Soit enfin une équation générale
où A est une constante différente de zéro, ei,e2,. . .j^w, n cons tantes différentes.
Marquons dansle plan des:; les points ei,e2v**; ^/t* L.^ fonction // a deux déterminations u% et u^ égales et de signes contraires, ne pouvant devenir égales pour une valeur finie de z que si elles son! nulles toutes deux; ces déterminations sont donc égales à distance finie aux seuls points 6| , ^2, . . . , en. Si Ton part d'un point Zq du plan avec une détermination u\ et si Ton fait décrire à la variable :; une courbe fermée, on retrouve en -^o la détermination wj ou l'autre détermination u\ suivant que z tourne un nombre pair ou impair de fois autour de certains des points ei, ^2,..*, en'
Pour former les surfaces de Riemann correspondantes et étudier leurs ramifications, il faut distinguer deux cas, suivant que n est pair ou impair.
10. Premier cas: n impair. — Soit ai = 2/? + 1 . Prenons deux plans séparés P» et P2, marquons sur chacun d'eux les points e<, ^27«-«î^«î pwis, perçons ces plans d'ouvertures respectivement égales et de forme linéaire, les deux premières eia,eapi et <?i aL2e2 P2 joignant les points ^1,^2, les deux suivantes joignant les points es, ^4, • . ., les avant-dernières joignant les points e2/»i,e2y,.
Sl'RFACES nE ttlEll4NN k UKl
infia les deii»; dernières allanl de c-jp^, à ^direction dans les deux plans {Jig. i 3).
On suppose que les ouverlures ainsi pratiquées ne pas, ce que l'on peut toujours réaliser en numérotant les points Cl, Cj,..., Ci/j+i dans un ordre convenable. D'ailleurs il n'est pas nécessaire que les ouvertures soïenl reclilignes comme nous le supposons : on peut leur donner telle forme que l'on veut.
Sur les plans P| et P^ ainsi découpés, les deux déterminations Ui et Uj sont respectivement uni/armes; aux points placés en face l'un de l'autre sur les dL-iix bords opposés d'une ouverture, chacune des déterminations prend des valeurs égaies et de signes contraires ; par exemple, aux bords de l'ouverture e^ e-i, on a dans le plan V,
et dans le plan 1'^
d'où, comme », + "i estnul constamment, pour une même valeur f dex,
En supposant ii
rites en chaque point s de chaque plan P, et P^
' \ts déterminai ions correspondantes de u, et m^, on obtient un
tableau complet des valeurs de u où chaque valeur est inscrite
lu'à chai
point de l'un des deux plans el ii
ique point analvtiquc (=, ii)
20 CHAIMTRK 1.
Pour obtenir la surface de Riemann, superposons les deux plans de façon à faire coïncider les points ^i, Ca, . . . , ^î/>+i ; soudons, à Taide de petites bandes de surfaces, chaque bord d'une ouverlure du plan P| au bord opposé de Touvcrture correspondante du plan Pj. Par exemple, le bord et a, ^^sera soudé à e^ ^262, et^i ^i e-» à Cl oL-iC^ par deux bandes de surfaces qui se croisent suivant une ligne de passage L12; de même, les deux bandes soudant en croix les bords des deux ouverlures superposées e^Cj^ se croisent suivant une ligne de passage L34, . . ., enfin les deux bandes soudant les bords opposés des deux ouvertures <?2/>+iî ^ se croiseront suivant une ligne indéfinie L2p^.i,oo.
On obtient ainsi une surface de Riemann à deux feuillets avec 2p + I points de ramification z', , e^, . . • , ^2/»+i à distance finie et p -\- i lignes de passage
A chaque point de cette surface répond un point analytique (;;, w), et réciproquement; quand z varie d'une manière continu<; sur la surface de Riemann, la valeur correspondante de u varie aussi d'une manière continue.
