X INTRODUCTION

Pour que cette intégrale fut nulle, il faudrait que Ton eùl

et par conséquent

a.r dy

l^a fonction y (:?) r= X -j- /Y se réduirait alors à une conslanle

THÉORIE

DES

KT

RclalioDs

M»=A(5 — c,) (5 — cj ... (;; -c„).

— Fonctions uniformes sur une surface de Ricmann : zéros, points singuliers, pôles, ordres. — Fonctions rationnelles de ^ et m : propriétés caractéristiques.

— Genre.

1. Nous consacrons ce Chapitre à l'étude des surfaces de Riemann correspondant à une relation de la forme

et à la théorie des fonctions uniformes sur ces surfaces. Pour bien faire comprendre la méthode, nous commençons par deux cas particuliers très simples.

G>nsidérons d'abord la relation algébrique

M*= Zj

entre la fonction u et la variable z.

{*) Ouvrages à consulter : Hikuk^Sj Inaugural dissertation; Neumann, Théorie der AbeTschen Intégrale,

A chaque valeur de z

z =: p (cosO -4- i sinO)

correspondent deux valeurs de u égales et de signes contraires

p* I COS h l

* ( COS — h t sin- )»

Mj-t- Mî= O.

Si le point z décrit une courbe fermée, C n'entourant pas l'origine, l'argument de z part d'une certaine valeur 0 et revient à celle

Fig. 1.

même valeur : chacune des déterminations Ui et M2, suivie par continuité, reprend sa valeur initiale quand le point z reprend sa position initiale.

Si le point z décrit une courbe fermée C entourant une fois l'origine, l'argument 0 de z part d'une certaine valeur initiale et reprend cette valeur augmentée ou diminuée de air, suivant Ir

sens dans lequel la courbe est décrite; l'argument - revient donc

à la valeur primitive augmentée ou diminuée de tc; la détermination Ui suivie par continuité prend la valeur u^ quand le point z revient à son point de départ; inversement 1/5 prend la valeur Ut. Donc les deux déterminations de u se permutent quand :; tourne une /ois autour de l'origine. D'une manière générale, si le point z revient au point de départ après avoir tourné /ifois autour de l'origine, les déterminations W| et Wj reprennent leurs valeurs initiales ou se permutent suivant que n est pair ou impair.

Les deux détermina lion s it^ et u^ ne sont donc pas Tonchons uni- I /ormes de z dans le plan indéfini des a ; niais, dans loiite région à contour simple ne conlenant pas l'origine, elles sonL t]e:s fonctiaiis analytiques tiiiiformes de :;.

S. En suivant la mélhode générale donnée par Kiemann, on jieul remplacer le plan simple, sur lequel u n'esi. pas une fonclion uniforme de z, par deux feuillets indéfinis superposés dont l'ensemble constitue une surface unique, sur laquelle la fonction u devient uniforme, cl qu'on nomme sur/ace de liiemonn.

Prenons deu'^ plans l'i et P^ limilés chacun par un cercle do ra^on R aussi grand qu'on le veut, ajant pour centre l'origine O d'un système d'aies Ojr et O^; puis découpons dans cliaciin de ces plans une petite ouverture rectiligne suivant le ravon Ox, «I b, Oc, rfi dans le premier, rtjftjOcjrfj dans le deuxième, ces ouvertures ayant une largeur infiniment pelilc : nous obtiendrons les deux feuillets séparés représentés dans la /!g. a.

Si l'on pari il'un point Za du premier jilan avec la di^lcrminn- I lion «" de la fonclion h, cette déterminalion, suivie par coniî- I nnilé, est une fonclion uniforme de u sur le plan ou feuillet P,, ' CBri à cause de la bande découpée a, b, Oc, ci,, la vaiiable s ne

peut pas tourner autour de O; de même, la détermination », est

uniforme sur le plan Pj, Noua imaginerons qn'en chaque point s du , plan P| on inscrive la valeur de la détermination u, ainsi obtenue

}>ar continuité et en chaque point z du plan P^ la valeur de la dé-

lerminalioD ug.

