V-r-uO 1"*- r i
t' = ^—^ - (z — e,) * [Ao-^- At(w— <-/)* -r- Aî(5- e;i)H-...J.
D'après ce développement, le point e/ est un zéro d'ordre q — ar, ou un pâle d'ordre ir — y, ou un point neutre, suivant que q — 2r est positif, négatif ou nul.
21. Voyons enfin les points à l^ infini. Si n est pair, et égal à a^ + 2, il y a un point à Pinfini dans chaque feuillet ; étudions la forme de la fonction dans le voisinage de Tun de ces points, le point qO| par exemple. On a, pour des valeurs de z dont le module surpasse une certaine limile p suffisamment grande,
„^...vÂv/(.-ï)(.-i>.:(.--^-^')
ou
Donc P -;- wQ est de la forme
P W Q — Z'f l(tQ ' (f l - -r- a^ —^ -r . . . ] j
«Q étant différent de zéro et q un entier positif ou négiilif. On a de même
R ", z'' ( ^>o - ^1 - -1- bi -^^ -H . . .-,- br — ) > \ z w" z /
r désignant le degré de R : donc, en divisant et supposant le module de z plus grand qu'une limite convenable,
P-4- mQ
ÎT" U/ (^Ao-r-A,---A,-+...j.
On voit que le point 00| est un zéro d'ordre r — q ou un pôle
(l'ordre q — r, suivant que r — q est positif ou négatif^ quand r — <jr=:o, la fonction est régulière el différente de zéro au point oO|. On aura un résultat analogue dans le domaine du point ooj.
Soit n impair, n ^=ip -^i. Il y a un point de ramification à rinfini et l'on a, dans un domaine convenable du point oo,
d'où
et en divisant
Le point de ramification à l'infini est donc un zéro d'ordre 'ir — q ou un pôle d'ordre q — ar, ou un point neutre, suivant que ar — q est positif, négatif ou nul.
22. Il résulte de ce qui précède qu'une fonction rationnelle en z et u est une fonction uniforme sur la surface de liiemann, n'ayant à distance finie ou infinie d^ autres points singuliers que des pôles.
Réciproquement, une fonction v uniforme sur la surface de Biemann, et n'ayant pas d'autres points singuliers que des pôles, est une fonction rationnelle de z et u.
En effet, appelons Ui et U2 les deux déterminations de w correspondant à une même valeur de 5, (^1 la valeur de la fonction ç au point (r.,//|) de la surface de Riemann, ^2 sa valeur au point {z, U2), Posons
p, = <p(;5)-f- Ui^{z),
4o CHAPITRE 1.
les fonctions <f{z) et ^(^) étant définies par ces équations mêmes, qui donnent immédiatement
comme on le voit, en ajoutant et s'appuyant sur ce que «/« -h 112= o. Ces formules montrent que ^{z) et ^(z) sont des fonctions uni/ormes de 5; en effet, z étant donné, W|, U2, <-i et (^, ont des valeurs bien déterminées; quand z décrit une courbe fermée dans le plan simple des z, u^ peut se permuter avec U2, mais alors v^ se permute avec i^2? et les fondions symétriques 55(5) et ^(3) ne changent pas. De plus, ces fonctions uniformes ç et ^ n'ont pas d'autres singularités que des pôles; car, dans le voisinage d'un point ordinaire {zot Wo)? les développements en série de Vt, i'a,
— 9 — ne contiennent qu'un nombre fini de puissances négatives
Ae z — Zq\ il en est donc de même de cp et ^; dans le voisinage
d'un point de ramification e/, les développements de i'i, Co? —
et — ne contiennent qu'un nombre fini de puissances négatives
de Jz — ei\ lorsqu'on forme les combinaisons i^i -f- i*2i —h — ^>
les puissances fractionnaires disparaissent et cp et ^ ne contiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de (.3 — ci) ; le même
fait se présente à Tinfini à l'égard de ^« Les fondions o {z) et
^(5), étant uniformes dans tout le plan simple des 5, et n'ayant d'autres singularités que des pôles, à distance finie et infinie, sont des fonctions rationnelles de z, La fonction r, étant égale à o{z) -\- ui^{z) en tous les points delà surface de Riemann, est donc une fonction rationnelle de zet de u.