Cette surface est figurée ici avec les mêmes conventions que précédemment (yî^. 14)»
oo
Éludions la fonction dans le voisinage de z=y^. Si l'on fait
z = -9 on trouve
Les deux déterminations du radical sont régulières au point
;'=o, mais le premier facteur -7 — : a deux déterminations qui
s'échangent quand le point z' tourne autour de z' =^ o, et qui deviennent infinies pour z' = o. Le point 00 est donc un point de ramitication (comme dans Texemple I) , pour la surface de Riemann, car, lorsque z' tourne autour du point z' = o, le point analeptique (z, u) passe d^ un feuillet dans l'autre.
Si l'on construit la sphère double correspondant à la surface de Riemann par la méthode d'inversion exposée dans le n° 5, à propos du premier exemple traité, on voit que cette surface de Riemann sphérique a 2/? -h 2 points de ramification
Si» M»
Êîp-»-l» O'
avec/? -f- 1 lignes de passage {/ig- i5)
11. Deuxième cas : n pair.— Soit n = 2/> 4- i. Nous tracerons alors, dans les deux plans P, et P2, /? -h i ouvertures deux a deux égales joignant les points t'i<?2, ^3^47 • • •» (^jp+t, ^2/>+2; P"is nous superposerons ces deux plans en soudant chaque bord d'une ouverture du plan P| au bord opposé de l'ouverture correspondante de P2.
l'A CHAPITRE I.
Nous aurons ainsi une surface de Rieraann à deux feuillets avec 2/? -h 2 points de ramification à distance finie et/? -f- i lignes de passage, surface analogue à la surface de Idi Jig. lo, pour laquelle/? = i .
Voyons enfin ce qui se passe au point oo. Dans le cas actuel (/i pair), le point oo n^est pas un point de ramification. Si l'on
fait 5 = - > on a
" = Y^i v(>- exz'){\ — etz'),., (i — «ip+t^').
Les deux déterminations du radical étant régulières au point :;'= o, chacune des déterminations de u est uniforme dans le voisinage du point 3' = o et admet ce point pour pôle d'ordre /? -f- i . Le point 00 est donc dans chaque feuillet un pôle d'ordre p -f- i de M, avec un résidu qui est le coefficient de z' dans le développement de la détermination correspondante de u suivant les puissances de 5', ce coefficient étant changé de signe.
La surface de Riemann sphérique correspondante a 2/? -i- 2 points de ramification Si, £2, . •',^2p+2 et /? 4- i lignes de passage A|2, A34, A2/,+i, 2/Ï+2- Elle est de même nature que celle du cas précédent (/i impair), avec cette seule difi'érence que, quand n est impair, Tun des points de ramification S2/7+2 coïncide avec le point O' {Jig, 16).
12. Cette identité de nature des deux surfaces de Riemann, correspondant aux deux cas de /i pair et de /i impair, deviendra tout
il fait évidente dans l'étude que nous allons faire des fonctions uniformes, et particulièrement des fonctions rationnelles en:; et a sur une surface de Riemann. La surface de Riemann, et non la relation algébrique, sera alors prise comme point de départ, et il est aisé de voir que toute fonction rationnelle sur une surface de Riemann, pour laquelle n = ip + 2, peut se ramener à une fonction rationnelle sur une surface de Riemann pour laquelle n = 7.p H- 1.
En effet, dans la relation
(i) M« = A(5 — ei)(5 — c) ... {z — etp^t),
faisons le changement de variable
d'où
w — Ck — -, ;
Si k est différent de 2/? -h 2, on peut écrire
- ^ /^ -, N *'^ Sk „ gi — ek
*» — «*= (^î/ï-t-l — ^k) —, > gk = —}
et pour A' = 2/? 4- 2
Cfp+t — ex
V — ^sp-Hs — — —I ; — *
Substituant et posant
(•2) u'^ = P^'{^'-gx){z'-gr)...(z'-g^p^,)
où
A' = A ( «tp+j — «1 ) ( «t/j-Hî — e, ) . . . ( e,p-4-j — et;,H-t ) , on a
D'après cela une fonction rationnelle sur la surface de Riemann correspondant à la relation (i), pour laquelle ai = 2/? 4- 2, c'està-dire une fonction rationnelle de u et 5, se transforme évidemment en une fonction rationnelle de u' et z' y c'est-à-dire en une fonction rationnelle sur la surface de Riemann correspondant à la relation (2), pour laquelle /i = 2;^ + i , et réciproquement.
jl\ chapitre 1.