Il est utile de remarquer que les valeurs de la détermination U|

points situés en face 1'

e l'aulre sur les bords opposés de

Touverlure a^b^Cxâ^ sont égales et de signes contraires. Ainsi, en appelant Wi (6<) et f/<(c4 ) les valeurs de u^ aux points &i et Ci situés en face Pun de l'autre, on a

En effet, partons de b\ avec la détermination U\ {b\) inscrite en ce point : si la variables décrivait le contour 6< EF6< entourant O et revenait en b^^ la valeur finale de u serait — w<(6<); mais z ne peut pas revenir en b^ à cause de Fouverture axb\C\d^\ le point z doit s'arrêter au point Cx sur le bord de cette ouverture en l'ace de 6| . Comme l'ouverture a une largeur infiniment petite, la valeur w<(c<) trouvée en C| est infmiment peu différente de celle qu'on trouverait en 6, en achevant le tour; on a donc

wi(ci)= — 1/1(6,).

De môme, sur le plan P2, on a

Comme les valeurs de u^ et u^ correspondante une même valeur de z sont égales et de signes contraires, on a enfin

wi(ci) = — ;/j(c2)= f/j(6i),

"l(6i)=— Mi(6,)=l/,(Cj).

Nous avons ainsi obtenu, sur deux feuillets entièrement séparés, le tableau complet des différentes déterminations de m. Riemann réunit ces deux feuillets en une surface unique par le procédé suivant : Plaçons le feuillet P< au-dessus de P2, réunissons par une bande de surface les deux bords a< è< et d^c^] puis par une autre bande de surface traversant la première les deux bords (t., bi et d^ C\ . Nous obtiendrons ainsi une surface unique composée (le deux nappes planes qui se traversent suivant une ligne double ou ligne de passage dirigée suivant un rayon. Pour se représenter cette surface, on n'a qu'à imaginer les deux feuillets placés à une certaine distance l'un au-dessus de Taulre. On peut imaginer, par exemple, que les bords06,flri elOc^d^i/ig. 3) sont raccordés par une portion de surface engendrée par une droite parallèle aux plans P, et Pa s'appuyant sur les deux directrices rectiligpes 00| O

et «1 d^ ; de même Oc» rf| et 062^2 sont raccordés par une bande de surface engendrée par une droite parallèle aux deux plans s'appuyant sur 00|0 et d^a^^ Ces deux surfaces de raccord ont la génératrice commune 0|L suivant laquelle elles se traversent, et qu'on appelle ligne de passage d'un feuillet dans l'autre.

Fig. 3.

On voit, sur la figure, qu'on peut passer du point (-5,w<) du feuillet supérieur au point (:;, Wj) du feuillet inférieur, en suivant le chemin continu

iz, Ml) l^^fiziZy Ui)

qui fait un tour autour de l'axe 00| O; inversement, on peut remonter du point (;;, U2) au point (z, Ui) en suivant le même chemin en sens contraire, ou en prenant le chemin

U, «0«WV(^,M,).

De telle sorte que le chemin total formé de ces deux chemins placrs à la suite l'un de l'autre

(z.ui) «Pyos (ZfUi) a'p'yoV (Zy Ui)

ramène du point {z,Ui) à ce même point après deux tours autour de l'axe 00|0. La continuité de u est assurée qiiand on passe d'un feuillet dans l'autre parce tait que la valeur de u^ en un point du bord 06| ai dans P| est égale à la valeur de U2 au bord opposé

Oc^d'x dans Pg, et que ces deux bords sont précisément ceux qu'on a réunis ; il en est de même des d«ux autres bords Oci rf| et

Nous ferons celle convention que les points des deux feuillets appartenant à la ligne de passage Oi L sorti absolument distincts ; de sorte que, par convention, le chemin y^a (5, u^ )e'8'Y, quoique partant du point y de la ligne de passage et revenant à ce point, ne constitue pas un chemin fermé, car le premier élément de ce chemin est dans Tune des nappes qui se croisent suivant 0| L et le dernier élément dans Tautre. En vertu de cette même convention, les deux chemins (i) et (2) n'ont pas de point commun en y. En général, deux chemins aboutissant en un même point de la ligne de passage ne seront considérés comme se coupant sur cette ligne que si leurs deux éléments aboutissant en ce point sont situés sur une même nappe. Cette convention est spéciale à la ligne de passage : aLinsi un chemin partant d'un point de l'axe 00| O et aboutissant en ce même point est toujours un chemin fermé.

