CHAPITRE I. — SURFACES DE RIBMANN, ETC
simple des t, on peut dire qu'à chaque point du plan simple des t répond un point de la surface de Riemann et réciproquement. La surface de Riemann peut donc être représentée point par point sur un plan simple : l'étude des fonctions rationnelles de z et u se ramène alors à Tétude des fonctions rationnelles de t et inversement.
INTÉGRALES HYPERELLrPTIQUES {').
fropriJUs générales. — Singularit** de» înlégrales Lyperclliptiqucs. — DifUrantM es|i^es d'intégrali». — Le nombre des inléiji'ales de première espi^re est égal au Relire.— Intégrales df ln>i>iii'me espèce avec deux points critiques logarilhmiqae», — Intégrales de deuxième espèce avee un seul pfih. — Moyen de déduire ecs intégrales de celles de trois^iéine espèce, — Expression d'une intégrale byperclliplique quelconque i l'aide d'intégrak's des trois espèces. — Expression d'une Tonciion rationnelle pur une suninie d'intégrales de première et de deuxième e^èee. — Décomposition en éléments simples. — Exemple. — L'intégrale èlèmeotatre de deuxiémeespèceesluue tunction rationnelle du paramétre.— Eipression d'une funcliou rationnelle à l'aide d'intégrales de première et de troisième
une fouctiori ralionnellf de : l'L n
est une intégrale ahiilienne allacliùc à lu rclalioi
ou à la surface de Ricmann correspnndanle. Les intégrales abélicnnes ainsi formées se nomment hyperelUptiqties (^). On suppose la limite inférieure placée en un point analytique déterminé («a, Ug) de la surface de Riemann, et l'intégration effectuée le
{■)OaTragcs A consulter: ^KUMANN, Tlieorie der AbeUchtn Intégrale; Clbbsou el GoRDitH, Théorie der Abelichen FunctioJten : erster Alischnitt.
(*) On appelle, ea géaéral , intégittiea hyperelliptiquei ceWc» qui ne contiennent, sAiu l« signe d'intégral ion, d'uutre icralioualllé qu'un radical carré portant sur on polfaornc d'un degré tuptrieur au quatrième. Toutefois i: ici le même nom, quel que soit le degré de ce polynôme.
long d'une certaine courbe tracée sur la surface et aboutissant au point analytique (:;, u)^ qui forme la limite supérieure. La valeur de l'intégrale est une fonction de la limite supérieure, c'est-à-dire du point analytique (2, ;/); elle dépend aussi, dans une certaine mesure, du chemin d'intégration allant du point (zq, Uq) au point (Zj li). Quand, ces points restant fixes, le contour d'intégration varie, les différentes valeurs que peut acquérir l'intégrale ne diffèrent que par certaines constantes addilives appelées modules de périodicité, car toutes ces valeurs de l'intégrale ont même dérivée V par rapport à z.
32. Nous allons d'abord étudier la nature des points singuliers d'une intégrale hyperelliptique sur la surface de Riemann.
Si en un point à distance finie de la surface de Riemann la fonction v est régulière, Tintégraie J(:;, u) est aussi régulière en ce point. Cela résulte immédialement de ce que l'intégrale d'une série procédant suivant \e<> puissances positives croissantes
de 5 — 5o ou de (s — e/)* est une nouvelle série de même forme, convergente dans le même domaine que la première.
Voyons maintenant comment se comporte l'intégrale J(5, u) dans le domaine d'un pôle de la fonction v. Soit («Aî ^a) i^n pôle de r, d'ordre m^ placé en un point ordinaire de la surface à distance finie. Dans le domaine de ce point on a, en appelant R^
le résidu de r et écrivant le premier le terme en ,
z — ak {z — akY" {z — ak)'"-^ (z — a^y -h Ao -i- Al ( -5 — a^) -h Aï ( z — a/t)* -h
En intégrant et désignant par C une constante d'intégration, on a l'expression suivante de l'intégrale, valable dans le même domaine S du point (ûta, 6a)j
J(^,m)=: C-hR)tlog(;: — cta-)— ;
A m A — zn^t
{m — i){z — aA- )"»"■> {m — 'jl){z — ait)"»-»
A-j . , . . (z — aA-)*
— ... — h Ai){z — aie) -h Ai ' — h . . . .
