IV

V (no, on) (111,111)

VI (110,101) (iii,oot)

Les huit points de contact de deux quelconques de ces couples sont sur une conique; en effet, les quatre points de contact de chaque couple vérifient des relations de la forme (25). En ajoutant, membre à membre, les relations correspondantes pour les deux couples, on obtient précisément des relations de la forme (11), qui expriment que huit points sont sur une conique.

233. Nous venons de supposer que la courbe du quatrième ordre n'a pas de points doubles. Si elle acquiert des points doubles ou des points de rebroussement, le nombre des tangentes doubles diminue, conformément aux formules de Pliicker. On pourra encore étudier le nombre et la disposition de ces tangentes à l'aide des relations fournies par le théorème d'Abel.

Pour ne pas rendre cette étude trop longue, nous nous bornerons à examiner en détail le cas 011 la courbe admet trois points doubles à tangentes distinctes.

Nous avons trouvé (n° 231) les conditions nécessaires et suffisantes pour que quatre points /|, ^,, ^3, /« de la quartique unîcursale soient en ligne droite. Ces relations peuvent s'écrire

(^8) (7^l;x7(7^--"MT^-"^7)T^ (^-<,^-.^),

cj désignant la constante e^^. Les constantes C|, Ca, C3 se déterminent de la façon suivante. Considérons la droite joignant les A. ET G. 33

5l4 CHAPITRE XII.

deux points doubles («21 ^s) et («3, 65). Cette droite coupe la courbe aux quatre points

Exprimant que la première des relations (28) est vériGée par ces valeurs de /|, t2, ^3, /.», on a

(at — ai)(bi'-ai)(ai — ai)(bi~-ai) ' (at-b,){b^-b,)(a,-bi){b,^- b^)'.

De même, on a

(^3 — ^0(^8 ~a2)(ai—ai)(bt—at) * {ai — bi){bi--bi)(ai-bt){bi - 6,)'

cj =

cî =

(ai — aaX^i -QsXg» — q3)(^> — «.i) ' ~ (ai — 63) (6, — 63 ) (a, - 63) (6, — 63) '

On tire de là deux déterminations pour chacune des constantes Ci y C2, C3 : nous les choisirons comme il suit. Formant le produit ^ÎC2^3 7 oïï trouve un carré parfait dans le deuxième membre; nous extrairons les racines et nous prendrons

(a, — aj)(a, — as)(a3 — ai) ^■'»^ '"''"^'=(6.-6,)(A,- ^)(6,-6,)'

Ceci posé, arrivons au problème des tangentes doubles. Soient t et l' les paramètres des deux points de contact : on aura dans (28)

. ti= ti~ ty ti— ti, — t\ d'où, en extrayant les racines,

où e^k = ± I . On a ainsi trois relations pour déterminer / et ^; ces relations se réduisent forcément à deux, par exemple aux deux premières. Une fois £| et £2 choisis, on trouve un seul système de valeurs pour t et /', c'est-à-dire une tangente double. Comme ei == it I , £2 = =t I , on peut associer ces valeurs de quatre façons différentes : on trouve donc quatre tangentes doubles.

Une fois ei et £2 choisis, £3 est déterminé : pour le voir on peut employer la méthode élémentaire suivante, due à Clebsch ; chassons

APPLICATIONS DU THÉORÈME D'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l5

les dénominateurs dans les relations (3o); elles prennent la forme

(3i) al — tkCA-bl — (t -r- t'){a/i. -- ZkCklfk) -r- 1 1' (i — tkCk) = o.

Ces équations linéaires en t-^deitt' devant être compatibles, on a la condition

— txCib\

£jC,6|

aj — ejC2 6j

l âsCî

— EaCj^J

I— ejCa

Cette condition, ordonnée par rapport à Ci, £2? ^z^ est de la forme

{3i bis)

\ A-h B|S| -h BjSj -{- Ba£3-+-C|Êje3 -r- Q>it^t\

-+- CsEjEj -H D£i£2£3 = O.

Les coefficients se calculent immédiatement par le développement du déterminant. Ainsi

a\ «i I a\ cil I a\ aj I

= (^s — «i)(«3 — as)(ai — «3),

— (^î — 6l)(^3 — ^2)(^l — ^3)CiCjC3, b\ bx l \

Cx = — {bi — ai){bi — a^){ai— az) cx ... ,

— a\ Ut \

a\ ai 1

a| ax I 6î 6, I

C,C3 = — (ai — 6,)(ai — ^3)(^2— ^8)CjC3

D'après la relation (29), on a donc

On trouve de même

Cj — — Bj, C3 = — Bj,

En remarquant que

El — ÊjEj = Et(| — EiEjE,),

5l6 CHAPITRE XII.

on peut écrire la relation (3i)

(A -I- BiSi -^- BîSj -j- B3e3)(i — e|ej£3)c=o.

