STAT

UBRARY

PREFACE

Le Mémoire de Piiiseux suivies fonctions algébriques, publié en i854, a ouvert le champ de recherches qui a conduit aux grandes découvertes mathématiques de notre époque. Ces découvertes ont donné à la science du Calcul des principes nécessaires et féconds qui, jusqu'alors, lui avaient manqué ; elles ont remplacé la notion de fonction, restée obscure et incomplète, par une conception précise qui a transformé l'Analyse en lui donnant de nouvelles bases. Puiseux a le premier mis en complète lumière l'insuffisance et le défaut de ce point de vue où l'on se représentait, à l'image des polynômes et des fractions rationnelles, les irrationnelles algébriques et toutes les quantités en nombre infini qui ont leur origine dans le Calcul intégral. En suivant la voie de Cauchj, en considérant la succession des valeurs imaginaires, les chemins décrits simultanément par la variable et les racines d'une équation, l'éminent géomètre a fait connaître, dans ses caractères essentiels, leur nature analytique. Il a découvert le rôle des points critiques, et les circonstances de l'échange des valeurs initiales des racines, lorsque la variable revient à son point de départ, en décrivant un contour fermé comprenant un ou plusieurs de ces points. Il a poursuivi les conséquences de ces résultats dans l'étude des intégrales de différentielles algébriques. Il a reconnu que les

PREFACE

divers chemins d'intégration donnent naissance à des déterminations multiples, ce qui Ta conduit à l'origine, jusqu'alors restée entièrement cachée, de la périodicité des fonctions circulaires, des fonctions elliptiques, des transcendantes à plusieurs variables définies par Jacobi comme fonctions inverses des intégrales hyperelliptiques.

Aux travaux de Puiseux succèdent, en 1867, ceux de Riemann accueillis par une admiration unanime, comme l'événement le plus considérable dans l'Analyse de notre temps. C'est à l'exposition de l'œuvre du grand géomètre, des recherches et des découvertes auxquelles elle a donné lieu qu'est consacré cet Ouvrage.

Une conception singulièrement originale leur sert de fondement, celle des surfaces auxquelles est attaché le nom de l'inventeur, formées de plans superposés, en nombre égal au degré d'une équation algébrique, et reliés par des lignes de passage, qu'on obtient en joignant d'une certaine manière les points critiques. L'établissement de ces lignes est une première question de grande importance, rendue depuis beaucoup plus simple et plus facile par un beau théorème de M. Lu roth. S'offre ensuite la notion des surfaces connexes, de leurs ordres de connexion, les théorèmes sur l'abaissement par des coupures des ordres de connexion, puis la formation du système canonique des coupures qui ramènent la surface à être simplement connexe. De ces considérations profondes et délicates résulte une représentation géométrique, qui est un instrument de la plus grande puissance pour l'étude des fonctions algébriques. 11 serait trop long de rappeler toutes les découvertes portant l'empreinte du plus grand génie mathématique, auxquelles elle conduit Riemann; j'en indiquerai seulement quelques-unes.

Longte'mps avant les travaux de Puiseux, les points critiques s'étaient offerts dans la théorie des courbes algébriques, leur nombre déterminant la classe, ou bien le degré de l'équation

PREFACE. C

de la polaire réciproque. On avait reconnu que la classe d'une courbe s'abaisse lorsqu'elle a des points multiples et qu'alors des points d'inflexion disparaissent, mais ces résultats si intéressants restaient dans le domaine de la Géométrie. Riemann joint la Géométrie à l'Analyse, en leur donnant une notion nouvelle et féconde, celle des substitutions oii les coordonnées s'expriment en fonctions rationnelles de deux variables, ces variables étant aussi des, fonctions rationnelles des coordonnées. Tantôt on a égard à l'équation de la courbe, on les nomme alors substitutions birationnelles ; tantôt on en fait abstraction, on les appelle dans ce cas substitutions de Cremona, pour rappeler les beaux travaux que leur a consacrés l'illustre géomètre. Les équations en nombre infini qui se déduisent de l'une d'elles par ces transformations sont regardées comme équivalentes, leur ensemble forme une classe, et elles ont toutes un élément commun ayant le rôle d'invariant. C'est un nombre entier que Riemann nomme le geni^e àe la courbe et désigne par/?; il est lié au nombre des points critiques n, et au degré m, par l'égalité 71=^ 2(771 -î- p — i).