Le raisonnement qui précède montre que Texpression générale d'une fonction uniforme sur toute la surface de Riemann est V = 'f (^) -h ui^{z)^ 'f et A étant des fonctions uniformes de z. Si la fonction r n'admet qu'un nombre fini de points singuliers sur toute la surface, <f (z) et ^{z) n'admettent également qu'un nombre fini de points singuliers dans tout le plan de la variable z.
23. Il esl imporlanl de remarquer que toute fonction v uniforme sur la surface t/r Riemannet régulière en totts (es points £fc cette surface, àdlslance finie et infinie, esl une constante. En cfTel, appelons (< eL v^ les deux delerniinations de celle bnclioD correspoDdant à tine valeur de s, on verra, comme Ifei-dessus, que les fonoLions
lOnl des fondions uniformes de ;. Ces fondions sont, de plus,
régulières pour loutes les valeurs de ^finies el infinies: ce sont
; des constantes. Les deux déterminations, i', et i'^, sont
Ivcmcs d'une équalion du second degré à coefficients constants :
piles sont constantes. Comme ces deux di?ieriiiiiiHlions deviennent
aies ans poinls de ramification, elles sonl (égales à une même
K eonslaute, et lu foncliuo f est constante.
ai, La somme des résidus d'une fonction rationnelle c de u
I en tous les points de la surface de Itiemann, à distance
f et infinie, est nulle.
En effet, appelons l'i el l'i les deux déterminations de i' en deux
ints superposés des deux feuillets : nous avons démontré, au
pument de la délinilion même des résidux, que, en un point ordi-
■waire z„ le résidu de la fonction uniforme i-, -f- ig est égal à )a
Ctomme des résidus de r aux deux points superposés (s^.u*)
let (ïg, — »a), et que, en un point de ramification, le résidu de
f-c, est égal au résidu de c en ce point. Donc la somme des
iilus de V esl égale à la somme des résidus de la fonction uni-
|forme Vi •+- fj, qui, d'après les relations
V^,uQ
«riduilàl
fraction
ration r
elle
Gom
me
som
lie
des
sidus d'une
fonction
ration
elle
est
nulle
le
tl
éori
me
esl
mouir^.
Ce tliéorénie s'éte
ne
ion M
..va
ni
non
yîni de pomts singu
ers, p
arm
le
quels
des
ointb
ie
essentiels.
il CHAPITRE 1.
Voici une conséquence importante de ce théorème :
Le nombre de zéros d*une /onction rationnelle de z et u sur toute la sur/ace de liiemann est égal au nombre des infinis de cette fonction, chacun des zéros et chacun des infinis étant compté avec son degré de multiplicité,
Pour le démontrer, il suffit d'appliquer le théorème précédent à la dérivée logarithmique de la fonction r,
d\osv I dv w — —- — = - -—,
dz V az
qui est évidemment une fonction rationnelle de u el z, puisque la
dérivée ,- est une fonction rationnelle de u et :;. ctz
Nous avons établi, en effet, que les seuls points singuliers de la
fonction \v = — -r^—i où le résidu ne soit pas nul, sont les zéros
az *
et les infinis de v\ en un zéro de v le résidu de w est égal à l'ordre de ce zéro, en un infini de v le résidu de (v est égal à l'ordre de cet infini changé de signe y et en un point neutre de i> le résidu de \v est égal à zéro. La somme des résidus de (v étant nulle, la somme des ordres des zéros de p est égale à la somme des ordres des infinis.
On peut aussi établir ce théorème en remarquant que la différence entre la somme des ordres des zéros et la somme des ordres des infinis de v est égale à cette même différence pour la fonction rationnelle
car nous avons vu que chaque zéro et chaque infini de v donne un zéro ou un infini du même ordre dans ^i To. Comme le nombre des zéros de toute fonction rationnelle de z est égal à celui des infinis, le théorème est démontré.
2o. Nous appellerons ordre total d'une fonction rationnelle v de 5 et w le nombre de ses iniinis, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité. Le nombre des zéros est aussi égal à Tordre de la fonction. Si l'on appelle v^ et v^-^ les deux détermi-
nations de r, l'ordre est le nombre des infinis ou des zéros de la ^ fonction rationnelle
^ équation ' 1^
c»-t ^^ ^ Mi. • -•-•ii>-4-*^ ->*-!• 1 ■
OÙ G désigne une constante arbitraire, a, sur toute la surface de Hiemann, un nombre de racines égal à Tordre total de v] car la fonction ç — G est rationnelle en z et u^ et le nombre de ses infinis, c'est-à-dire Tordre lotal de cette fonction, est le même que celui de i'.
