APPLICATIONS DU THÉORÈME D*ABEL A LA GÉOMÉTRIE
évidemment remplacer dans l'énoncé la courbe y= o par la courbe
/-f.XF = o,
où ^est arbitraire, car cette courbe n^a aucun point commun avec F = o à l'infini.
Par exemple, on pourra vérifier le théorème pour l'hyperbole xy = 1 coupée par les coniques
Par* -+- Q^* -f- ftxy -\-^x -\- "^y -+- S = o,
OÙ P et Q sont des constantes déterminées non nulles, a, p, y^ 8 des constantes arbitraires.
236. Voici un exemple des théorèmes relatifs aux angles. Soient F(x, y) = o une courbe fixe d'ordre m et 8 l'angle que fait, avec une direction fixe, O^, la droite OM joignant un point arbitraire O au point M pris sur la courbe. Le point O étant choisi comme origine, on a
ou encore, comme
Y'^dx-\-Y'ydy = o,
L'angle 0 est donc donné par une intégrale abélienne relative à la relation algébrique F (a?, y) = o. Cette intégrale abélienne, étant égale à
arc tang — = —.uoz^ r->
X at ^ y ^ IX
n'a d'autres singularités sur la surface de Riemann que des points singuliers logarithmiques; elle n'a d'ailleurs qu'une période tc.
D'après son expression sous forme finie, cette intégrale est finie en tous les points de la courbe F = o, à distance finie ou infinie, excepté aux points de rencontre de la courbe avec les droites isotropes
Le théorème d'Abel, appliqué à l'intégrale 0 sous la forme du A. ET G, 33.
n° 186, donne alors le théorème suivant, que nous énonçons en adoptant une dénomination due à Laguerre; nous dirons que deux systèmes de droites ont la même orientation si la somme des angles que font les droites d'un des systèmes avec un axe G\e, égale, à un multiple de tt près, la somme des angles que font les droites de l'autre système avec le même axe. Les deux systèmes formés par les droites qui joignent respectivement un même point O aux points où la courbe donnée F = o est traversée par deux courbes C = o et C'= o de même degré, ont même orientation si, parmi les courbes du faisceau C 4- XC'= o, il en est une qui passe par les points de rencontre deF = o avec un cercle de rayon nul de centre O (*). Par exemple, on peut prendre pour C et C deux cercles de centre O.
On obtient des propositions analogues en employant les coordonnées tangentielles. Soient /(w, v)=^o l'équation tangentielle d'une courbe algébrique et 0 l'angle de la tangente
UT -h VJ'-^ i = o
avec Taxe Ox. Ou a
. u ,^ i' r/u — Il dv 0 ^ - arctanj; — , au = : >
^ft uf[,-^vfl du
L'angle 8 est donc encore une intégrale abélienne relative à la relation algébrique y(w, ç^) = o : cette intégrale devient infinie comme un logarithme pour les valeurs de // et v correspondant aux tangentes menées à la courbe par les points circulaires à riiifini Il 4- zV = o et u — fV = o. On en conclut le ihéorème suivant :
Les deux systèmes de tangentes respectivement communes à la courbe f{u, v) = o et à deux courbes algébriques o{u^ v)=zo et ^{u^ v) =: o ont même orientation si, parmi les courbes du faisceau tangentiel cp + Xi = o, il en est une qui touche les tangentes menées à /= o par les points cycliques du plan (-).
Par exemple, les deux systèmes de langcnlcs communrs à une
( ') IluMBEiiT, Journal de MatkématiqueSj 4* série, t. III, p. 35G; 1887. (^) HuMBERT, loc. cit. y p. 358.
APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GKOMËTRIE. 5^3
courbe algébrique et à deux courbes homofocales ont même orientation (*).
237. Terminons enGn par quelques exemples relatifs aux arcs. Soit
l'équation d'une courbe algébrique. L'arc <t de cette courbe est défini [lar
rfcr = yjdx^-.dy^ = /f;? + f;? P .
Gomme -T- est une fonction irrationnelle de x et j^, cr est
donné par une intégrale abélienne relative à une relation algébrique différente de F(x,y) = o. 11 y a exception pour les courbes que Laguerre a appelées courbes de direction (^) et qui
sont caractérisées par cette propriété que y/F^^-f- F'- puisse s'exprimer rationnellement en fonction des coordonnéees x ei y d'un point de la courbe.
Supposons cette condition remplie
alors 0- est une intégrale abélienne relative à la courbe elle-même F = o. La courbe f{x^ y) z=.o est une courbe adjointe, car la fonction y s'annule en tous les points singuliers de F.
En appliquant à l'intégrale o- le théort-me d'Abel, on aura des relations entre les longueurs des arcs de la courbe de direction F = o comptés depuis un point fixe jusqu'aux points où cette courbe est coupée par une courbe variable d'un degré déterminé. Nous nous contenterons d'en indiquer un exemple élégant.
La courbe du sixième ordre, qui a pour équation on coordonnées polaires
r8= a^ ces 30,
est du genre un, comme étant la transformée par rayons vecteurs
(') Laguerre, Comptes rendtis, yduy'ier i865. (») Comptes rendus, t. XCIV, 1882.
réciproques d'une cubique sans point double. Celle courbe est d'ailleurs une courbe de direction, car on a
da
rt'rfO
- rfarclanff — - * ^ X
La différentielle rfo- est donc bien rationnelle en x ely. On vérifie en outre que o- est une intégrale de première espèce; en effet* il suffit de l'exprimer en fonction de /*,
/d^ dr
pour reconnaître qu'elle est partout finie.
Donc, en appelant o-,, 0-2, . • ., '^^n les arcs comptés depuis des points fixes de la courbe jusqu'aux points de rencontre de la
Fig. 91.
courbe donnée avec une courbe algébrique quelconque C,/ d'ordre n, on a
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 525
K désignant une constante indépendante des coefficients de C« (* ). Par exemple, un cercle passant par l'origine coupe la courbe considérée en douze points dont six à Tinfini aux points cycliques, trois à l'origine; il en reste donc trois variables seulement A, B, C; les trois arcs OA, OB, OC comptés à partir de l'origine dans un même sens de circulation sur la courbe ont donc une somme constante quand le cercle varie, et cette constante est nulle, car la somme s'annule évidemment avec le rayon du cercle. On a donc en valeur absolue, en supposant que OA est le plus
grand des arcs,
arcOA = arcOB -f- arc OC.
L'arc de cette courbe a déjà été étudié par M. M. Roberts {Journal de Mathématiques, t. XII).
238. Le théorème d'Abel appliqué aux courbées gauches coupées par des surfaces algébriques permet également d'étudier les groupes de points sur ces courbes. Par exemple, une biquadralique gauche sans point double effectif est du genre un. En appelant u l'intégrale elliptique attachée à la courbe, on a, pour les quatre points d'intersection de la courbe avec un plan, une relation de la forme
(3") Mi-H Mj -h «3-1- /^v~ C H- mti) -T- //l'w',
m et m' étant des entiers, w et w' les périodes de u. La théorie de ces courbes est alors analogue à celle des cubiques sans point singulier.
Si Ton prend, sur la biquadratique, deux points variables M| et M2, assujettis à la condition
Mi -+- a,= A-f- /nti) -H /n'w',
où A est une constante arbitraire, la droite M i M2 engendre une quadrique passant parla courbe. D'après (Sy), les génératrices de
(*) HuMBEUT, Journal de Mathématiques, /(" série, l. III, p. Sg^; 1H87.
