PETIS

c'est-à-dire que Pn Ho

résultat qui est évident si Pr et p,, sont respectivement égaux à De et je mais qui, dans les autres cas, exige une démonstration spéciale. La démonstration de M. TD comme celle de M. Noether (!), qui a repris la question après l’éminent géomètre danois, sont fort longues. Nous ne les suivrons pas dans cette voie. Dans des travaux récents (2), M. Enriques a étudié à un point de vue nouveau, extrêmement fécond, le genre numérique d’une surface; ses belles recherches trouveront place dans le Tome I! de cet Ouvrage.

Le fait que l’on n'a pas toujours pr = Pz introduit dans la théorie des surfaces un élément de classification qui n'avait pas son analogue dans la théorie des courbes. Un premier type de surfaces, le type général, correspond aux surfaces pour lesquelles

Pa IR

La surface, dans ce cas, est dite régulière; on appellera érrégulière une surface pour laquelle

Pr < Pg:

19. Après avoir indiqué la formule susceptible (au moins dans certains cas) de donner p4, indiquons les formules susceptibles de donner pl!) et p@?). Nous nous plaçons dans le cas général où ne se présente pas la circonstance spéciale indiquée au n° 6 etoù l’on a,

par suite, p? — pl) —

Il suffira de calculer l’un de ces deux invariants; c’est p°?) que nous allons obtenir le plus rapidement. Nous supposons quepe2 9, et nous considérons deux adjointes distinctes du système ue nique; elles ont en commun, en dehors de la courbe double C, une courbe l qui coupe C aux #{ points triples, et, en outre, en À

(°) NoeTuer (Math. Annalen, t. VII; Mémoire déjà cité). (?) EnriQues (Mémoires cités au Chap. VII, p. 197).

autres points, el nous avons vu au n° 2, que l’on à

r = d(2m—10)—0 — 64, r étant le rang de C. On en déduit

0— d(2m—10)— 7 —6Gt.

Or, la courbe T est de degré (m—4} — d; elle coupe donc la surface f en un nombre de points égal à m[(m—4}— d];

mais, parmi ces points, il y en a, sur C, qui représentent un nombre de points d’intersection égal à

20 + 34, et, par suite,

En réduisant et substituant au rang 7 le genre p de la courbe

gauche, on trouve

pa = mim—i}—(5m—24)d+2p+9t— 4, et l’on a, pour le second genre p(1) de la courbe,

PV = mim—4)?—(5m—24)d+2p+gt—3.

Il peut arriver ici quelque chose d’analogue à ce qui s’est présenté pour la formule donnant p, ; alors même qu’il n’y a pas d’adjointe d’ordre m — 4 (p,;= 0)et, par suite, quand le second genre p*), tel que nous l’avons défini, n’a aucune signification, la formule précédente n’en continue pas moins à donner un nombre déterminé positif ou négatif. Il y a donc encore lieu d'introduire, à côté du second genre (Curvengeschlecht), un autre nombre qu’on peut appeler le second genre numérique, mais nous n’insistons pas, pour le moment, sur ces notions que nous devrons plus tard approfondir. Ce qui précède suffit pour montrer quelles surprises réserve la théorie des surfaces algébriques ; en particulier, la distinction qu'il peut y avoir lieu de faire, comme nous l'avons

montré sur des exemples, entre le genre géométrique et le genre numérique d'une surface, distinction qui n’a pas d’analogue dans la théorie des courbes planes, montre sous un nouveau point de vue la différence profonde qui existe entre le cas de deux variables et celui d’une variable, différence que nous avions déjà rencontrée dans le domaine de la Géométrie de situation et dans l’étude des

intégrales de différentielles totales.