La conception de classe des équations algébriques, celle du genre et la relation qu'on vient de donner comptent parmi ses plus mémorables découvertes; elles ont conduit à ce résultat imprévu, que les points multiples, qu'on n'avait encore considérés qu'en Géométrie, ont en Analyse un rôle capital, comme éléments caractéristiques des propriétés fondamentales des fonctions algébriques. On a, en effet, ce beau théorème que les équations d'une même classe se ramènent à une équation normale de degré p -\- 2, ayant un nombre de points doubles égal à ^p(p — i)* ^^ prenant l'énoncé sous la forme simple qui est due à ^L Nôther, et où n'entrent que des points doubles à tangentes séparées, j'en rappelle quelques conséquences.

Supposons que p soit nul, l'équation normale est du second degré, ses coordonnées sont des fonctions rationnelles d'un para-

PREFACE

mèlre : il en est donc de même pour tontes les courbes du genre zéro, qui ont le plus grand nombre possible de points doubles pour nn degré donné. Ce sont les courbes antérieurement étudiées par M. Gajlej, et auxquelles l'illustre géomètre a donné le nom, généralement adopté, (ï anicursales. Supposons ensuite p = i et /? = 2, ce nombre maximum sera successivement diminué d'une ou de deux: unités; il faudra alors s'adjoindre la racine carrée d'un polynôme du quatrième ou du sixième degré par rapport à la variable auxiliaire. Les expressions obtenues par cette voie s'appliquent d'abord à l'intégration des fonctions algébriques de genre />, c'est-à-dire de fonctions rationnelles de la variable et de la racine d'une équation de ce genre. Pour/? = o, ces quantités s'obtiennent sous forme finie; poury^rmi^ elles se ramènent aux intégrales elliptiques; on voit ainsi quelle extension prend la méthode fondée sur l'emploi des substitutions, dont l'usage était auparavant si restreint. Mais c'est dans un autre ordre de question, dans le théorème d'Abel tout d'abord, que la notion du genre se montre avec toute sa portée et sa puissance.

Abel avait fait la découverte capitale qu'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales à limites arbitraires, de la même fonction algébrique, s'exprime par un nombre fixe d'intégrales semblables auxquelles s'ajoute une quantité algébrique et logarithmique.

Riemann établit que ce nombre est le genre de la fonction; il complète ainsi l'œuvre d'Abel et donne à son théorème sa forme définitive par un énoncé d'une simplicité frappante. En même temps, et au moyen de considérations géométriques, il parvient à la définition des intégrales de première, de seconde et de troisième espèce, sous un point de vue entièrement nouveau, qui n'est plus celui de la théorie des fonctions elliptiques, et démontre qu'il existe p intégrales de première espèce et p intégrales de seconde espèce, linéairement indépendantes. On sait que ce mé-

PREFACE

morable théorème d'Abel a ouvert, avec la théorie des fonctions elliptiques, le champ de l'Analyse moderne. Jacobi lui découvre, comme il le dit, son véritable sens, en généralisantJe problème de l'inversion de l'intégrale elliptique, et définissant les fonctions de plusieurs variables à périodicité multiple qui ont un théorème d'addition comme les fonctions elliptiques. Gopel et Rosenhain résolvent les premiers la question de l'inversion dans le cas de l'intégrale hyperelliptique du premier ordre; M. Weierstrass ensuite la traite pour les intégTales d'ordre quelconque, et obtient l'expression générale des nouvelles transcendantes. Les découvertes de l'illustre analyste dans une question hérissée des difficultés ardues propres aux fonctions de plusieurs variables , se placent parmi les plus importantes et les plus belles qui aient été faites en Analyse. A ses travaux succèdent ceux de Riemann : le problème de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques est alors traité dans toute sa généralité, et ce sont de nouveau les fonctions holomorphes à un nombre quelconque de variables, analogues à la transcendante 0 de Jacobi, qui en donnent la solution. Mais le grand géomètre part d'autres principes et suit la voie qui lui est propre ; il emploie la marche de la variable sur la surface formée de plans multiples superposés, les lignes de passage entre ces plans, le système des coupures par lesquelles elle est rendue simplement connexe; il tire de ses méthodes originales et profondes d'admirables découvertes.

