FONCTIONS ALGEBHIQUCS D INE VARIABLE
B t, qu'il n'j a pas de coDoeiuon enLre deux nappes de la surface > 1 «3iig d'une ligne double, de façon que deux courbes de la surface se croisent en un point d'une ligne double n'ont un point rïmun que si elles sont tracées sur b même nappe. La fonction
F <le: devient alors sur la surfaceTainsi obtenue une (onction jouis-
■ »» «des propriétés suivantes: ["à chaque point de T correspondent
'»n c; valcurdeset une valeur de //parfaitement déterminées; ^''celle
^al^urde H varie d'une manière continue quand on décrit un
B??l»^?njin quelconque sur la surface T. A chaque point d'une ligne
> (2.ble correspondent deux valeurs de tt, que l'un distinguera
»près U nappe de surface à laquelle ce point est censé appar-
cnir. Le raisonnement est tout pareil à celui du n" 2.
ÎNoiis avons figuré {^fig. 6^ } en perspective la surface obtenue L ei» supposant le nombre de feuillets égal â 3 (m = 3).
Fig. 6i.
aintcnant que le ra^on R augmente indéfiniment et ets, au lieu d'élre à une distance finie les uns de» autres, soient à une distance infiniment petite. iSous représenterons la surface par sa projection sur un plan avec la ligne île pas-
sage o h 00, en marquant par un trait différent les chemi
situés sur les différents feuillets. Ainsi l^Jig. 65 représente 1 chemin fermé entourant l'origine sur la surface à trois feuill
ao
avec une ligne pleine pour les chemins sur le feuillet supérieur, une ligne formée de points sur le deuxième feuillet, de traits et points sur le troisième.
Si l'on projette sur la sphère, on aura une surface sphériqueà m feuillets, avec deux points de ramification, le point O et le point O'.
Exemple IL — Reprenons Téquation étudiée plus haut
qui admet les deux points critiques z=^±\. Considérons trois feuillets dans lesquels nous tracerons deux coupures partant des points 4-1 et — i {fig. 66).
Fig. 66.
Appelons Mo, W|, U2 les trois valeurs de u qui se réduisent respectivement à o, -h y/3, — \/3 pour 2 = o, et sur chaque point du feuillet P/ marquons la valeur correspondante de w/. Pour former la surface de Riemann, superposons ces trois feuillets; pour savoir comment on doit réunir les bords, reportons-nous au n^ 91.
PONCTIONS .VLOKBBIOUES D UNE VABIABLE. 199
^u^nd on traverse la coupure L, //» se change en it,, », ea „, mais H, ne change [las. 11 faudra clone réunir «„ fS,, el ytOi,
■ ^1 et Yo^oi puis Mj^jei ^ï^a- De même, il faudra réunir, lu >n ^ de la seconde coupure, Xg [jlq et Vj pg, Xg [jlj et Vg poi ^i y-i cl
■ p « . Lijig. 67 représente la projection d'une courbe fermée si-
Fig. 67,
l («aée sur la surface. On a ir *^ee , les feuillels qu'elle réunit, el l'on a '^ figure le Irait emplojé pour llgiirer ui
i^«ts o, 1 el2.
I 93. Abordons maintenant le
côté de chaque ligne de pasndiqué dans l'angle de chemin dans les feuil-
■rai. SoitF(::, H) = oune ^^Uatîon algébrique entière, irréiJucttble, de degré m en h. On P^m former de bien des manières une surface T, composée de m ■euillels superposés, correspondant à cette relation. Voici une tnélliode générale. Marquons dans le plan les divers points»,, «1, ..., «„ autour desquels plusieurs racines se permutent, et Ira- <yjns â partir de ces points des coupures s'étendani jusqu'à l'inGni, de fai;oti que ces coupures ne se croisent pas entre elles. Soit enfile ;« une valeur de ^ telle que Téquation
ù\m racines dlslinclcs et finies, &,, bn, .,., b^- Appelons »,, M), ..., Un les m racines qui se réduisent respectivement à /»,, bi. ..., b,K pour 5 = ;„, et qui restent des fonctions uniformes de :, tant que celte variable ne franchit aucune coupure. Imaginons m feuillets pians superposés, admettant tous les mêmes coupures ullanl des points <(, à l'inflni. A chacun de ces feuillets alla-
chons une valeur de n et donnons au feuillet le m^me indice c^* la racine correspondanle. Il s'agît de voir coiumenl on doit réu mt les bords des coupures de ces diU'érents feuillels.
Pour cela, considérons en particulier le point critique a,-€l wn^^ racine h*. Si te lacet (rt,) ram^-ne la racine h* à sa valeur initiale^ on supprimera la coupure «,» dans le feuillet correspondanl. On opérera de même pour tous les feuillets correspondant à des ^acine^ qae le lacet (a,*) ne permute avec aucune autre. Les autres racines se partageront en un certain nombre de sjstémes de racines se permutant circulairement autour du point a^ Soil(Hn! «3^ ■■■, «)■. Mu) un de CCS groupes; le lacet (n,) décrit dans le sens direct change «a en »p, «p en «y. ..., u\ en it,^. Réunissons le bord droïl de la coupure sur le feuillet a au bord gaucho de la même coupure sur le feuillet ^, le bord droit de la coupure sur le feuillet ^ au bord gauche de la coupure sur le feuillet y^ - ■ -. et enfin le bord droit de ^ au bord gauche de 3. Dan s le voisinage du point »,-, les feuillets
d'indic.
li liés les uns au\ autres, mais ils sonl
complètement isolés des autres feuillets. Ils peuvent cependant les traverser, mais suivant des lignes doubles de la surface, et nous conviendrons toujours qu'il n'jf a point de connexion entre dens nappes de surface le long d'une ligne double.