La figure précédente est une figure dans l'espace : en réalité, on suppose les deux feuillets P| et P2 infiniment près l'un de l'autre, et l'on représente la projection de la figure sur le plan P2 telle que la verrait un observateur placé à une grande distance au-dessus du plan P|. De plus, on ne figure pas les lignes 06| «i, Oci rf|, ..., qui ne jouent plus aucun rôle. Les deux plans apparaissent alors comme superposés : la ligne de passage se projette en OL. On convient de tracer en traits pleins les chemins situés dans le feuillet supérieur et en trails pointillés les chemins situés dans le feuillet inférieur : ces derniers points étant invisibles pour l'observateur placé au-dessus du plan P| . Par exemple, les chemins précédents (i) et (2) sont représentés par les tracés ci-dessous (fig* 4) • la partie (5, Ui ) a3y étant dans le feuillet supérieur est en trait plein; on traverse ensuite la ligne de passage, on passe dans le feuillet inférieur, et l'on a la partie yos (5, Wa) en pointillé, conduisant au point (;;, U2) du feuillet inférieur. En continuant à tourner dans le même sens à partir de (z^ 1/2)7 on suit le chemin (3, U2) (o^'P'y)? dans le feuillet inférieur, puis yo'e' (3, W|) dans le feuillet supérieur.

3. Pour désigner un point de la surface de Riemann, au lieu de

le fouillet inrériem {:i,Uî) en tiidiquan

i z et qu'il est dans le Teuillet siipériei 1 dil souvent le poinL (:;, »,) c

riable indépendante z celle des

le IcuiUet dans lequel on place le point z. On appelle point analytique (sj m) rensenible d'une valeur de z et de l'une des délertninations correspondantes de la fonction ic. D'après cela, à chaque point analytique correspond un point unique de la surface lie Riemann et réviproquemenl.

En particulier, à chaque point -^ de la ligne de passage correspond un point analytique qui est dilTérenl suivant que ce point y considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre des feuillets I qui se croisent suivanl OL; c'est ce que nous avons expliqué plus I liant en détail. Au point O lui-méiue les deux feuillets se réunisf scDt; pour : =; o, les deuï points analytiques (s, h,) (s, m») se l réunissent en un seul (o, o). Ce point se nomme /loi/il de rantiji- I cation de la sur/ace de liiemann ,

Comme le rajon R est aussi grand qu'on le veut, les considé- I rations pi-écédentes s'étendent il tout le plan des z, qui se trouve I ntDSÎ recouvert de deux feuillets indiTiuis soudés l'un à l'autre le ' long d'une ligue de passage OL indéjinie dans le sens OL.

■i. Pour étudier la fonction u il l'infini, on pose 3 ^ - el I est ramené à étudier la fonction

dans le voisinage de ^' = o. A chaque valeur de z^ {J^g- 5) correspondent deux valeurs Ux et 1/2 de u égales et de signes contraires. Ces deux déterminations, suivies par continuité, reprcn-

r«'i or fj

nent les mêmes valeurs quand 5' revient au même point sans avoir tourné autour de Torigine O' ou après avoir tourné un nombre pair de fois autour de O'; elles se permutent, au contraire, quand 5' tourne un nombre impair de fois autour de O'.

C'est ce que Ton voit immédiatement, comme ci-dessus, pour le point c = o (n° 1). On pourra donc remplacer le plan simple x'O'y'^ sur lequel la fonction u de z' n'est pas uniforme, par une surface de Riemann à deux feuillets raccordés le long d'une ligne de passage O'L' issue de O' et indéfinie dans un sens, dans le sens O'^', par exemple. On exprime ce fait, par analogie avec ce qui précède, en disant que la surface de Riemann primitive a un point de ramification à l'infini. En ce point ^' = o, les deux déterminations de u sont égales et infinies.