13. Occupons-nous maintcnanl de Tétude des Jonctions uniformes sur une sur/ace de Riemann.
Si nous Imaginons une des surfaces de Riemann précédemment étudiées, nous dirons qu* une fonction r de z est uniforme sur la surface de Riemann quand elle ne prend qu* une valeur en chaque point (5, u) de cette surface. Par exemple, une fonction rationnelle ^11(5, u) de z et u est uniforme sur la surface de Riemann ; il en est de môme des fonctions
et^^z.u)^ tangJl(>s,a),
Si nous désignons, en général, par
la fonction uniforme considérée, elle a, pour chaque valeur de :; distincte d^un point de ramification, deux déterminations
correspondant aux deux points analeptiques (3, u^)^ (5, u^) superposas dans les deux feuillets. Les fonctions symétriques
i'i -h l'î et r|('j
sont évidemment des fonctions uniformes de z dans le plan simple des 5; car, lorsque z décrit un contour fermé quelconque dans ce plan, les deux déterminations v^ et V2 ^^ changent pas ou se permutent entre elles.
Désignons par (>3o, Wq) un point de la surface de Riemann distinct d'un point de ramification : sur le feuillet correspondant de cette surface traçons un cercle de centre (^o, Uq) et de rayon 0 assez petit pour que ce cercle ne contienne aucun point de ramification ; les points de la surface situés dans ce cercle constituent ce qu'on appelle le domaine 8 du point (^o, Uq). Dans ce domaine, u et, par suite, v sont des fonctions uniformes de z,
14. La fonction v est dite régulière au point [z^^ Uq) si, dans un certain domaine 0 de ce point, elle est développable en une série
2 Av(5-3o)''
procédant suivant les puissances entières et positives de z — z^.
Si la fonction s'annule au polol (:,, (/„), les premiers termes I de cctle série ont des coefficients nuls, et le développement est I de la forme
I Ani étant diiréreril de 7.vru. On dît alors que le |ioint {;„, «„) est I un zéro d'ordre m.
<i ail point (So, «,) la fonction n'est pas régulière, ce point est un point singulier. Nous ne considérerons que des fonctions a^'anl des points singuliers isolés: alors, dans un domaine S suffisam- \ ment petit du point (r,, tie), il n'v a pas d'autre point siiigidier I que (s,, «(,). Comme, dans ce domaine, v est une fonction iini- I forme de z avec le seul point singulier Sg, la fonction c peut d'a- I pi-^s le théorème de Laurent, être développée en une double série 1 procédant suivant les puissances positives et négatives de(s — ia)
I la partie de ce dével
I Ae z ~ Zf, est la partie p
I \ç cocfGcieui A t de
ippemenl qui contient les puissances négatives ncipale Jecau point sin|julii:r(2,, {/,),
est le rrsidu relatif à ce point. Si la
partie principale est une série illimitée, le point (Zg, Hg) ^^^ "" point singulier essentiel; si la partie principale contient un nombre limité de termes, c'est-à-dire est un polynôme de degré 7 en ;-— — . le point (i,, «„) est un pôle d'ordre <).
lo. Voici quelques remarques importantes au sujet des définitions qui précèdent.