26. Exemple, — Soit u"^ -^ z^ — i; considérons la fonction rationnelle
et déterminons ses infinis, ses zéros, ses résidus.
A distance finie, le seul infini est le point de ramification 5 = 1. Si Ton fait 5 = i -f- 5', on a, dans le voisinage de z' = o,
w*--4V/'n- Iz'-^z"^-^ ^\
i\-^ Z')'*^ U{\ -^ z' )^ I 2 , Il ,i
Le point de ramification z = i est donc un pôle du second
ordre, le résidu étant égal à 2.
Les seuls zéros à distance finie sont les points 5 = 0, u = zh i,
car l'équation
z'^-h uz^ = o
Jonne 2-=o, ou z- =^ — u, équation qui n'a pas de racine à dislance finie.
Prenons le zéro 5 = 0, u = i\ on a, dans le domaine de ce point,
V = — l'z- — iz^ H- ... ;
c'est donc un zéro d*ordre 2 ; le point 5 = 0, m = — / est de même un zéro d'ordre 2.
Points à l'infini. — Les points à l'infini dans les deux feuillets
se distinguent en ce que, pour Tun d'eux oC| , le rapport — tend
vers -+- I , et, pour l'autre ocj, vers — i . Dans le voisinage du point 00,, on a
*■=-"' ("-Î7v^---)('-^:--^ii-^---)'
Le point 00| est donc un pôle d'ordre .'^, et le résidu en ce
point est
Enfin; dans le vdisinage du point oc^,
donc
•'=^'Gi+---)(' + .- + ?^---)'
iz 'IZ^
La fonction est régulière au point ooa, qui est un zéro du premier ordre; le résidu du point 0C2 est •
SURFACES DB lUEMANN A DEUX FEUILLETS. 4^
En résumé, on a le Tableau suivant :
Points
Nature
analytiques.
des points.
Résid
Pùle d'ordre o.
— o, ti -- i.
Zéro d'ordre i
Zéro d'ordre i
Pôle d'ordre î
Zéro d'ordre i
La somme des résidus est nulle; la somme des oi'dres des zéros est 5; celle des ordres des infinis est aussi 5.
L'ordre total de la fonction \^ est 5. 11 est aisé de vérifier que l'équation r = C a 5 zéros, quel que soit (>.
27. Nous allons introduire maintenant, en suivant une méthode de M. VVeierslrass, une notion d'une grande importance, celle du genre d'une relation algébrique.
Une fonciion uniforme de z régulière en tous les points à dislance finie et à Tinfinl étant une constante, une fonction rationnelle «le z devient infinie au moins en un point. Nous avons remarqué (Introduction) que Ton peut former une fonciion rationnelle de z avec des pôles arbitraires et des parties principales également arbitraires : par exemple, la fonction
dcNienl infinie en un seul point arbitraire a avec un résidu arbitraire A.
// en est autrement pour les fonctions rationnelles de z et u^ //étant lié à ^ par l'équation
(/2 = A(c — e,)(3 — ea) .;. (c— <»«), avec
Il =z o.p -r- i ou n = 7.p ■+■ ?..
Si une fonction i', rationnelle en z et u, devient infinie en un seul point analytique (^o, Uq) arbitraire, l'ordre de cet infini ne peut pas être moindre qiC un certain nombre entier.
Cet ordre minimum diminué d'une unité se nomme, d'après M. Weierslrass, le genre de la relation algébrique entre u el z, ou encore le genre de la surface de Riemann correspondanie.
Un point analytique arbitraire est un point dont on peut faire varier à volonté la position sur la surface de Riemann; ce point est donc supposé distinct d'un point de ramification. Nous allons démontrer que le genre des surfaces de Riemann précédemment étudiées est égal à />, si /î = a/? -f- i ou 2/? -f- 2. Cherchons à former une fonction r rationnelle en z et m avec un pôle d'ordre r au point {zq^ Uq). Cette fonction v peut s'écrire, comme nous l'avons vu,
P, Q, R désignant des polynômes en z sans diviseur commun.