Donc, lorsque le résidu R^ est nul, l'intégrale J{z, u) est uni-
rEGBALUa IlïPEMBLLlPTIQtES. ÏJ
brme dans te domaine 5 dii poiol (ai,, bi,) qu'elle admet coronic e d'ordre m — i. Mais, lorsque le résidu II* n'esl pas nul, l'intëgrate n'esl plus unifornie dans fe domaine S : elle augmente de 2îîf 11* quand le point (=,«) d(5cril, à l'inlérieurde ce dumaine, un contour fermé lournant une fois dans le sens positif autour de (a*, bji). On dit alors que le point (ai,, bi,) est unponil singulier I togarilhmi'/ue de l'intégrale.
Soil maintenant un point de ramification e, que la fonction v L Bdmet comme pûle d'ordre n(, le résidu étant It,,On a, dans un doi dn point ^,-, en l'crivant d'aLord le terme en ,
Vcar, par définition, le résidu R,- esL le double du coefficient de - ■ En intégrant et désignant par C une constante, on a, dans i^me domaine, l'expression suivante de l'intégrale :
ei)\- -
. ''?Jiî^ + a\-,(-
hA„{;-c,)+ -3-C=-
l.orsque le résidu R,- est nul, l'iiitL^grale est uniforme dans le t. domaÎDe o du point e, qu'elle admet comme pille d'ordre m — a, 1 Unique/?! est supérieur à b; si ni =1 , elle est régulière en ce point; I le cas de m ^= i ne peut pas se présenter avec l'Iiypothése R;^ o. Lorsque II,' n'esl pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaioe S du point a ; elle augmente de ^ti/R/ quand le point (s, u) décrit autour de e/ dans le sens positif et à l'intérieur du domaine 3 une courbe fermée sur la surface de Riemann, ce qui exige, comme nous l'avons vu (p. a^), que; lournc deux /ois autour de ff,-. Le pointe,- est alors un point singulier logarithmique [ de l'intégrale.
Etudions, pour terminer, la forme de l'intégrale dans le domaine d'un point à l'infini.
D'abord, si n est pair, les deux points à Tinfini dans les deux feuillets sont des points ordinaires de la surface de Kiemann. Dans un certain domaine d'un de ces points, oO| par exemple, v est de la forme, en prenant le cas le plus général,
en commençant par le terme en -» et appelant R^*' le résidu relatif au point oO| , résidu qui est le coefficient de - changé de signe.
En intégrant, on a, dans le même domaine,
Lorsque le résidu R^^' est nul, Tintégrale est uniforme dans le domaine du point oO| ; si v admet ce point comme pôle d'ordre m, J l'admet comme pôle d'ordre in-{-\. Lorsque le résidu R|^*' n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine considéré du point oC| ; elle augmente de 27t/R^J' quand le point (^, u) décrit dans le sens positif à l'intérieur du domaine considéré un cercle de centre -^ = o. Le point oC| est alors un point singulier logarithmique.
Pour que l'intégrale i{z^u) reste finie, c'est-à-dire soit régulière au point oO|, il faut, d'après le développement ci-dessus, que
le développement de v commence par le terme en —> et que
tous les coefficients précédents soient nuls, c'est-à-dire que v soit
dans le voisinage du point oO| infiniment petit de l'ordre de -^
ou d'un ordre supérieur. Les mêmes remarques s'appliquent au point 002, qui peut être un pôle, un point singulier logarithmique ou enfin un point où l'intégrale est régulière.
