Nous

;ons d'abord d'étudierlcs propriétés gêné-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'lNK VMll.lBLE. -io]

raies des fonctions unifurmes sur la surface T ou, ce qui revient au rvième, des fonctions uniformes du point annlj tique (j, ii). Soit en premier lieu (a, b) un point à dislance finie Je la surface par lequel ne pusse qu'un feuillet. Découpons un petit morceau de surface entourant ce point et situé tout entier sur un seul feuillet; lorsque le point de T restera sur cette portion de surface, le module de z — a restera inférieur à une certaîoe limite, et la branche de fonction considérée sera, dans ce domaine, une foncp lion uniforme de :; — a. Il peut se faire que cette fonction v soit, Kns ce domaine, égale à la somme d'une série convergente

,. = Ao-i- A,(= - „) + ...+ A,(-- - a yi-^.. . ;

plors la fonclion c sera dite régulière au jioinl (a, 0). Si

fttts que A, soit nul, le point analytique (n, i)est un zéro d'ordre

■ Si la foDClîon c n'est pas régulière au point {a,b), ce point eal

E^*^ point singulier. Nous supposerons que c'est un point singulier

• Wo\è; alors, d'après le théorème de Laurent, on aura, dans ledo-

wiaine de ce point,

-A,(ji

S'il n'^ B qu'un nombre limité de termes à exposants négatifs, I Je point (a, 6) est un pâle, dont l'ordre est égal à la plus haute puissance de ; — dans le développement. S'il y a un nombre illimité de termes à exposants négatifs, le point analj tique [a, b) est uu point singulier essentiel isole. Dans les deux cas, le coefficient de 7 est encore appelé résidu.

Supposons maintenant que le point analytique (fi,^) soit le

I sommet d'un c^clt de [jl feuillets a dislance finie. Découpons sur

' T un petit morceau de surface t ne contenant à son intérieur

d'autre point de ramilication que cehii-lii ; t se composera de cer-

■taines portions des ^t feuillets qui passent par ce point, et sera li-

mitée par une courbe fermée qui, vue eu projection sur le pla des -3, tournera jji fois autour du point 5 =: a. (La figure repr sente cette courbe limite, pour [jl = 3, la convention pour les Irai qui figurent les chemins étant la même queyïg^. 65).

Fig. 69.

C'est cette petite portion de surface que nous appellerons le do — * maine du point (a, 6). Il est facile de voir que cette surface peu: se ramener à une portion de surface plane, située sur un même:3i feuillet. Posons, en effel, ;; = a -j- :;'!* et représentons encore la^ variable -3' par un point dans un aulre plan. Traçons les droites^