Le premier facteur n'est pas nul si (ai,6|), («2^62) (^3? ^s ) sont quelconques; on a donc

ce qui détermine £3, une fois Ci et £2 choisis égaux à ±: i.

Comme conséquence de cette détermination, nous démontrerons que les huit points de contact des quatre tangentes doubles sont sur une conique. En eflet, supposons écrites les relations (3o) pour les quatre tangentes doubles; en appelant (^1, t\),

(^27 ^o)? (^3' '3)' ('*î ^1) '^^ valeurs de t correspondant aux points de contact des quatre tangentes doubles, on aura, en multipliant membre à membre les relations (3o) correspondantes,

car, £)fc ayant deux fois la valeur — 1, le produit des seconds membres est cjj ou e*''*, car nous avons posé cl = e^^. Les relations (33) sont celles qui expriment que huit points de la quartique appartiennent à une conique (n''231). Le théorème est donc démontré.

On pourra vérifier la proposition suivante ; Parmi les sept systèmes de coniques quadruplement tangentes définies par les équations (21), les trois systèmes obtenus en assujettissant /? 1 H- Wj -f- /ij à être pair contiennent chacun deux paires de tangentes doubles; les quatre autres systèmes obtenus en assujettissant ai, 4- ^2 -i- /Î3 à être impair ne contiennent pas de tangentes doubles.

Si la quartique a des points de rebroussement, le nombre des tangentes doubles est moindre. 11 faudrait alors remplacer

t—ak 1 log par ,

oLff désignant le paramètre du point de rebroussement.

iPPLrCATIONS DU TilBtlHÉME b'.tEIGL A L^ liKOBI t TB 1 1^. Si?

234. Les cas particuliers que nous avoas Lraités moaLrenl Komment le ihéorème d'/Vbel donne les condJliotis nécessaires et Ulufiisan tes pour qu'un sjstème de points situés sur une courbe Sdonnée d'ordre m soit le système complet des points d'intersection e cette courbe avec une courbe d'un degr^ donne. Si la courbe 'a pas de points doubles, tes conditions seront exprimées à l'aide 'intégrales de première esprce. S'il y a des points doubles, il .ul employer, en outre, des intégrales de troisième espèce devenant iuGaies respectivement aux points superposés aus points doubles. S'il y a des rebroussements, ces intégrales de troisième espèce sont remplacées par des intégrales de deuxième espèce ayant trespectivemcnt les points de rebroussement comme pôles du prer ordre. Quand la courbe sécante passe par des points doubles Bpu de rebroussement, les relations qui contiennent les intégrales ■correspondantes disparaissent. Enlîn, si le degré de la courbe lëcante est inférieur ou égal km — 3, les relations fournies par |le théorème d'Abel de la façon que nous venons d'indiquer ne sont 'pas toutes distinctes.

233. Dans les applications précédentes, nous avons cherché Kles conditions nécessaires et suffisantes pour que ms points, pris f Bur la courbe d'ordre m, appartiennent à une courbe quelconque d'ordre s qui n'est assujettie à aucune condition. Le théorème d'Abel se prête aussi à l'étude des groupes de points d'intersection d'une courbe donnée avec des courbes d'ordre s assuà passer par des points fixes donnés pris en debors de cette lourbe.

Prenons, par exemple, une cubique plane sans point double et

Ecoupi

Irsur la cubique. U

■ points M, , Ma, Ma;

des droites passant par u

nt fi)[.

silné

de ces droites coupe la courbe en trois de ces points étant choisi arbitrairement, les deux autres sont déterminés : il y a donc deux relations distinctes entre les trois points analytiques M,, Mj, M». Nous les endrons comme il suit : d'abord en appelant et l'intégrale de première espèce attachée à la cubique, et u,, Ut, H] les valeurs de lelte intégrale aux points M, , Mï, M» , on a la relation déjà indiquée

5l8 CHAPITRE XII.

qui exprime que les trois points sont en ligne droite. Menons ensuite par A une sécante déterminée ANiNjNs et appelons Ts{x,y) rintégrale de troisième espèce ayant pour points singuliers logarithmiques les points N|, N,. La somme mi +^2-4-^3 des trois valeurs de w aux points M» , Mo, M3, où une droite variable y = o, passant par A, coupe la courbe, est constante. En effet, soit W= o une seconde droite, passant par A; la somme tîJi -f- tîJ2 4- ^s est la même pour les deux droites /= o et ^= o, car, dans le faisceau /-\- [jlW = o, il y a une droite passant par les points critiques logarithmiques de l'intégrale m, à savoir la droite ANiN^Nj (n° 185). On a donc une nouvelle relation

(35) cTiH- TSTj-f- cr3= Q H- siXTrf -4- mû-h m'ii',

Q et û' étant les périodes de t3 correspondant aux mêmes coupures que 0) et w' pour u.

