Prenons maintenant Téquation

a* = A ( ^ — Cl ) ( ;: — e, ) ( -5 — cj ) ( -5 — e^ )

où ei, ^2, ^3, Cs désignent quatre constantes différentes et A une constante différente de zéro. A chaque valeur de z répondent encore deux déterminations Uy et W2 égales et de signes contraires. Posons

z — «1= /'iCcosOi-i- isinOi),

z — ej= rj(cos6t-f- tsinOj), 5 — 68= /•s(cos6s-h tsinôa), z — ^4= r4(cos64-{- isinO^).

Si nous figurons les points fixes ^1,^2,^3,^4 et le point z,

Fig. 8.

/'i est Ja distance c^ z et 61 l'angle de e^ z avec la parallèle e^x^

à Taxe OvT; de même pour /'a, O2,

On a

. Oi-hOî-t-e^-h 0;\

/ /T / Vi-T- uj-t- V3-:- W4 . . uj-f- wj-t- U3-r- w; \

//, = /n Ti 7-3 r^ /A ( cos ■ H- i sm : )

«t= ^Jr^r^i

-, a v^A cos (

-r- 1 sin I

CIIAPITRK I.

OÙ y/A désigne Tune des déterminations de la racine du nombre réel ou imaginaire A. Ces deux déterminations Ui et 112 ne peuvent devenir égales à distance finie que si elles sont nulles, caria somme Ui -h U2 est nulle; elles ne deviennent donc égales qu'aux quatre points ^1, ^2, ^3, ^4.

Lorsque z décrit une courbe fermée entourant un seul des points ^1, 62, ^3, 64, Ui et U2 ne font que s'échanger. Par exemple, si :; décrit la courbe fermée {Jig' 8) C entourant une fois le point ^i, lorsque z est revenu au point de départ, 0| a augmenté ou diminué de 27:, O2, 63, O4 ont repris leurs valeurs primitives. La valeur ;/| suivie par continuité s'est donc changée en U2 et inversement 112 en Ui, Si z décrit une courbe fermée entourant une fois deux des points 61, ^a, ^5, 64, par exemple C, chacune des deux déterminations W| et f/2 reprend sa valeur primitive, car deux des arguments 6|, 62, 63, O4 reprennent la même valeur, chacun des deux autres étant augmenté ou diminué de 211.

En général, si z décrit une courbe fermée quelconque, les valeurs de Ut et U2 restent les mêmes ou s'échangent entre elles suivant que le nombre total de tours faits par la variable z autour de chacun des points e^ , ^2, ^3, e^ est pair ou impair, c'est-à-dire suivant que la variation de 0| H- Oo -+- 63 + 64 est un multiple pair ou impair de 2tz,

7. Voici maintenant comment on forme la surface de Riemann correspondante. Prenons deux plans séparés P| et P^

Pig- 9

jt^

{fig'd) limités l'un et l'autre par un cercle de rayon très grand R décrit de l'origine des coordonnées comme centre : sur chacun de

CCS plans mai deux plans I

|uons les points e,, e-i, ei, <^\, puis enlei'onx des i bandes iofinimenl étroites

^.«ifi^i,

comprises entre les points e, et e^ d'une part et les [loinls p, et e, d'autre part. Nous avons ainsi percé dans les deux plans quatre ouvertures de forme linéaire deux à deux égales; nous supposerons que la variable z ne puisse pas franchir ces ouvertures.

Supposons que l'on parle du point z^ du plan P, avec une déierininalîon u^ : comme z ne peut plus passer entre e, et 6] ni enlre e^ clCf, quelque soit le chemin que suives pour revenir au point de départ, un obtiendra toujours la même détermination (inale de it, car toutes les courbes fermées tracées sur P) entourent nécessairement un nombre pair de points e,, e^, i-,, f,. Plus généralement, quel que soit le chemin que suive z pour aller, sur P|, <)<> point Zn à un autre point z, la détermination finale n, est toujours la même. Ainsi les deui chemins C et C conduisent en s à la même détermination de u. En elTet, soil u, la détermination obtenue ea s par le chemin C; pour trouver la valeur que prend h au même point quand z parcourt le chemin C, on peut faire décrire à S la courbe fermée ZoCzCso suivie du chemin z^Cz, car cela revient à ajouter au chemin C le même chemin zCz^ parcouru deux fois de suite e» seiis contraire ; la courbe fermt'c ^oC'aCs» ramène en z^ lu détermination n ", puis le chemin zCza donne en ; la détermination h, : donc le chemin C donne la même détermination u, en z que le chemin C.

