dans certains cas, à côté de pe, un autre nombre qui sera désigné sous le nom de genre numérique.

LA Ve . » © TT = = 2 1. Le genre p4 est un nombre invariant, c'est-à-dire qu'il est le même pour deux surfaces qui se correspondent birationnel-

Jement. Soient ICT z)= 0, lee V4) 10

les équations de deux surfaces algébriques; on suppose que l’on ait simultanément