L'intégrale^ — . i {u/z prise dans le sens positif sur le contour ilu domaine 5 du point (;,, «„), dans lequel les développements précédents sont valables, est égali; au résidu A| relatif à ce point : en elTet, les intégrales de tous les termes de la série sont iiLilles il l'exceiition de
qui est évidemment \,
En laissant de côté le cas où le point (5©, m©) ^st un point singulier essentiel, on voit que dans tous les autres cas la fonction V peut, dans le voisinage de ce point, s'écrire sous la forme
t' = (^ — ^o)*[Bo-h B| (-5 — -3o)-f-Bj(-5 — >5o )*-*-...].
où k est un entier positif, négatif ou nul et B© un coefficient constant différent de zéro. Si k est positif, le point (zq, Uq) est un zéro d'ordre k\ si A* est négatif, ce point est un pôle d'ordre — A*; si k est nul, ce point est un point neutre où la fonction est régulière et ne s'annule pas.
Ce nombre k est le résidu de la fonction ,^ au point
(^oj Wo). On a, en effet,
- ," = h Cp4- Ci(^ — -5o)-+-. . . ;
ClZ Z — Zq
car, Bo étant différent de zéro, la dérivée logarithmique de la série entière est aussi une série entière. Le résidu relatif au point (zof Uq) est bien k.
Considérons le point (zoy — Uq) superposé à (^o, Uq) dans l'autre feuillet et appelons ^1 et v^ les deux déterminations de r dans le voisinage des points (zq, Uq), {zq, — Uq), Le résidu de la fonction uniforme de ^, i^j + v'a, au point 5©, est la somme des résidus de ^ aux* deux points (zq, Uq) et (zq, — Mo)* En effet, les
coefficients de -;; dans les développements en séries de Ti et ('2
étant A, et A'., , celui de - — — dans Vi + ^2 est évidemment
z — Zq
Si aucun des points (5©, Wq), (^o, — Uq) n'est un point singulier essentiel, les développements de i^i el r, sont, dans les domaines respectifs de ces deux points, de la forme
r, = (5-Zo)^[Bo-4-B, (z-Zo)-hBi{z-Zo)^-^ ...], ç^ = (z—Zo)*c'[B'^ -+- B; (z^Zo) -+- Bi {z - 3o)»-^- . . . ] ,
avec Bo et BJ, différents de zéro. La fonction uniforme v^Vi sera donc donnée par un développement contenant (z — >3o)*"^*' en facteur; ('1^2 admettra le point Zq comme zéro, infini ou point neutre, suivant que k + A' sera positif, négatif ow nul.
, Il s'agit dVlendre les délinilions précédenlesaiiK/Joi/i/j de
ramification. Délinissons d'abord, d'une manière précise, ce
I qu'on appelle domaine d'un poinl de rainiRcalion a : c'est l'en-
I semble des points analytiques qu'on peut atteindre, en partant du
I pointe,, dans l'un ou l'autre feuillet, et assujettissant le module
Ues-
sler plus pelilqu'u
aiu nombre 5
moindrf
I la distance du point et au point de ramiHcation le plus rapproché.
Cette portion de surface de Riemann est reprt^senlée cl-contrc
' d'abord dans l'espace, en supposant les deux feuillets séparé-^
(comme dans la fig. 3); c'est la portion de surface située dans
cylindre de révolution, de rayon o, ayant pour axe la ligne (.*,tf, I normale aux deux feuillets P| cl P^, Cette même portion de la I surface est représentée à côté, en projection sur le plan Pg avec la I ligne de passage L issue du point c,-; la courbe limite est comf posée de deux circonférences égales et superposées, de rayons S, I situées l'une dans le feuillet supérieur, l'autre dans le feuillet [ inférieur, et se raccordant à la ligne de passage : on les a figurées I par des courbes un peu difierentes d'une circonférence pour pouvoir représenter les deux parties qui, en réalité, se recouvrent.
Cel.
po>^ .
. les deux déterminations de ii
e permutent. Si l'on pose
me {les déterminations de < iir des valeurs de t dont le
\ fonction imi forme ■le surpasse pas une
certaine valeur positive e, suffisamment petite. L'une de ces déterminations est donnée par un développement en série entière
(4) « = /(Co-hCjfî-hCj/v^....)
et l'autre par la même série changée de signe; ces deux déterminations se permutent quand / change de signe; elles sont données aussi par la série
,/ -= ( - e,)ï[GoH- C,(- - a) -^ G,( j - e/)«-f- . . . ]
convergente dans le domaine o = y/s du point e/, série dont le premier facteur change évidemment de signe quand z tourne autour du point ei.