Sil'înfiDi est uo j:
certain domaine de i
lificalion (/t
npair), ,
o el ëcrivanl le ternie en
■■(Sf
lorsque le résidu R„ est nul, J i;sL uniforme dans le domaine du point ce; si i' admet ce point comme pftle d'ordre m, J Tadmet comme pôle d'ordre m + a. Lorsque R n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le dojnaine du point oo; elle I augmente de aTt/R, tjuand {s, u) décrit sur le domaine du point, V dans le sens positif, une circonférence fermée autour du poinlcc, I circonférence qui doit ôtre parcourue deux fols, comme nous I l'avons vu (p. 33). Le point x est alors un point liingulier loga- I rithmîque de l'intégrale. Pour que l'intégrale soit finie, c'est- I i-dtre régulière au point ce, il faut et il suffit que le premier terme
I du développement précédent de v soit 1 terme de degré supérieur en - ■
En résumé, dans le domaine d'un point quelconque [a, b) de la surface de Riemann, ou bien l'inlégrale est régulière, ou nllc admet ce point comme pÔle, ou elle admet ce point comme point sioguller logarithmique. Dans ce dernier cas, si Ton appelle K le résidu relatif au point (a, b), on a, dans un certain domaine de ce point.
e domaine du point [a, b), régulière en ce
6o CHAPITRE II.
point, ouradmettant comme pôle. Dans celte formule, pourrésnmer tous les cas, il faut convenir de remplacer :; — a par (;; — é»/)* quand (a, b) coïncide avec un point de ramification, par- quand
(a, b) est un point ordinaire à Tinfini, et par ( - j quand (a, b) coïncide avec un point de ramification à Tinfini.
«33. Comme la somme de lous les résidus de la fonction v esl nulle f rinlégrale J peut n avoir aucun point singulier logarithmique, si tous les résidus der sobI nuls séparément; mais, si elle possède un point singulier logarithmique, elle en a au moins un second, car lous les résidus ne peuvent être nuls, sauf un seul, puisque leur somme est nulle.
Les inlégrales les plus simples possédant des points critiques logarithmiques sont donc celles qui en possèdent deux avec des résidus nécessairement égaux et de signes contraires.
Toute intégrale abélieniie est une somme d'intégrales rentrant dans l'une des trois catégories suivantes :
1° Une intégrale abélienne est de première espèce quand elle resle finie, quel que soit le point analytique (z, //), à distance finie ou infinie, formant la limite supérieure : une telle intégrale est une fonction du point analytique (3, m), régulière en tous les points de la surface de Riemann, mais non uni/orme ;
2" Une intégrale abélienne est de deuxième espèce quand elle devient infinie en un seul point de la surface de Riemann et que ce point est un pôle de l'intégrale;
[V' Une intégrale abélienne est de troisième espèce quand elle devient infinie seulement en deux points (a^b) et {a\b') de la surface de Riemann, qui sont des points singuliers logarithmiques de telle nature que, dans le voisinage de ces points, elle puisse être représentée par des expressions de la forme
— log(5 — a)-4-o(;;, m), log(5- a')-hcp'(.3, u),
'f{z, u) et 'f'(3, u) désignant des fonctions régulières respectivement aux points (a, b) et («', V),
INTÉGRALES H YPERELLI PTIQU ES. 6l
34. Nous éludiiTons d'abord les intégrales de première espèce.
Soil
w(z,u)= / — V dz
une intégrale de première espèce. Le polynôme P doit être identiquement nul. En effet, appelons (v' et u''' les deux déterminalions de l'intégrale aux deux points analytiques superposés (3, Ut) et (Zj Wj), Ui et U2 désignant les deux déterminations de u correspondant à une valeur de z-; nous aurons
d'où
dw' dz
lS*
5tP R'
uite,
tv'
■+■ iv" =
L'intégrale iv étant de première espèce, toutes ses déterminalions (v' et (v'' doivent rester finies, donc aussi la somme (v' -f- (v". Or, si P n'est pas identiquement nul, ou bien la fonction rationnelle î^ dépend effectivement de :;, et alors elle devient infinie en
un ou plusieurs points où l'intégrale qui donne iv' -i- iv" devient
P également infinie, ou bien ^ est une constante C différente de
zéro, et alors l'intégrale qui donne (v'-hiv'', étant égale à 9.G{z — ^o)j devient infinie à l'infini. Pour que (v' -h «^' reste finie, il faut donc que P soit nul identiquement. L'intégrale iv ne peut être que de la forme
qui peut aussi s'écrire, évidemment, en appelant S le polynôme
6*2 CIIAPITRK II.
11 reste à voir ce que doivent être les polynômes S et R, supposés débarrassés de leurs facteurs communs, pour que w soît partout finie.