Les auteurs de ce Livre ont eu pour but d'enseigner ces découvertes : ils se sont proposé d'ouvrir un accès facile aux considérations nouvelles qui en sont le principe; ils se sont attachés à donner des explications détaillées sur la construction des surfaces de Riemann, sur la notion de connexion, à familiariser avec l'emploi des coupures, qui ont remplacé les lacets de Puiseux, dans l'intégration des fonctions algébriques.

Les plus simples de ces fonctions, qui dépendent de la racine

f PRÉFACE.

carrée d'un poljnome, et la surface à deux feuillets correspondan à cette racine sont considérées en premier lieu; leur étude sert d préparation aux théories générales. En suivant cette marche e commençant par un cas particulier, on demande moins d'effort pour acquérir l'intelligence de méthodes abstraites et délicates et la difficulté est diminuée pour les aborder ensuite dans tout leur étendue. Dès le début, la notion du genre est donnée sou le point de vue entièrement élémentaire où s'est placé M. Weier strass ; la relation simple entre le genre et le nombre des ligne de passage s'off*re alors comme d'elle-même ; puis le théorème qu sur cette surface les fonctions algébriques considérées sont uni formes avec des discontinuités polaires en nombre fini, et sa récî proque qui est du plus haut intérêt; enfin, en passant de FAlgèbr au Calcul intégral, la définition et les caractères essentiels des inté grales hyperelliptiques des trois espèces. Les mémorables décou vertes de Riemann sur ces quantités sont exposées en détail, elle montrent avec éclat la puissance des méthodes qu'il a introduite dans l'Analyse.

Le but essentiel de cet Ouvrage est donc d'initier à ces création du génie, en exposant avec clarté les questions complexes de con nexion, la transformation par des coupures de la surface à deu: feuillets en surface simplement connexe, le rôle des coupure comme lignes de discontinuité, cette discontinuité donnant un origine nouvelle aux périodes de Puiseux, nommées modules d périodicité de V intégrale, enfin les relations entre ces module sur lesquelles se fonde la solution du problème de l'inversion e la définition des intégrales normales. Cette étude des intégrale hyperelliptiques, où se succèdent tant d'idées profondes etfécondes tant de beaux et importants résultats, est l'enseignement d'u] nouvel Art analytique qui se poursuit dans un ordre de question plus élevées où l'on considère les fonctions algébriques sous 1 point de vue le plus général. La voie a été éclairée d'avance e

PREFACE. g

s'ouvre plus facile pour le lecteur; il retrouvera sous un jour plus étendu les mêmes recherches, et l'originalité de la méthode ne sera plus un aussi grand obstacle. Il acquerra aussi la connaissance des recherches récentes, des beaux travaux auxquels s'attachent les noms illustres de Klein, de Glebsch et Gordan, de Brill et Ncither, de Luroth, d'autres encore, qui ont ajouté aux découvertes de Riemann et les ont complétées dans des points essentiels.

Un de ces points consiste à ramener, par une transformation birationnelle, une courbe algébrique, quels que soient ses points multiples, à une autre n'ayant que des points doubles, à tangentes distinctes. Il est traité, d'après une indication recueillie d'Halphen, avec les développements que demande son importance. La recherche des intégrales hyperelliptiques s'exprimant sous forme logarithmique, qui a été aussi le sujet des travaux d'Halphen et de M. Picard, les applications àla Géométrie du théorème d'Abel, si fécondes et si intéressantes, celles qui concernent spécialement les quartiques planes, bien d'autres encore que je ne puis signaler, appellent l'attention du lecteur.

Ge Livre rendra un grand et signalé service aux élèves des Facultés des Sciences, aux jeunes géomètres auxquels il s'adresse, en leur donnant, sans trop d'efforts, la claire vue, l'intelligence complète de l'œuvre mathématique la plus belle de notre époque par la puissance de l'invention. Il les conviera à s'en inspirer et à suivre la trace des auteurs, M. Appell, M. Goursat, et de tant d'autres disciples de Riemann, dont les travaux, qui occupent une place considérable dans l'Analjse de notre époque, sont une application directe et immédiate des méthodes du grand géomètre.