Quand t est connu, sous la condition | / | <C e, 5 et w sont déterminés sans ambiguïté par les formules (3) et (4), donc la fonction V n'a qu'une valeur; elle est une fonction uniforme de t,
La fonction v est dite régulière au point ei quand, pour des valeurs suffisamment petites de /, c'est-à-dire dans un domaine suffisamment petit du point e/, elle est développable en une série
V = «o V = co
^= 2^^''^ 2 Av(>5-e,)«
procédant suivant les puissances positives de /, c'est-à-dire
de {z — eiy. Si la fonction v n'est pas régulière au point e,-,
ce point est un point singulier; nous envisageons seulement le
cas où c'est un point singulier isolé, c'est-à-dire où r n'a pas
d'autre point singulier dans un domaine suffisamment petit du
point (?/. Alors v étant, pour de petites valeurs de /, une fonction
uniforme de t avec un point singulier au point / = o, est, par la
formule de Laurent, développable en une double série
V— — ae V = -.o
procédant suivant les puissances positives et négatives de
y (w — <*iY' La j)artie formée par les termes à exposants négatifs
Sl.FiCKS DL- «1E«^N
^ » [.Ei:X FEUILLETS. .g ■
IM\a par/ie pn'ncf'piilif: quiind celle partie principale esl une H
tJrie illimitée, le point c,- est un point singulier essentiel ; qiiiind H
[Ile esl limitée, ce point e,- est un pôle. M
On appelle Hsidii relatif an point de ramincaiion e, le doiiblf B
In coe^cient de . aA..
Cetie définition esl justifiée par
es remar(|ncs suivantes. 1^ résit
u en un point ordinaire (s», «n)
est ^gal à l'intégrale ^./"wrfî,
prise dans le sens positif sur le
est naturel d'appeler de même
imenl petit du poinl {so< "ii)> ■' résidu au point e,- la valeur de
l'intégrale — . hds, prise sur
c contour limite d'un domaine
infiniment petit du point e,, ifiS- ' 7 ) i "'■' P"'"" parcourir ce tOiit'Ber deux fois DUtourdu poin
domaine figuré précédemment contour limite, la variable z doit t e„ ec qui donne pour l'intégrale
■^■fvd: la valeur a A . „ car to
us les termes de la série ci-dessus
ontdcsinltîgrales nulles, sauf le
terme eu ' ■ dont l'inlé^ralc
esl égale à aA ï quand ;; lourue (/pHx /o(.s autour du pointe,. Nous avons vu que la fonction uniforme de ;, c, + f^ , a poui' risidu au point ^o la somme des ré.sidus de v aux points supcr- ;pO«és (J,,«e) et (j,,, —Ho) : actuellement le résidu de !■, + i% au point e,- est précisément égal au résidu de i' au même point, car on a
aA,V.(o-f,-,l*. 1
iii'\eluppenu'nt dont le lûsidu e
I-'cartons le cas où le point r^ lie! : alors, dans le domaine de
.cr.il un poinl singiilicr esscn- ■ ce poinl, on peut écrire H
•'-(=-e,)'[B«+ll.(-
OÙ Bq est diOerent de zéro, k désignant un entier positif si la fonction S'annule au point e/, négatif si elle devient infinie, nul si la fonction est régulière et différente de zéro au point €(, Dans le premier cas (â:]>o), le point e/est appelé un 5^ro d'ordre A', dans le deuxième cas ( A' < o), c'est un pôle d'ordre — A:, enfin, si k est nul, le point Ci est un point neutre. Ce nombre A' est encore égal au
résidu de — -^ au point e/ : en effet, on a
k ^^-r-^- ^[Co-^Ct(;;-e/)i'4-C,(z-e/)...],
développement dont le résidu est A. On voit aussi que le point Ci est pour la fonction uniforme i'i r^ un zéro ou un infini du même ordre que pour la fonction r : en effet, les deux déterminations Ti et V2 s'obtiennent dans le voisinage de ei en changeant
le signe de {z — ei)'^ >
,P, = (5-«/)*[Bo-^B,(^-e/)«-+-B, (^ — e/)-+-...|, V., = ( - I f (z--~€i)^ l Bo- B, (z-ay -h B, ( ;; -e/) - . . . J.