Remarquons que, si un point Zq distinct d'un point de ramification est une racine d'ordre k du polynôme R(s), la fonction p admet au moins un des deux points analytiques (zq, Uq), (5o, — Wo), correspondant à 5 = ^0, comme pôle d'ordre Ar. En eflel, on ne peut pas avoir en même temps
P{Zç,) -T- MoQC-Zo) = o, P(5o) — UoQ(^o) ^ o,
car, Uo n'étant pas nul, on aurait
et les polynômes P, Q, R admettraient un diviseur commun (:; — Zq), Supposons, pour fixer les idées, P(5o) 4- WoQ(^o) tlifférent de zéro : alors la fonction r devient infinie d^ordre /i au point analytique (^o, Uq), et la proposition est démontrée.
Si le polynôme l\{z) admet a pour racine d'ordre A*, et si P{ei) n'est pas nul, le rapport p devient en Ci infini d'ordre aA", car, d'après les conventions antérieurement faites, on prend comme
infiniment grand principal . . Si P(^i) est nul, Q(e/) ne
peut pas l'être, P, Q, R n'ayant pas de diviseur commun. Dans ce cas, on peut supprimer au numérateur et au dénominateur de ç le
facteur y^x; — ei et la fonction ç devient au point e/ infinie d'un ordre 2 A* — i, au moins égal à i .
Ces remarques étant faites, puisque la fonction doil devcniiinfinie d'ordre r au seul point (Soi "0)1 'e polynôme R(3) ne doit pas admettre d'autre racine t|iie s = 3o, au degré r de multiplicité. Car, si ce polynôme admettait une autre racine, la fonction c deviendrait iiilinie en d'autres points analytiques d'après la remarque précédente; cl, si ce polynôme admettait la racine 3„ à un degré k différent de r, la fonction i" admettrait l'un des deux points analytiques (=b, (/,) ou (=„, — «„) comme pôle d'ordre k\ ^Ic ne remplirait pas les conditions demandées. [ On a donc, en négligeant un facteur constant.
Pour 3 := Sq, la fonction u a deux déterminations ii^ et — i/q : I fonction v devant devenir infinie d'ordre r au seul poiui Fi,, »„) et devant rester finie au point (;„, — f/„). If numérateur
It admettre le zéro (a,, — »„) ù l'ordre r de multiplicité. Le ^eloppement de P(3) + »Q(2) par la formule de Taylor, nu Ptoisinage du point (Sj, — u„), doit Jonc contenir (s — i«)' en l'Aicleur, ce qui s'exprime en éci'ivanl que cette fonction et ses ■ (r— I) premières dérivées s'annulent en ce point.
Il faut, en outre, que la fonction i* soît Unie ù l'infini. Donc : • Si P(3) n'est pas identiquement nul, sou degré est au plus ; 2° Si Q{:) n'est pas identiquement nul, son degré est m plus égal ù r — p — 1 .
! Eoeflel, ii l'infini, H est d'ordre /!
en z quand /? — a/i + 1 , 3, si le degré de Pdépas- - I, l'une au moins des l'infini d'un ordre en 3
l'ordre /> -I- i quand n — 3/> + 2. Don r, ou si celui de Q dépassait r — p ■ Uteruinations du numérateur serait à topérieiir à r, et le rapport
eviendrait infini, au moins dans un des feuillets, pour z infini. Ce» conditions ne peuvent pas Ht^ remplies si l'ordre ;■ est «féiieur à /> + I ; car alors, si Q n'était pus identiquement nul,
jH CHAPITRE 1.
son degré serait négatifs ce qui est absurde. Le poljDonie Q étant identi<juement nul, le numérateur P-+-wQse réduit à P, eï, comme Je diîveloppement de P-f-z/Q suivant les puissances de :; — Zq dans le voisinage du point (^o, — «o) doit contenir [z — ^o)'* en facteur, le polynôme P de degré /* doit contenir :; — ZiiY en facteur : il est donc égal au produit de [z — z^Y par ;ine constante, etTon a
r = const.
Donc, l'ordre r du pôle unique {zq^ Uq) de l<t fonction r ne peut pas être inférieur à />-j-i. Le genre est bien /?, comme nous l'avons annoncé.