En résumé, la surface de Riemann à deux feuillets, sur laquelle la fonction u est uniforme, a deux points de ramification z = o, 3 = QO et une ligne de passage allant de o à l'infini, c'est-à-dire de Vun de ces points à r autre.

o. On peut simplifier un peu ces considérations, à l'aide de la transformation suivante.

Sur le plan xOy de la variable 3, élevons une perpendiculaire 00' égale à 1 et, sur 00' comme diamètre, décrivons une sphère (fig- 6). Soit z un point du plan des xy^ la droite O' z coupe la sphère en un point Ç et le triangle rectangle O'O^, dans lequel O^ est la hauteur issue du sommet de l'angle droit, donne

1 [jciit donc dire que la sphère esl la lransforrn(?e du plan rayons vecteurs réciproques, le ptile de transformation IJÎlant O'. Nuus faisons correspondre ainsi à cliaque point s (In plan un point Ç de lu sphère et inversement.

Supposons que le plan j:Oy soit recouvert par la surface de [ Rïemtiiin â detii fcuilleis, précédemment définie, avec la ligne de I passade indélinie OL dirigée suivant Ox. Nous avons supposé \ <[u'en chaque point z de chaque feuillet on a inscrit la détermination correspondante de u, de façon que, à ehaquc point de la surface de Riemann, corresponde «n point analjlique déterminé (ï. II). Si l'on applique à cette surface de Hiemann la transformation par rayons vecteurs réciproques que nous venons de définir, chacun des feuillets se transformera en un feuillet sphérique : la surface se transformera en une autre, formée de deux feuillets sphériqncs appliqués sur la sphère, soudés l'un à l'autre le long de la ligne de passage OAO' qui esl une demi-circonférence transformée de la demî-droile indéfinie OL. A chaque point analytique (2, u) de la surface de Biemann plane corres- I pond un point Ç de la surface de Riemann sphérique, où l'on kjpourra supposer inscrite la valeur correspondante » et que nous rons le point (4, u) de la surface sphérique. La valeur de t fonction u, en chaque point de la surface de Hiemann sphéique est ainsi bien déterminée. Quand nous dirons que le point nalytique (Ç, u) décrit une courbe sur la surface sphérique à , feuillets, cela signlGera que le point aitaljtique corresponint (2, u) décrit sur la surface de Riemann plane la courbe îorrcspondanle.

lO CHAPITRE I.

L'avanlage de celte nouvelle représenlation est que la nouvelle surface de Rieraann est limitée; les points à l'infini dans le plan des z ont pour image sur la sphère le seul point O' qu'on appelle le point oo; on voit, d'après cela, que la surface de Riemann sphérique a deux points de ramification O et O' et une ligne de passage OAO' joignant ces deux points.

Pour étudier la fonction u pour des valeurs très grandes de z,

nous avons posé z ==—,• Cette transformation a une interprétation

géométrique simple dans la figure précédente. Menons en O' le plan tangent à la sphère et, dans ce plan, un axe O'x', parallèle à O j: et de même sens que O^, puis un axe O'y' perpendiculaire, dirigé en sens contraire de Oy. La droite OÇ perce le plan jr'Oy en un point z' qui est précisément la représentation du point z', lié à :; par la relation zz' = i.

En effet, les deux triangles semblables 00' c' et O'Oz donnent immédiatement

de plus, l'angle xOz est égal à x'O^z', Donc, en vertu de l'orientation des axes Oy et Oy, les quantités imaginaires z et z' ont des arguments égaux et de signes contraires, ce qui prouve la relation annoncée zz'=ii, La surface de Riemann sphérique à deux feuillets est donc aussi la transformée par rayons vecteurs réciproques de la surface de Riemann du plan des x'y' que nous avons introduite pour étudier la fonction u, dans le voisinage de z'^=o. Remarque. — Si l'on étudiait de même la fonction

on verrait qu'elle est uniforme, sur une surface plane à deux

Fig. 7.