PRÉFACE

Le Mémoire de Pulseux sur les fonctions algébriques, publié en 1854, a ouvert le champ de recherches qui a conduit au\ grandes découvertes mathématiques de notre époque. Ces découvertes ont donné à la science du Calcul des principes nécessaires et féconds qui, jusqu'alors, lui avaient manqué ; elles ont remplacé la notion de fonction, restée obscure et incomplète, par une conception précise qui a transformé l'Analyse en lui donnant de nouvelles bases. Puiseux a le premier mis en complète lumière Finsuffisancc et le défaut de ce point de vue où l'on se représentait, à l'image des polynômes et des fractions rationnelles, les irrationnelles algébriques et toutes les quantités en nombre infini qui ont leur origine dans le Calcul intégral. En suivant la voie de Cauchy, en considérant la succession des valeurs imaginaires, les chemins décrits simultanément par la variable et les racines d'une équation, Téminent géomètre a fait connaître, dans ses caractères essentiels, leur nature analytique. Il a découvert le rôle des points critiques, et les circonstances de l'échange des valeurs initiales des racines, lorsque la variable revient à son point de départ, en décrivant un contour fermé comprenant un ou plusieurs de ces points, [la poursuivi les conséquences de ces résultats daiisTétude des intégrales de différentielles algébriques. Il a reconnu que les

divers cliemins d'intégration donnent naissance à des déterminalions multiples, ce qui l'a conduit à l'origine, jusqu'alors restée entièrement cachée, de la périodicité des fonctions circulaires, (les fonctions elliptiques, des transcendantes à plusieurs variables définies par Jacobi comme fonctions inverses des intégrales hyperelliptiques.

Aux travaux de Puiseux succèdent, en 1857, ceux de Bicmann accueillis par une admiration unanime, comme l'événement le plus considérable dans l'Analyse de notre temps. C'est à l'exposiiionde l'œuvre du grand géomètre, des recherches et des découvertes auxquelles elle a donné lieu qu'est consacré cet Ouvrage.

Une conception singulièrement originale leur sert de fondement, celle des surfaces auxquelles est attaché le nom de l'inventeur, formées de plans superposés, en nombre égal au degré d'une équation algébrique, et reliés par des lignes de passage, qu'on obtient en joignant d'une certaine manière les points critiques. L'établissement de ces lignes est une première question de grande importnuce, rendue depuis beaucoup plus simple et plus facile par un beau théorème de M. Luroth. S'offre ensuite la notion des surfaces connexes, de leurs ordres de connexion, les théorèmes sur l'abaissement par des coupures des ordres di

inexion, puis

la formation du système canonique des coupures qui ramènent la surface à être simplement connexe. De ces considérations profondes et délicates résulte une représentation géométrique, qui est un instrument de la plus grande puissance pour l'étude des fonctions algébriques. 11 serait trop long de rappeler toutes les découvertes portant l'empreinte du plus grand génie mathématique, auxquelles elle conduit Riemann; j'en indiquerai seulement quelques-unes.

Longtemps avant les travaux de Puiseux, les points critiques s'étaient ofTerls dans la théorie des courbes algébriques, leur nombre déterminant la classe, ou bien le degré de l'équation

f Jela polaire réciproque. On avail reconnu que la classe d'une courbe s'abaisse lorsqu'elle a des points multiples et qu'alors des points d'ioflexiun disparaissent, mais ues résultats si intéressants restaient dans le domaine de la Géométrie. Riematin joint la Géontéiric à l'Analyse, en leur donnant une notion nouvelle I el féconde, celle des substitutions où les coordonnées s'expri- < ment en fonctions rationnelles de deux variables, ces variables I étant aussi des fonctions rationnelles des coordonnées. Tant(^t on 1 a égard à l'équation de ta courbe, on les nomme alors substitutions \ birationnelles; tantôt on en fait abstraction, on les appelle dans ce cas substitutions de Cremnna, pour rappeler les beaux travaux I que leur a consacrés l'illustre géoniCtre. Les équations en nombre l infini qui se déduisent de l'une d'elles par ces transformations I 50nl regardées comme équivalentes, leur ensemble forme une I classe, et elles ont toutes un élément commun ayant le rôle d'in- I variant. C'est un nombre entier que Uiemann nomme le genre de [ [a courbe et désigne par/»; il est lié au nombre des points cri-

I liques R, et au degré

r l'éealité r

La conception de classe des équations algébriques, celle du l genre el la relation qu'on vient de donner comptent parmi ses I plus mémorables découvertes; elles ont conduit à ce résultat im- I prévu, que les points multiples, qu'on n'avait encore considérés I qu'en Géométrie, ont en Analyse un rôle capital, comme éléments Lcaracléristiques des propriétés fondamentales des fonctions algé- I briques. On a, en effet, ce beau tbéorème que les équations d'une 1 même classe se ramènent à une équation normale de degré ^ -t- u, I ayant un nombre de points doubles égal à ^p(p — i)- En prenant l'énoncé sous ta forme simple qui est due à M. Nother, et où I n'entrent que des points doubles à tangentes séparées, j'e ^ pelle quelques conséquences.

Supposons que p soit nul, l'équation normale est du : \ degré. SCS coordonnées sont des fonctions ralionnelles d'iir

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