Tout d'abord Rdoil se réduire à une constante. En eflet, si R admettait une racine a, distincte d'un point de ramification, d'ordre A', on aurait, au voisinage de z := a^
■ • H ^4-rtA. -I-...,
mR {z — a)^ (3 — a/-i ' *" z — a Sdz fiQ ai
-hcTA-i \o^(z — a) -h...,
expression infinie pour z =: a. Si R admettait comme racine d'ordre A' un point de ramification ei, on aurait, dans le voisinage,
(z — ei) * V- — ^/) *
rSdz no
o\ aa^-i
expression infinie pour :; = (?/.
Le poljnome R ne devant admettre aucune racine est une constante^ et l'expression de l'intégrale de première espèce devient
w —. I -dz.
Toute intégrale de cette forme est finie en tous les points à distance finie, car, dans le voisinage du point e/, on a
S ao i ^
{z--eiY
Sdz ^ ^ 1 1
— - = G-!-2ao(- — e/)=' -r- - ai(2 — e/)* -h...,
expression finie pour z = c/.
Il reste à exprimer que (v reste finie pour z infini. Appelons s le degré du polynôme S. Pour z infiniment grand, l'élément dif-
INTEGRALES 11 Y P K RE LLl PT I Q U ES. 63
finie, il faut et il suffit que cet ordre soit inférieur à — i , d'où
férentiel — est, en 5, de l'ordre s ; pour que l'intégrale soit
Lorsque n est pair, nz= 2p -{- 2, on a
el, si n est impair, /i = 2/? 4- 1 ,
Dans les deux cas, la plus grande valeur de s est p — 1 ; on pourra donc prendre pour S le polynôme
S = X| H- Xj3 -h Xji'-f-. . ."^ XpzP-^,
avec/? coefficients arbitraires A|, X2, . . . , X^, et l'intégrale iv ainsi obtenue est l'intégrale la plus générale de première espèce. En posant
rintégrale w la plus générale de première espèce pourra s'écrire
tv = Xi tV| -T- XjWj -r- . . .-f- 'kpiVf, -^ const.;
elle est donc une fonction linéaire à coefficients constants de/? intégrales spéciales de première espèce iV|, (V2. . . . , ^Vp, Ces intéj>;rales (Vi, «v^, ..., Wp sont linéairement indépendantes; il est impossible de trouver des coefficients constants C|, C2, ..., Cp tels que l'on ait
Cl tvi 4- Gj cv| -f- . . . -h Cp Wp = const. ;
en efict, la dlfTérentiation donnerait la relation
Cl ■+- CiZ -^ Cj ^2 f- . . . -4- CpZf * = o,
qui ne peut être satisfaite identiquement que si les constantes C|, Ct, • • • , Cp sont nulles.
En résumé, le nombre d'intégrales de première espèce linéairement indépendantes est égal au genre.
Toute intégrale de première espèce est une fonction linéaire à coefficients constants de ces ^ intégrales particulières.
3S. Voici maintenant comment on obtient les intégrales de troisième espèce. Proposons-nous de former une intégrale possédant les propriétés suivantes : elle est partout finie sur la surface de Riemann, excepté en deux points analytiques donnés, (a', b') et (a, b)\ dans un certain domaine du premier, elle est de la forme
log(5 — a')-f-<p,(4J,M),
et, dans un certain domaine du second, de la forme
— log(;5 — a)-i-9(-5,M),
Oi et cp désignant des fonctions régulières respectivement aux
points (a', b') et (a, 6). Conformément à la convention que nous
avons faite pour les points singuliers logarithmiques (p. 6o), il
faudra dans ces deux expressions remplacer (s — a) par {z — etY
ou -» ou ( - J ; suivant que le point («, b) coïncide avec un point
de ramification, un point ordinaire à Tinfini, un point de ramification à l'infini; de même pour (s — a') à l'égard du point («', b').
Supposons d'abord ces deux points (a', b') et (a, b) à distance finie, l'intégrale
remplit les conditions de l'énoncé.