Cette délermiiiarion u, est une fonction uniforme de ; sur le plan P, avec les deux ouvertures ff) fa et ejC,. On peut remarquer qu'aux deux bords opposés de l'une des ouvertures les valeurs de «I sont égaies et de signes contraires. En effet, soit u, (a,) la valeur de n, en k, ; si la variable z pouvait parcourir à partir de a, le chemin a, DD'a, entourant une fois le point fi, la valeur initiale de u étant ii,{x,), la valeur finale au point a, serait — Ui^Xt y, mais la variable z ne peut pas revenir jusqu'en a^ : elle s'arrête sur le bord de l'ouverture e,e-i an point ^, situé en face dea|.CeHeouverlure(7|Cjétant infiniment étroite, la valeur», (j3t) en Jl, diffère infiniment peu de celle qu'on trouverait en

I \ CIIAPITBE I.

ai si Ton achevait le tour : on a donc

De même, sur le plan P2, la détermination u^-, obtenue en un point de ce plan en prenant pour valeur initiale de u en Zo Vautre détermination w"? ^st une fonction uniforme de z quand on a pratiqué dans le plan P2 les deux ouvertures ^1^21^3^* égales à celles du plan P<. La valeur de U2 en un point z quelconque de P2 est égale à la valeur de W| au même point z de P| changée de signe. On a en particulier aux points ai et a2, (3| et ^2

et comme

ni(aLi)= —1/1 Oi) on a

"iC«i) =Ui{h)y '«i(3i)= Ui(iif),

Supposons, comme dans l'exemple précédent, que l'on ait inscrit en chaque point z du plan P| la détermination correspondante de w, et en chaque point de P2 la détermination correspondante de U2' L'ensemble de ces deux plans formera le tableau complet des valeurs de u, chacune n'étant inscrite qu'une fois. Nous pouvons réunir ces deux plans en une sur/ace unique par le procédé suivant, identique à celui qui a déjà été employé dans l'exemple n® 1.

Plaçons le plan P| au-dessus de P2 de façon à faire coïncider les points ^i, ^2, e.,, e^ de l'un avec les mêmes points de l'autre. Soudons, par une petite bande de surface, le bord et ai e-i de l'ouverture ei e-i du plan P| au bord opposé e^ ^2^1 de l'ouverture Ci e^ du plan P2; et, inversement, soudons par une petite bande de surface le bord ^{^1^2 de l'ouverture du plan P| au bord oppos<* ex^2^2 de la même ouverture de P2. Ces deux bandes se croiseront suivant une ligne allant de ^i en ^2, la ligne L| 2 qui sera une ligne de passage pour passer d'un plan à Tautre. Nous ferons la même opération pour souder les deux bords de l'ouverture e^e,^ du plan Pi aux bords opposés de la même ouverture du plan P2, à l'aide de deux petites bandes de surface qui se traverseront suivant une ligne de passage Ls,,

unique rorjiiéi us venons de 1

de deux feuil-

Nous obtenons ainsi une surfac [ lets superposés et soudés comme i

Cette surface est analogue à celle qui est repri'senlëc par i la Jig. lo, avec cette différence que, dans la rt'-alil^, les deux

Ifeuillets sont inlintment i

ippi

■celles et le-

iverlures inOnii;

éiroiles. On a llguré la surface telle que la verrait un observateur debout sur le feuillet supérieur. Les droites joignant les points correspondants des deux plans parallèles P, et P^ soni supposées perpendiculaires à ces plans, par exemple eiC,, e^e^^ l't [a droite:;»!, zu^ : celte derniûre seule est Iracce.

A cliaquc point de cette surface de Riemann correspond une \aleur de m (celle qui est iuscrile en ce point) et réciproquement. En appelantpoinl analytique {:,u) l'ensemble formé par une valeur de :: et l'une des déterminations de u, on peut dire qu'à chaque point de la surface correspond un point analjtique (s, ii) rt un seul. Quand le point z se déplace d'une manière continue sur la surface, la valeur correspond^inte de u varie d'une manière continue.