Le produit ç^i ^2 est donc bien égal à (z — e/)* multiplié par une série entière en z — p/, non nulle au point e/.
17. Il nous reste à examiner les points à l'infini. Supposons d'abord n pair et égal à 9.p-{- 2; le point à l'infini dans chaque feuillet est un point ordinaire : ces points se distinguent en ce que,
pour z infini, le rapport —^ a une certaine limite H-y/A dans
un des feuillets, et la limite — y/A dans l'autre. Prenons un de ces points à l'infini oO| dans le feuillet P^ ; nous appellerons domaine de ce point la portion du plan située dans le feuillet correspondant à l^ extérieur d^un cercle de centre O et de rayon R assez grand pour que tous les points de ramification soient dans ce cercle. Dans ce domaine, u et par suite v sont des fonctions uniformes de z, La fonction est régulière au point oO| si, dans le
SUtlFACtS [lE DtEUANN \
ilomaine de ce point, elle est Jévclop
; des
I négatives de z :
wtant régulière s'annule au point oc, , les premiers coefficients si tnuls el si le développement commence par un terme en ~, le po
, est un -zéro d'ordre m.
lorsque la fonction n'est pas régulière au poînl 30,, ce po
Lei (
. singul • le doi
UppO!
u point QO, il n j ait pas d autre point i ce domaine, ia fonction est représentée par In
l'ensemble des termes à eicposants positifs est la partie princïlité de termes à exposants positifs, in polynôme de deçréç'
^pale : s'il n'y a qu'un nombre li T il partie principale se réduit -À
el le point x, est un pùle d'ordre q. Dans le cas contraire, le poiul cC| est un point singulier essentiel.
Dans tous les cas, le résidu relatif a u point 00, est le coefficient ài- - changé de signe, c'esl-à-dire — A,. Ce résidu est égal à l'intégrale
prise dans le sens positif sur la circonférence limitant le duniiioe dans lequel le développement ci-dessus est valable, comme on le vérifie immédialemenl en remarquant que tous les termes du développement oui des intégrales nulles, L'Nccpté li" Icrmi'
En écartant le cas où le point
siiigulie
3t2 CIIAPITRK I.
liel, on a, dans le domaine de ce point,
.. = (iy(B.+ B,i-HB.l+...)
où Bu est diflerenl de zéro. Si Tenlier A* est positif, la fonction s'annule au point ooi qui est appelé un zéro d'ordre A* : si cet entier est négatif, la fonction devient infinie au point oC| qui est un pôle d'ordre — A; si k est nul, le point oO| est un point neutre où la fonction est régulière et différente de zéro. Comme en un point à distance finie, l'entier k est égal au rc-
sidu de ,^ au point oO|, car
d loj; r /
dz
- — ::-+-—( Cy -^ C, - -^ Cj -^ •- . . j ^ -«# \ w V /
développement dont le résidu à l'infini est A.
Pour le point à l'infini 002 situé dans le deuxième feuillet, on a des développements analogues. Si nous appelons i'i et ^'2 les déterminations de V dans le domaine des points oO| et coo, A| et A', les résidus respectifs de ces deux déterminations, A et A' les puissances de - qu'elles contiennent en facteurs, la fonction uniforme
i'i H- r2 a pour résidu à l'infini Ai -h A', et la fonction uniforme (•i ('2 est, dans le domaine de 5 = ac, représentée par un dé>cloppement de la forme
contenant (- j en facteur, Cq étant différent de zéro.
