HR NE
e— RC O7) et
X= mx, y, 2),
M7 (tr 7,72)
les R et r étant des fonctions rationnelles des lettres dont elles dépendent. Nous disons, dans ce cas, que les deux surfaces se correspondent par une transformation birationnelle. Il est immédiat que le genre géométrique sera le même pour les surfaces f et F.
En effet, à toute intégrale double de première espèce de f correspond une intégrale double de première espèce de F et inversement, comme le montrent de suite les substitutions birationnelles. Les genres des deux surfaces sont donc égaux ().
8. Indiquons quelques exemples simples. Soit tout d’abord la surface la plus générale de degré m; comme cette surface n’a pas de points singuliers, on aura
Pgz—
ce nombre étant le nombre des arbitraires dans un polynome d'ordre m— 4 à trois variables. D’après ce que nous avons dit dans la Section précédente, un point double isolé ne diminue pas en général le genre; nous avons vu qu'il en était ainsi, non pas
(‘) La démonstration de ce théorème, qui est immédiate, comme on vient de le voir, quand on se place au point de vue transcendant, après avoir discuté complètement la forme des intégrales doubles de première espèce, est, au contraire, très délicate quand on se place au point de vue algébrique, comme l’a fait Noether (voir Math. Annalen, t. VII, p. 514).
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seulement pour un point double à cône indécomposable, mais pour un point biplanaire général et même pour un point uniplanaire général. Au contraire, un tacnode général diminue le genre géométrique d’une unité.
Si, sur une surface, il existe une famille (dépendant d’un paramètre arbitraire) de courbes unicursales, le genre de la surface sera nul.Dans ce cas, il y aura certainement sur la surface une courbe, dépendant d’un paramètre arbitraire w, susceptible d’être représentée par deux équations de la forme
9 étant un polynome en æ et y, dont les coefficients dépendent algébriquement du paramètre #, et R étant rationnel en x et y et algébrique en w.
En effet, la famille de courbes gauches pourra nécessairement se mettre sous la forme
les coefficients dans © et R dépendant du paramètre arbitraire. Or, en laissant indéterminés tous les coefficients de + et R et écrivant que cette courbe est située sur la surface, on aura un certain nombre de relations algébriques entre ces coefficients. Ces relations devront nécessairement permettre de laisser au moins un de ces coefficients arbitraires, et l’on a alors le résultat annoncé.
Si cette courbe est unicursale, on pourra exprimer æ, y, = rationnellement en fonction d'un paramètre À, les coefficients des puissances de À dans ces fonctions rationnelles étant des fonctions nécessairement algébriques de w. C’est ce qui résulte de ce que, pour avoir ces expressions, il faut, en procédant comme on le fait d'habitude, prendre sur la courbe un certain nombre de points; on pourra prendre, par exemple, des points dont on se donnera les æ, les autres coordonnées dépendront alors algébriquement de w. Finalement, on pourra exprimer les coordonnées d’un point arbitraire de la surface sous la forme
= Pi(à, uw), J = P:(A, u), 3 —P;(À,u),
les P étant rationnels par rapport à à et algébriques par rapport à w. Supposons maintenant que la surface possède une intégrale double de première espèce; celle-ci sera de la forme
sh S(À, u) dÀ du,
S étant rationnel en À et algébrique en w. Or, une telle intégrale ne peut être de première espèce. Prenons, en effet, une valeur arbitraire de w, soit w,; la fonction rationnelle $S en À aura au moins un pôle correspondant à une valeur de 4. On peut supposer ce pôle à distance finie et regarder son affixe comme une fonction holomorphe a(u) de w dans le voisinage de w,; en posant alors
notre intégrale prend la forme
[f* d\ du PU d,
mm étant un entier au moins égal à un, et H une fonction finie et
différente de zéro pour \ = 0, u = ws.
Il est par conséquent visible que, pour un continuum convenable d'intégration, l'intégrale devient infinie, ce qui établit la remarque énoncée plus haut.
On en déduit, en particulier, que, pour une surface réglée,
on € Des O.