La fonction v existe, au contraire, si r^p-hi' Par exemple, si r = p-\-i^ elle est entièrement déterminée à une constante additlve et à un facteur constant près. En cffel , Q(^) devant être de degré zéro, se réduit à une constante C. Le polynôme P(:;) de degré p -\- i est assujetti à cette condition que le développement de
P{z)-huq{z) = P{z)-hCu
dans le voisinage de z = Zq, u =^ — Wo, contienne (z — ^o)'''*"* en facteur. On a donc
P(^)=C fao-f-— ' (--,) 4- Jl± (^ — ^0)^4-... -h '^^^ (z-zo)/']
Mo H (z-
A désignant une constante : d'où enfin résulte pour v l'expression
««0^- -^(^ — -^o) -+-••• -+- ^ — (z — Zo)P-\-u
avec deux constantes arbitraires A et C.
Nous a\ons supposé le point (^o» ''0) arbitrairement variable sur la surface cl distinct des points de ramification. Une fonction ayant un seul pôle placé en un point de ramification peut y devenir infinie d'un ordre moindre que (p -j- i). Ainsi, quel que soit
le genre, la fonction
ind ordr^
iDJinimenl grande du
28. On peiil généraliser le rêsullal précédent en clicichanl .1 former une fonction c, ralionncllc en z el ti, ayanl q pôles ùrLilraifment choisis (n,, i, ),..., («y, 6^), dislincts des points de ramitlealion, avec des degrés de multiplicité déterminer a,, a., . . . , a.. Cette fonction sera d'ordre
Elle n'existe, on le voit, comme tout fi I
Les pol^noines P, Q, R sont alors i
suivantes : H est déterminé, à un fucteui
iieure, que i sujetlis «u.
conditions
P est de degré au plus égal à r, Q de degré au plus égal ù
|,r — p — i ; le numérateur P-|- hQ, développé par la formule de
Tij^lor, doit contenir (s — o-,Y> en facteur dans le voisinage de
— fet), (z — rtî)'""en facteur dans le voisinage de (oï, — h^), ...,
-rtç)"t dans le voisinage du point («,, — 6j).Le polynôme Q
Alant choisi arbilrairenienl du degr^ ;■ — p — i, le polynôme P
K«sl de la forme P=AR + P,, A désignant une constante cl P,
H polynôme de degré ;■ — i enlit^rement déterminé par les con-
Bitîons préccdeules : on connaît en elTel les valeurs de P, et de ses
^(«1 — i) premières dérivées pour ; ^ ^f|, les valeurs de P( et de ses
(a, — i) premières dérivées pour z ^ a-j, etc., ce qui donne,
comme il est connu, /■ conditions Jélermiuunl les r coefficients
de P,. (Voir un article de M. Hermitf., Journalde Crelle, t. 84,
L'eupressiou de v esl donc
ofi A est une constante arbitraire ei Q(^) un polj'nome arliilraîre dt; degré r — p— \. Celle expression contient, outre A, /■ — p constantes arbitraires d'une façon liDcaire et lioniogène. Dans le votiinage de chaque pôle, les coefficients de la partie principale ionl en nombre égal au degré de mul tiplicité du pûle : il y a donc A. ET G. 4
5o CilAPlTRK I.
en tout /• coefficients des parties principales. Ces coefficients étant des fonctions linéaires et homogènes des /• — /> constantes qui figurent dans Q(5), il y a entre eux/? relations,
29. Formons ces relations dans le cas simple où tous les pôles sont du premier ordre,
Œi = fitj ^^ . . . = 3t,y :■= I ,
Alors r=:q^
R = (5 — a|)(5--aj)...(3 — a,.)',
Q(w) est de degré /• — p — i , P(:; ) de degré /*, et l'on a
P(«i) - b, Q(a,) = o, F(ei,) - 6,Q(a,) = 0,
P(a;.)-6rQ(a,.)=o..
puisque P-r wQ doit s'annuler aux points («i, — 6| ), (aj, — hj)^ . . . , [arj — br)' Si Ton fait
P(;;) = AR(;î)-hP,(3), Pi étant de degré /* — i , on aura
Pi(«i)--^iQ(ai), Pi(«r) = 6îQ(«î),
Vy{ar) = brQia,.),
relations qui déterminent enliùiement le polynôme P|(^)j doni on peut écrire l'expression par la formule de Lagrange.