Nous venons d'étudier le cas de n pair : passons maintenant au cas de n impair, /i = a/? -h 1 . Le point 00 est alors un point de ramification et, dans la surface de Riemann, une des lignes de passage, va du point e,^^i à 00, la ligne L,^^i^; décrivons de O comme centre, sur la surface de Riemann, une circonférence de rayon R plus grand que la distance du point O au point de ramification le plus éloigné. Pour que cette circonférence se ferme, il faut tourner deux fois autour du point O, car on change de feuillet,
comme le montre la fig. i8, en traversant la ligne de passage
Fig. i8.
.oo
Les points de la surface de Riemann situés à X extérieur de cette circonférence constituent le domaine du point oc.
Les valeurs de u et de :;, correspondant aux points anal^'tlques de ce domaine, peuvent s'exprimer en fonctions uniformes d'une variable auxiliaire t par les formules
où
Les deux déterminations de ii s'obtiennent en donnant à t des valeurs égales et de signes contraires. La fonction v est donc, pour ces mêmes valeurs de /, une fonction uniforme de ty et, en supposant R suffîsamment grand, on pourra développer la fonction r en une série
L'ensemble des termes en z^ à exposants positifs est la parlie principale. S'il ny a qu'un nombre limité de termes à exposants
positifs, la partie principale se réduit à un polynôme en z' \ le
point à rinfini est un pôle. S'il n'y a pas de termes à exposants
positifs, la fonction est régulière au point ao, et enfin si le déve-
loppement commence par une puissance négative de ;*'* , le point oc
est un zéro.
Le résidu au point oo est le double du coefficient de - changé de
signe — 2A2; c'est la valeur de l'intégrale — . / i^e/;;, prise dans
le sens positif sur la circonférence qui limite le domaine du point 00 dans lequel les développements ci-dessus sont valables, cette circonférence élant, comme le montre la figure, parcourue deux fois. Si Ton appelle i^i et ^2 les deux déterminations de ç dans le domaine du point oc, on a
ao
Le résidu de la fonction 1^ au point de ramification à l'infini est donc encore égal au résidu de la fonction uniforme ç^-j- i'2 à l'infini.
En écartant le cas où le point à l'infini serait un point singulier essentiel, on peut, dans tous les autres cas, écrire la fonction v dans le domaine du point oo
où Bo est différent de zéro; si l'entier k est positif, la fonction s'annule au point de ramification oc; on dit qu'elle admet ce point comme zéro d'ordre k] si cet entier est négatif, la fonction devient infinie au point 00 : on dit qu'elle admet ce point comme pôle d'ordre — A; si Â'^o, la fonction est régulière et différente de zéro au point 00, qui est un point neutre. Le nombre k
est encore le résidu de ■ ,^ au point oc. Ln appelant i\ et r2 les
deux déterminations de i^ obtenues en donnant à ( - ) des signes
contraires, on voit que la fonction uniforme i'i i^o est de la forme
....= (iy[c,-.C.l-^C.(i)V...];
elle admet le point 00 comme zéro ou comme infini du même ordre que r.
18. Parmi les fonctions uniformes sur la surface de Riemann, les plus simples, dont Télude s'impose tout d'abord, sont les ybnctions rationnelles de z et a.
Soit
une fonction rationnelle de z el u : celle fonction v est une fonction uniforme sur la surface de Hiemann, car à chaque point de cette surface correspond un seul svslt'fne de valeurs de z et w, et, par suite, une seule valeur pour v. Nous nous proposons d'étudier les propriétés de cette f«)nclion r.