Prenons d'abord pour (a', b') {a, b) des points analytiques distincts des points de ramification. L'élément différentiel devient, à distance finie, infini aux points de ramification, car en ces points « s'annule ; mais en un de ces points ei l'élément différentiel devient
infini comme ^7 et l'intégrale est régulière en ce point.
L'élément différentiel devient encore infini à distance finie aux
INTEGRALES fl rPEn ELLIPTIQUES. 63
' deux points {a', U) et {«, 6), chacun de ces infinis étant du premier ordre avec les résidus respectifs 4- i el — i . En effet, la fraction
reste finie au point (a', — b') dans Je domaine duquel elle est régulière, et devical infinie du premier ordre avec un résidu égal â I au point («', b'). De mtime la fraction
est Unie au point (a, — b) et devient infinie du premier ordre au point {a, b), avec le résidu — i .
L'intégrale a donc bien dans le domaine des deux points (a', V), («, b) la forme requise. En outre, elle est régulière à l'intiai, car on peut l'écrire
J -xyt — a' s— «/ J -xuXz-a s — aj
et les deux intégrales séparées sont manifestement finies pour 5 ^ M : dans la première, l'élément différentiel est, pour s infini, îoJÎDimeot petit de l'ordre de I - j < et, dans la seconde, il estinfi-
niment petit de l'ordre de I ^ 1
Celle intégrale ra remplit donc toutes les conditions demandées. Il est bon de remarquer que, si les Jeus points (</, b'), (a, b) sont superposés, a' ^=a, b' = — b, et l'intégrale prend la forme
r"-"' A ds I
La même intégrale m continue à remplir les conditions demandifes quand l'un des points (a', b'), («, b) vient coïncider avec un point de ramilicalion. Supposons, par exemple, a'^^ei, b':=o, L oo a
cette înlëgrale se comporte aux points de ramification autres que A. ET G. 5
e/, au point (a, b) et aux points à Tinfîni, comme Tintégrale étudiée précédemment. Dans le domaine du point ei, on a immédiatement en écrivant
- ri dz r i u^b ,
"'" J 1 z—€i J iu z — a
et remarquant que la seconde intégrale est régulière au point e/,
^^',6 = Iog(-3 — e/)' -\- fonction régulière en e/,
expression qui est bien de la forme demandée.
Si le second point (a, 6) coïncide avec un autre point de ramification ey, on a 6 = o et l'intégrale devient
*'i J 1 \z — ei z — ejj
pouvant s'écrire, sous forme finie,
K) = log (^ — eiY — log(-3 — ejY -f- const., où les conditions requises sont évidemment remplies.
36. Quand l'un des points (a', b')^ (a, b) s'éloigne indéfiniment, l'intégrale formée précédemment devient infinie si w >► a,»^ On la remplace alors par l'une des intégrales suivantes convenant à toutes les valeurs de n.
Soit d'abord n pair^ /i = 2/? -f- 2. Prenons le point («r, b) au point oO| de Tun des feuillets caractérisé par
lim — t/Â
zi'-^^ ^
pour -c = 00. L'intégrale -
remplit encore les conditions demandées relativement aux deux points {a\U) et oc< . En effet, aux points de ramification et au point (a'jb')y elle se comporte comme nous venons de le voir. Pour étudier cette iutégrale à l'infini, écrivons-la
INTÉGRALES U Y PER ELLI PTIQU ES. 67
Maintenant la seconde intégrale est régulière aux deux points éloignés indéfiniment oO| et 002. Quant à la première, on a dans le domaine du point oC|
Il Z Z- Z^
d'où
eoî'^ = — log — h fonction réffiilière en xi ;
dans le domaine du point 0O2, on a, au contraire,
le terme en - disparait dans la combinaison
1 ^kzP
cl Finlégrale est régulière au point oo^.
Lorsque, n étant pair, les points {a\ b') et (a, b) sont à Tinfiui dans des feuillets difTérents, (a, b') au point QO2 pour lequel
lim - = — \/X
et (a, b) au point oc, pour lequel
li»"^"^, - + /Â,
on a une intégrale remplissant toutes les conditions en prenant
En efTet, cette intégrale est finie à distance finie; dans le do maine du point oc, , on a
d'où
nj^î = — log - -H fonction régulière.