On a reprtîsenlé la courbe suivie par le point de la surface de (lîemann ou point analytique, quand z tourne autour du point Pj; on pari du point (=, it, ) du feuillet supérieur, puis 3 décrivant la r,ourbe 0, arrive en v, sur le bord <ie l'ouverture e^p, ; le pnini

l6 CHAPITRE I.

analytique descend alors par la bande qui joint le bord y^ de e^ e^ au bord opposé Sa de l'ouverture ^8^4 du plan inférieur et arrive en O2, d'où il suit enfîn une courbe C2 qui l'amène au point (2, 1/3) placé au-dessous du point de départ (2, Ux),

On a figuré également le chemin suivi par le point analytique pour remonter de (5, u^) en (5, w<) quand z tourne autour de e^* Les quatre points ^i, Pa, ^3, e^ sont les points de ramification de la surface. Les lignes de passage sont représentées en Lia et Lj4 ; les deux nappes qui se traversent suivant ces lignes sont regardées comme absolument indépendantes l'une de l'autre. Une courbe qui part d'un point de la ligne de passage et aboutit en ce même point n'est considérée comme fermée que si son premier et son dernier élément sont dans la même nappe. C'est ce que nous avons expliqué en détail à propos de l'exemple I.

Si l'on convient de représenter la surface de Riemann par sa projection sur le plan P2, telle que la verrait un observateur placé très loin au-dessus de P|, on obtient la figure ci-dessous {fig- 1 1),

Fig. II.

où sont représentés les quatre points de ramification et les deux lignes de passage. Les chemins situés sur le feuillet supérieur sont en traits pleins, les chemins situés sur le feuillet inférieur sont ponctués. C'est ainsi que les deux chemins figurés dans la fig. 10 sont représentés sur cetle nouvelle figure. On a figuré aussi une courbe C partant d'un point (5', it\) du feuillet supérieur et revenant à ce point après avoir tourné plusieurs fois autour des points ^1,64^ on remarquera que chaque fois qu'on traverse une ligne de passage on change de feuillet : deux lignes qui se croisent sur la figure ne se rencontrent que si elles sont

Iracccs prés du point de croisemenl toutes deux en Iraits pleins 01 toutes doux en pointillé, car aulremcntclles se trouvent dans de: feuillets Hidérmls.

Point X. — Faisons : = -, , nous aurons

Dans le voisinage de ;'=o, le radical (|ui figure dans celte formule a deui dt:terminalions ijui sont l'une et l'aulre régulières, rVst-à-dire dévetuppabtes en une série convcrgcnie ordonnée snitant les puissances entières de ='. l'ar exempte, celle des déterminations du radical qui se réduit à 4- \'\ ponr ^=0 est donnée par une série de la forme

'nuire csl donnée par la série — «{=')■ ^" ^ ■'""'' po'"' "i dan voisinage de z' = n, les deux déterminations

luni/ormei toutes den\ ; en outre le point z' = o est un pôle d» second ordre pourcliacnne d'elles. On peut donc dire que lcsdeu\ ' déterminations de (/sont nnirormes dans le voisinage du point oc qui i est an pâle du second ordre pour chacune d'elles :d*uprès la conven- I lion spéciale faite pour le résidu au point x (voir Introduction), erésidu relatif au point se est — Aj pour la première détermination et ■+■ A» pour la seconde.

Les deus feuillets de la surface de Riemann sont donc entière-

Pînent dislincU à t'infini, car on ne passe pas d'un feuIMelà l'autre

en tournant autour du point ;'^ o. Le point ao n'est pas un point

Ae ramification de la surface : ce point est, dans chaque feuillet,

anpdle du second ordre de la fonction u.

• la

8. Si nous représentons la surface de Uîirin I (^g. la >, comme nous l'avons fait dans le premier exemple, non;

I aorons, sur las]ilière, une surface foi A. n G.

; do deux feuillets s

l8 CHAPITRE I.

posés avec quatre points de ramification e,, e.,? £3» S4, images des points e^ ^27 ^35 ^4» et deux lignes de passages A» 2 et A^t. On a trace sur la sphère les chemins correspondants à ceux de la fig, 1 1 , dont ils sont les images sphériques.

Fig. 12.