La fonction rationnelle R(^, it) est le quotient de deux polynômes en z et u dans lesquels on peut toujours remplacer les puissances paires de w, m-^, par leur valeur
et les puissances impaires u^f^^ par l'expression
On amènera ainsi le numérateur et le dénominateur de v à ne contenir 2/ qu'au premier degré, et Ton mettra v sous la forme
Zi,Z2y Z3, Z4 désignant des polynômes en :;. Multiplions et divisons cette expression par le facteur
Z3— aZ;
et remplaçons encore //^ par sa valeur en fonction de 3, nous aurons r sous la forme
où P(^), Q(5),R(:;) désignent des polynômes en z que nous pouvons toujours supposer sans diviseur commun : si ces polynômes avaient un diviseur commun, on le supprimerait au numérateur et au dénominateur.
19. Cherchons quelle est la forme de la fonction v dans le voisinage d'un point ordinaire (^o, Uq) de la surfacede Riemann.
Soit(-3o)''o)"'^pointdela surface de Riemann distinct (f un point de ramification ; nous l'appellerons pour abréger un point ordinaire de la surface de Riemann. Dans un domaine o de ce point la fonction ;/, qui se réduit à u^diU centre du cercle, étant uniforme, finie et continue, est développable en une série procédant suivant les puissances entières et positives de z — ^o par la formule de Maclaurin
•3 — Zq , { Z — 3o) „
les polynômes P(5), (^(3) et R(5) peuvent aussi être développés suivant les puissances de [z — Zq) par celte même formule, et l'on aura, dans le voisinage de ^ = ^oi
K{z) = Ro-h(5 - 5o) Ri -h ^""-^^'^^ R; -h. . .,
Ro, R|,, . . . désignant les valeurs du polynôme R et de ses dérivées pour ^ = 5©; ao, «1, . . . des coefficients constants,
rto = Po -f- Uq Qo, -i- . . . .
Pour traiter le cas le plus général, supposons a^y ^i . . ., ag i nuls, avec a^ différent de zéro, Ro, R„, . . . , Ry ~" nuls et R'j,'"^ différent de zéro. On aura alors
1* -h wQ = (;; — 5o)7[a,, -\- a,j^i{z — Sj) -h. . .], d'où, en divisant,
où la série entre parenthèses est le quotient de la série
a,j -f- cr^-Hi (-3 — ;;o) -+■ • • .
par le polynôme
dont le premier coefficient est différent de zéro. Le coefficient
est par conséquent différent de zéro.
Si q > r la fonction ç admette point (zq, Uq) comme zéro d'ordre q — r; si q <Cr^ elle admet ce point comme pôle d'ordre r — q; enGn, si q = r, elle est régulière et différente de zéro au point (wQ, Mq), qui est un point neutre.
20. Voyons de même quelle est la forme de i^ dans le voisinage d'un point de ramification. Soit ei un point de ramification ;
écrivons u sous la forme suivante
u = (Z — C/)* Ui
avec
le facteur z — Ci étant laissé de côté sous le radical. Les deux déterminations de Ui sont, pour des valeurs suffisamment petites du module de :; — ^z, développables en série de puissances entières et positives de z — e/ : l'une de ces déterminations sera donnée par la série
Tautre par la même série changée de signe. On a alors, pour des valeurs suffisamment petites de (5 — <?/),
u = (z — Ci)'^ [qq -^ ay(z — Ci) -^ ai{z — e/)2-4-. . .]. •
Cette expression donne les deux déterminations de u autour du point e,, car, lorsque z tourne autour de é?/, le premier facteur
{z~ei)^ change de signe.
En développant P, Q, R suivant les puissances de z — c/, on
aura
Ph- //Q = ^o-H^,(5— eiY -hbi{z — ei)-^ b^{z — €iy -4-. .. ,
R = Co-4- Ci(5 — Ci) -^Ct^z — ay . . .,
dont la première procède suivant les puissances entières positives
de (;; — e,)*.
Pour traiter le cas général, supposons nuls les coefficients
lés coefficienls bq et Cr étant difTërenls de zéro. On aura
P-hwQ - ( z — eiy[b,,-\- b,,+xK^ — eiY -^- b.,+t(^ — ^i) -»-...],
d'où, en divisant,