Opérons de même avec lou s les feuillets et tous les autres points critiques. La surface Tainsiobtenuejonildes propriétés suivantes : 1° à chaque point de cette surface correspond une valeur bien déterminée de : cl de ti; %" à un déplacement infiniment petit sur celte surface correspond une variation înfinimenl petite de (/. sauf, bien entendu, dans le voisinage des pâles, qui sont en nombre fini. Cette surface T est la surface de Riemann correspondant à la relation F(3,h) ^^ o, étendue sur le plan des 3, Projetons cette surface sur la sphère par le procédé déjà employé plusieurs fois (n° S) ; nous obtenons une surface spbérique formée de m feuillets, qui peut remplacer lasurface plane. Aux valeurs de 3 de module 1res grand correspondent les points de la sphère voisins du point O', et la liaison des feuillets autour du point O' résiille de leur liaison autour des autres points de ramification. Par exemple, si une racine est uniforme dans le domaine de s;=ao, quand on tlécriraun contour fermé sur la sphirc autour du point O' en partant du feuillet correspondant i\ cette racine, îl pourr:i
ie faire c|u'on traverse plusieurs feuillets difTérenls, mais, après lin lour complet, on reviendra au poinl de départ sur le méine feuillet.
Oonsidérons une valeur n de :; pour laquelle jj. valeurs de u de-
vieDtsent ëgalesà b et forment un seul système circulaire dans le
voisinage de ce point. Sur la surface T, on aura un système de u.
feuillets liés les uns aux autres dnns le voisinage de ce point, mois
séparés des autres feuillets. Ils pourront les traverser suivant des
ijgncs doubles, mais on ne pourra pas passer par continuité d'un
[1 feuillets à un autre dilTorent de ceux-là, en restant dans
le domaine du point it. Nous dirons (jue ces ^ feuillets forment
n cjrcle, et le point commun à ces [j. feuiliets est le sommet du
cycle; c'est un point de ramification d'ordre [j. — i. Il peut se faire
aussi que, pour 5 ^^ o, on ail plusîeuis systèmes circulaires de
cïnes. Au-dessus du point z =^ a du plan des :, on aura sur la
rfaceT plusieurs cycles distincts dont les sommets se projellent
in c« même point. Par eilension, on dira quelquefois qu'un point
le la surface, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, est un point
Ae ramification d'ordre ïéro. Un mdme poinl du plan des z peut
^y-re la projection de plusieurs points de ramification d'ordre zéro
et d^autres points de ramiftcation d'ordre supérieur. A un point
double (fl, b) de la courbe F(s,(/) = o, par exemple, correspon-
dent deux points de T par lesquels passent deux feuillets tout à fait distincts : la surface ne présente rien de particulier eu ces points. \.ajig. 68 représeiili- quatre feuillets superposés P, , P3, Pj, P,; le pointai est un poinl de ramification d'ordre r pour les feuillets r
el -j, d'ordre o pour les feuillets 3 et 4; ces deux derniers sont cnli(''remenl dislinets au point a {fig- 68).
Bemartjue I. — (juand on dit d'un point de T (|uc ce point n'appartient qu'à un seul feuillet, on fait abstraction des lignes doubles. Pour un point pris sur une ligne double, il faut ajouter à quelle nappe le point est supposé appartenir.
Remaifiue 11. — Il est clair que la façon de réunir les feuillets pour former une surface T n'est pas unique. Par exemple, il n'est pas nécessaire de supposer que les lignes de passage sont des lignes droites; on peut leur donner des formes absolument arbitraires. Lorsqu'il n'^ a que des points de ramîncalion simples, on peut employer un procédé particulier dû n Luroth. ( l'ofV PicAiiTi, Traité d'Analyse, I. 11, p. 367 et suivantes.)
91. On appelle pi>int analytique (=,w) l'ensemble d'unevaleur deset d'une valeur de u vérifiant la relation considérée F {-,«):= O. A tout point de T correspond un point analytique et inversement. Soit (rt, b) un point analytique ; on a F(rt,t)— o et en général Il = l> est lacine simple de l'équation
S'il en est ainsi, le point de T qui correspond au point analytique {a, i) est déterminé sans ambiguïté. Il ne peut y avoir exception que si w =^ 6 est racine multiple de l'équation précédente. Supposons d'abord que les n valeurs de u voisines de b pour une valeur de z voisine de a appartiennent à un même système circtilaire. Sur la surface T on aura, au-dessus du point 3 = a, un cycle de n feuillets, dont le sommet sera le point unique deT correspondant au point analytique (a, b). Il n'en est plus de même si les n valeurs de it voisines de b se partagent en p {p~> i ) systèmes circulaires. On aura p cycles sur T, dont les sommets correspondent au même système de valeurs = = a, u ^ b. On aura en réalité p points analytiques {(t,b), qu'il faudra distinguer les uns des autres. Mais ceci ne peut avoir lieu que pour un nombre fini de systèmes de valeurs de rt et de b.