Voici un deuxième exemple.

Soient une conique fixe F (a:, y) = o et (Jeux points fixes A et B non situés sur la courbe. Une conique quelconque passant par A et B coupe F = o en quatre points dont trois peuvent être choisis arbitrairement; il y a donc une relation entre ces quatre points : cette relation est fournie par le théorème d'Abel. Soient Ni et No les deux points fixes où la droite AB coupe la conique ; formons l'intégrale de troisième espèce ny(j;,j>^), relative à F(j:,j^)= o, admettant comme points singuliers logarithmiques les deux points Ni et N2.

La somme tïT| -f- t;t2 4- TÏT3-I-TÏT4 des quatre valeurs que prend xs aux quatre points d'intersection de F^=o avec une conique /=o passant par les deux points A et B reste constante quand cette conique varie. En effet, si Ton considère une deuxième conique ^1 = 0 passant par les points A et B, la somme tïT| -4- ^2 -\- rn^ 4- tst, est la même pour les points d'intersection de F = o avec les deux coniques /= o et <]> = o, car, dans le faisceau /-{- jjl^ = o, il se trouve une conique passant par N| et N2. Si Ton exprime les cooordonnécs d'un point de la conique F =:r o en fonction rationnelle d'un paramètre t, et si Ton appelle a el b les valeurs de / correspondant aux points fixes N| el N2, on a

xs = Loc y •

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBBL A LA GEOMETRIE. SlQ

La relation entre les valeurs /|, ^2, ^3, t^ du paramètre t aux quatre points d'intersection de F = o avec une conique variable passant par A et B est donc de la forme

OÙ K est une constante qui sera déterminée dès qu'on connaîtra les points d'intersection de F = o avec une conique particulière passant par A et B.

Ainsi, coupons l'ellipse -^ H- ^ — i^— o par des cercles, c'està-dire des coniques passant par les deux points circulaires à l'infini A et B. On peut exprimer les coordonnées d'un point de l'ellipse, en posant

X = a CCS 9 = a > y = bsiUQ = b r >

t = tang ^»

La droite de l'infini AB coupe l'ellipse en deux points N| et JN2

correspondant aux valeurs t = ^ — i et t ^-^ — y — i. L'intégrale

de troisième espèce avec ces deux points singuliers logarithmiques

est

' idt

. r' idt

c'est-à-dire m 1= «cp. Soient alors ©4, '^2> Ça? f4 les valeurs de o correspondant à quatre points de l'ellipse situés sur un cercle; comme la somme des valeurs de l'intégrale m en ces quatre points est constante, on a

où C est une constante et n un entier. Le cercle liomographique de l'ellipse lui est bitangent aux deux sommets : pour ce cercle particulier, on a

La constante C est donc nulle et on a

235. On obtient encore des théorèmes de Géométrie d'un énoncé souvent très élégant en appliquant le théorème d'Abel à des intégrales abéliennes qui ont une signifîcation géométrique, par exemple à des intégrales abéliennes représentant des aires, des arcsy des distances, des angles, etc.

Pour donner une idée de ce genre de théorèmes, prenons une courbe d'ordre /??, F(^,y) ^^ o, avec m directions asymptotiques distinctes. L'aire d'un secteur de cette courbe compté autour du point O, dont le choix est arbitraire, est

S = I X dy — y dx — xy — ">■ 1 y dx.

C'est une intégrale abélienne relative à la courbe. Cette intégrale devient infinie seulement à l'infini; pour voir comment elle devient infinie, remarquons que pour une des branches infinies, on a, X étant très grand,

Donc

ax -f- 6 4- —

S — k -h c — bx -f- c loi'x -\ —

L'intégrale S devient donc infinie avec x parce qu'elle contient le terme bx qui devient infini du premier ordre et le terme logo:.

Coupons alors la courbe F = o par une courbe variable /^=^ o d'ordre s, assujettie à avoir ses directions asymptotiques fixes et distinctes des directions asymptotiques de F = o. La somme

(36) Si -" Sj-— . . . H- S,/i^

des aires des secteurs S limités aux points d'intersection de F et/* est constante. En effet, si tj; rrr o est une deuxième courbe d'ordre s ajanl mêmes directions asymptotiques que y=o, parmi les courbes du faisceau y -|- [jnj> r=: o il s'en trouve une formée de la droite de l'infini et d'une courbe d'ordre s — i ; comme cette courbe passe par les points où l'intégrale S devient infinie, la somme (36) a la même valeur pour les deux courbes/ cl A (n° 186). (^uand le degré de/=o égale ou surpasse celui dcF=o, on peut