Dans le domaine du point 0C2, on a de même
m^\ = log - -+- fonction régulière.
Par exemple, si /> = o, l'intégrale élémentaire i j -==r- esl
une intégrale de troisième espèce, attachée à la relation u^=z i — z^, avec deux points singuliers logarithmiques à l'infini.
Enfin, supposons n impair et (a, b) placé au point de ramification infiniment éloigné, l'intégrale
J iu z —a
dz
remplit encore les conditions requises. Elle se comporte à distance finie comme l'intégrale primitive ra*''^^ à l'égard du point (a', 6'). Écrivons-la
J liz — a) J iu(^z — a')
nous voyons que la seconde intégrale est régulière à l'infini et que dans la première on peut faire, pour z très grand.
i{z — a) -iz 13*
d'où
toS'»^' = — log ( - 1 -+• fonction régulière.
37. Nous avons ainsi formé une intégrale de troisième espèce pour toutes les positions possibles des points singuliers logarithmiques; l'intégrale de troisième espèce, la plus générale, correspondant à une position déterminée des points singuliers logarithmiques, est égale à l'intégrale que nous avons formée, augmentée d'une intégrale Aq première espèce
INTÉGHitLES II VPERELLIPTIQIIEB. 69
Bvec p cocfficienls arbitraires X,, \. ..., \p. En effel, si deux intégrales de iroîsièmc es|i('ce ont les mêmes points singuliers iogaritlimiqnes (a', b' ) et {a, 6), avec les résidus respectifs + i el — I, leur A'iSirtnce est partout Jinie ; cette diEFérencene pourrait devenir infinie qu'en un des points [a', b'), (a, b) : dans le domaine du point («, b), les deux intégrales soni de la forme
- log(« — rt)-i- tonclion rcgulii
,l(fl,6);
leur différence est donc évidemment régulière au point (fl, b). De même au point (a', b'). Celle différence étant régulière partout est une intégrale de première espèce.
38. On peut former une intégrale unique de troisième espèce qaî conserve un sens, quelle que soit la position des points (a', U) et (a, b), à distance finie ou infinie. Pour cela, désignons
par
À une constante arbitraire e
miellei
nt différente de a et
de a'.
i posoni
Cette expression, dans le cas où {a!, b') et {a, b) sont a distance finie, ne diffère de l'intégrale
I que par une somme d'intégrales de première espèce, car tous les termes, tels que
Il des intégrales de première espèce. L'intégrale ^" se réduit
i d'ailleurs à uC^e ■ si Ton fait \ infini, ce qui est permis quand
(a', b') et (a, b) sont à dislance finie, car X est assujetti à la seule
condition d'élrr différent de a el de a'. Mais cette intégrale V
possède cet avantage de conserver encore un sens quand l'un ou
Taiitre des points singuliers (a', 6'), {a, b) ou tous deux s'éloignent à l'infini.
Pour le montrer, écrivons cette intégrale sous la forme plus simple suivante, où nous remplaçons les progressions géométriques
a'-\ (fl'X)« -^ (a'-X)/' ' a-l (a— X)« * (a — \)P
par leurs sommes
puis faisons croîtrez indéfiniment, en considérant successivement les deux cas /î pair, n impair.
Si /i = 2/> -+- 2, faisons coïncider (a^b) avec le point oo< caractérisé par ce fait que
lim . := -h v/A
pour a =^ 00. Le second terme de l'élément différentiel
ou
lend vers v/A(3 — X)'' et Ton a
-h /Â(5-X)/' Ic/J,
expression qui ne diffère de Jjf^'^' que par des intégrales à^ première espèce.
Si le point [a'^b') s'éloigne à l'infini dans l'autre feuillet, de façon à coïncider avec le point qc2, on a
lim — — - — — /À
INTÉGRALES H YPERELLIPTIQUES. 7I
et un calcul analogue au précédent donne
expression qui ne diffère de tsZ\ que par des intégrales de première espèce et qui se réduit à tsZ\ pour X = o.