On obtiendra une forme remarquable de v par la méthode suivante, qui fournit immédiatement les/? relations enlre les coefficients des parties principales relatives aux pôles (rt|, 6| ), ...,
Décomposant \Xf\ ^^ «T"" ^" fractions simples, on a
P . Cl Cj Çtp
K Z — CLy Z — Cil Z — CLf.
Q Al Aï A,.
I\ z — U\ z — Cil ^ — ^r
P 4- mQ . Cl -h Al M Cj-hAsM Cr-^XrU ç — ^--i — A H 1 = h . . . -♦- Î-— ,
K Z — ai z — Uf z — a,.
A, C,, . . . , Cr, A|, A2, . . . , Ar étant des constantes.
SnBPACES DB RrBHANN \ DECK PBDILLETS.
Pour s = (I,, 11= — b,, la valeur de v doil rester ^ni
fonctioD P doit avoir le pâle (a,,b,) el non (a,,
lie même
C,— A,fc,= o, ..., C,-A,6,.;
fl la fonclion v s'écrit
rla
b,). Op a donc
roiiclion qui, à distance finie, admet évidemment les seuls pôle» (rti, b, ), («ï, 6j), , ... («r, 6,) du premier ordre.
Mais les coelficienis A,, A», ... , A^ ne sont pas arbitraires : eu cITet, ce sont les résidus de la fraction rationnelle ~, dans laquelle le degré du numérateur est r — p — r , celui du dénominateur éiani r. La somme des résidus de cette fraction rationnelle à distance Gnie est donc nulle, et il en est de même de \< (les résidus des fractions
car le degré de jP~'Q est encore inférieur de deux uniléi du dénominateur, de sorte que le résidu à l'infini est nul.
On a donc, entre A), Aj, . . ., A, et «,, «a, ...,«, les /) relations nécessaires
lui
/A..A,....H l Aini + A,a,4^ ; A,flÎH-A,«ÎH
.-HArar = o
A,rt','-'-\,a;-'
- \ra';.-*-.
Ces relations sont suffisantes pour que la fonction trouvée remplisse tontes les conditions demandées. En e/Tcl, on vérifie que, si ces conditions sont remplies, la fonction i' définie par la relation (a) est finie à l'infini. Par exemple, si n est pair el égal à 3/} + a, on a dons le voisinage du point se, dans l'un dos feuillets
C^zP
'- Gp,, z ^
6a puis
CUAPITRB
et ainsi de suite. Substituant ces développements dans l^expression (a) de v et tenant compte des relations (p), on voit que les coefficients des puissances positives de z sont bien nuls. Si n est impair, /i = 2/? + i , on a pour z inGniment grand
*-+-Cû/ «
et, en vertu des relations (P), les coefGcients des puissances positives de z dans le développement de v disparaissent encore.
Le résidu relatif au pôle (ûfi, b\) étant, d'après l'expression (a) de r,
et les résidus relatifs aux autres pôles
Bj = 7.A5^2, • • • ,
B,.= iXrbr,
les /> relations (P) donnent, entre les résidus B|, B^, ..., B,., /; relations de la forme
B.?i+B,îi + .
Cl r.
Les relations (P) rendent évident ce fait que nous avons déjà démontré autrement, que r doit être au moins égal à/? -f- i.
En effet, si Ton avait /*$/?, ces relations linéaires et liomogènes en A|, Ao, ..., Ar donneraient pour tous ces coefficients des valeurs nulles, car le déterminant des coefficients de A|, Ao, ..., A,., dans les r premières relations, est
al
. Or
. al
déterminant qui est différent de zéro, puisque toutes les quantités €i|, «2, • ., Cir sont supposées différentes.
Si les points («i, 6|), (a^, ia), ..., (a^, br) n'étaient pas arbitraires, c'est-à-dire variables indépendamment les uns des autres, ia fonction v pourrait exister pour r <^p -\-\. Par exemple, si l'on prend les deux points («i, 6|), («i, — b^), qui sont superposés dans les deux feuillets, il existe une fonction admettant seulement ces deux pôles au premier degré, c'est
z — ai
