PREFACE

mètre : ii en est donc de môme pour toutes les courbes du genre zéro, qui ont le plus grand nombre possible de points doubles pour un degré donné. Ce sont les courbes antérieurement étudiées par M. Cayley, et auxquelles Tillustre géomètre a donné le nom, généralement adopté, d^unicursaies. Supposons ensuite p = i et p = 2j ce nombre maximum sera successivement diminué d^une ou de deux unités; il faudra alors s'adjoindre la racine carrée d'un polynôme du quatrième ou du sixième degré par rapport à la variable auxiliaire. Les expressions obtenues par cette voie s'appliquent d'abord à l'intégration des fonctions algébriques de genre /?, c'est-à-dire de fonctions rationnelles de la variable et de la racine d'une équation de ce genre. Pour/? = o, ces quantités s'obtiennent sous forme finie; pour/? = i, elles se ramènent aux intégrales elliptiques; on voit ainsi quelle extension prend la méthode fondée sur l'emploi des substitutions, dont l'usage était auparavant si restreint. Mais c'est dans un autre ordre de question, dans le théorème d'Abel tout d'abord, que la notion du genre se montre avec toute sa portée et sa puissance.

Abel avait fait la découverte capitale qu'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales à limites arbitraires, de la même fonction algébrique, s'exprime par un nombre fixe d'intégrales semblables auxquelles s'ajoute une quantité algébrique et logarithmique.

Riemann établit que ce nombre est le genre de la fonction; il complète ainsi l'œuvre d'Abel et donne à son théorème sa forme définitive par un énoncé d'une simplicité frappante. En même temps, et au moyen déconsidérations géométriques, il parvient à la définition des intégrales de première, de seconde et de troisième espèce, sous un point de vue entièrement nouveau, qui n'est plus celui de la théorie des fonctions elliptiques, et démontre qu'il existe p intégrales de première espèce et p intégrales de seconde espèce, linéairement indépendantes. On sait que ce mé-

THÉORIE

DES

ÉTUDE DES FONCTIONS ANAf.TTIQUES SUR UNE SURFACE

PARIS. — IMPRIMERIE GAOTIIIER-VILLARS ET FILS. QUAI DES GRA?IOS-Al'GlSTINS , .) ). I936:i

THÉORIE

DE LEURS INTEGRALES.

ÉTUBE DES FONCTIONS ANALYTIQUES SUH UNE SUBFACE DE RIEHANN;

Paul APPELL. I Ebouard COURSAT,