Enfin , supposons n impair et égal à 2/? -+- 1 , et imaginons que le point («, b) coïncide avec le point de ramification 00. Alors le rapport -— ^ tend vers zéro, la quantité
z — a tend vers zéro, et l'on a
dz,
expression qui ne diffère de m^'^' que par des intégrales de première espèce et qui tend vers wi''*' quand on prend X infiniment grand.
L'intégrale la plus générale de troisième espèce admettant les points singuliers (a, 6) et (a\ b') est encore
^['b' + X1W1 -i-XjWj-h . .. -t- \pWp.
39. Voici quelques propriétés des intégrales précédentes. On a
d'après l'expression même de xs et W, car la permutation de («', U) el [a, b) change le signe de l'élément différentiel. En particulier, si (a,b^)=i(a^b), les intégrales w et ^ sont identiquement nulles.
Soient Ui et 2/3 les deux déterminations de u correspondant à une même valeur de :;. Les sommes
72 CHAPltRE II.
ont respectivemenl pour dérivées
I /ux-\-b' Ui-Jrb\ I /Uj-hb' Uf-hb\
iui\z — a' z — a) Q.Ui\z — a' z — a/'
ii-^-b
ou, en réduisant et tenant compte de la relation e^i + i/i = o,
donc, en intégrant, on a pour les deux sommes une expression de
la forme
, z — cC Zti — a
log > -h const.
40. 11 nous reste à étudier les intégrales de deuxième espèce. Nous avons nommé ainsi une intégrale abélienne, finie en tous les points de la surface de Riemann, excepté en un point qui est un pôle de l'intégrale.
1° Le pôle est un point ordinaire. Soit d'abord ($,7^) un poinl analytique situé à distance finie et distinct des points de ramification
V = A(5-eO(?-^î)..-($-e«),
et -^ la valeur de -^ pour c = Ç, a = Tj, L'intégrale
^rf;
est l'intégrale élémentaire de deuxième espèce, avec le pôle
INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUE8. ^3
simple (Ç, Tj), la partie principale de rintégrale relative à ce pôle étant
Dans cette intégrale, le numérateur est a4- Pi, P| désignant le polynôme du premier degré en z
obtenu en prenant les deux premiers termes du développement de u en série par la formule de Tajlor dans le domaine du point (i,Yi).
L'intégrale ainsi formée est finie à Tinfini, car, pour ^ infiniment grand, l'élément difi'érentiel est, en -, infiniment petit d'un
ordre supérieure i. A distance finie, l'élément différentiel devient infini aux points de ramification, mais l'intégrale reste finie. Enfin le dénominateur de l'élément différentiel s'annule pour la valeur 5 = Ç à laquelle répondent deux valeurs de u^ ± 7\, différentes de zéro. Au point (Ç, — t,) l'élément différentiel est régulier, car dans le domaine de ce point on a, par la formule de Tavlor,
"- "^ ^^ ^^ di 1.2 rfÇ» •••
Le numérateur a + P^ contient donc (z — i)^ en facteur, et l'élément différentiel est fini au point (Ç, — Tj). Mais dans le domaine du point (Ç, Ti) on a, par la formule de Taylor,
Ecrivons l'élément différentiel comme il suit
rintégrale devient dans le domaine du point (i,io)i C étant une constante d'intégration.
comme u — P| contient (:; — Ç)^ en facteur, l'élément
M— Pi
est une fonction régulière au point (Ç, r^)^ et Ton a, dans le domaine de ce point,
^(ZyU\\,r^) = g -4- fonction régulière.
C'est ce que nous voulions démontrer.
On formera de même une intégrale l^^^^(z,u; Ç,Ti) finie partout, excepté au point (5,^^), qu'elle admet pour pôle d'ordre (v -+• i), la partie principale relative à ce pôle étant
Pour cela, désignons par Pv+< le polynôme de degré (v -h i) en ^ obtenu en prenant les v H- a premiers termes du développement de u dans le domaine du point (^, r^), suivant les puissances de
ili i.a al* i.2...(vH-i) aÇ*-n
L'intégrale
est l'intégrale demandée. En effet, elle est finie aux points à l'infini et aux points de ramification ; elle est finie au point (i, — r\), car dans le domaine de ce point on a, parla formule de Tajlor,
u - — Pv^-i —
