CIC WI=T

les équations des deux quadriques dont l’intersection donne C. La surface du sixième degré, qui aura pour courbes doubles Cet D, a pour équation

(ao A?+ a; AB + A,B?)v?

+ (bo A? + b, AB sn b,B?)oy +( Co A2 + C1 AB + c2B2)Ÿ?2— 0,

les a, b, c étant des constantes. On peut démontrer que cette surface correspond point par point à un cône du troisième ordre sans droite double.

16. Les exemples précédents montrent que l’on ne peut s’attendre à trouver une formule numérique qui donne, dans tous les A 4 ne ? À Es 2e À cas, le genre géométrique p, d’une surface algébrique. Après les cas particuliers que nous venons de traiter, revenons au cas général d’une surface ayant comme singularités une ligne double C, dont nous désignerons le degré par d et le genre par p, cette ligne double ayant £ points triples qui sont aussi des points triples pour la surface. Le genre p, de la surface est égal au nombre

(mm —1)(m—2)(m—3)

diminué du nombre des conditions qui exprime qu’une surface de degré m— 4 passe par la courbe C. Or nous avons cherché, dans la section précédente, le nombre exact des conditions exprimant qu'une surface de degré Æ passe par une courbe C; nous avons trouvé, pour représenter ce nombre de conditions, l'expression

(C2 kd—2t—p+t,

pourvu que X dépasse une certaine limite; dans le cas contraire, l'expression précédente n’est qu'un maximum pour le nombre des conditions. Par suite, si À — m — 4 est assez grand pour que l’on puisse avoir, par la formule ci-dessus, le nombre exact des conditions pour qu’une surface de degré »m — 4 passe par la courbe

double, on aura

— per UE 3) )

Si, au contraire, il n’était pas légitime de se servir de l’expression (4) pour À — m—4, le second membre de l'égalité précédente ne représenterait pas p,, mais un nombre plus petit; nous poserons, dans tous les cas,

(nd) (ne)

me 6 (m—{)d+2t+p—1r:

on appelle p, le genre numérique de la surface, et l’on a nécessairement, d’après ce qui précède,

Pn <Pg-

Tandis que p4 est essentiellement positif (ou nul), le nombre p, peut avoir un signe quelconque.

17. C'est M. Cayley (1) qui a remarqué le premier que la formule, trouvée pour pg, en se servant sans précaution de l'expression (&), pouvait donner un nombre négatif (2). Cet exemple, très général, est celui des surfaces réglées algébriques quelconques. Avant de l'indiquer, reprenons l’expression de p, en introduisant, au lieu du genre p, le rang r de la courbe double C. On a, comme nous l’avons vu,

r = d(d—1)—2h—6Gt; et d'autre part,

PSY:

MUC

ÎP

: Lan : :

) A. CayLEy, On the Deficiency of certain surfaces (Math. Annalen, t. III 11) *) Nous avons vu plus haut qu’un cône suffit pour fournir un exemple de surfaces à genre négatif.

On en déduit pour p,

or rt (m—3)d+l+ar

Ceci posé, si l’on considère une surface réglée algébrique générale, elle a une courbe double, et sur cette courbe double un certain nombre de points triples. Dans un Mémoire sur les surfaces réglées algébriques, Salmon a montré que l’on avait entre le degré d, le rang r et le nombre # des points triples de cette courbe double, les relations

En se servant des formules de Salmon, on trouve, pour p,

On voit que p, ainsi obtenu est négatif, et égal au genre, pris avec le signe moins, d’une section plane quelconque de la surface.

18. La considération du genre numérique d’une surface, quand il ne coïncide pas avec le genre géométrique, n’offrirait que peu d'intérêt si ce genre numérique n'était pas, comme Pg, un nombre invariant. Or, il résulte des remarquables recherches de M. Zeuthen (!), que p, est un invariant; pour énoncer avec précision le beau théorème de M. Zeuthen, nous devons ici nous borner à considérer deux surfaces f et f' se correspondant point par point et n'ayant que les singularités ordinaires. Si m, p, d, t d’une part, et m/, p', d', t' d’autre part, représentent les nombres relatifs aux surfaces f et f', on peut établir que

(m—4jd+2t+p—1

(m'—4)d'+ot+p—i,

(:) ZEUTHEN, Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un à un (Math. Annalen, t. IV).