DES

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS (i).

Relations

u^' ==z, M»=r A(5-e,) {z— e.J {z-ej {z-ej, i^.= A(5-e,) {z~-ej ... (^ -e„).

— F'onctions uniformes sur une surface de Riemann : zéros, points singuliers, pôles, ordres. — Fonctions rationnelles de -c et m : propriétés caractéristiques.

— Genre.

1. Nous consacrons ce Chapitre à l'étude des surfaces de Rie-mann correspondant à une relation de la forme

et à la théorie des fonctions uniformes sur ces surfaces. Pour bien faire comprendre la méthode, nous commençons par deux cas particuliers très simples.

Considérons d'abord la relation algébrique

entre la fonction u et la variable z.

(') Ouvrages à consulter : Riem.\^^, Inaugural dissertation; Neumann, Théorie der Abel'schen Intégrale.

A chaque valeur de z

^ = p(cos6 + t sin6)

correspondent deux valeurs de ii égales et de signes contraires

i/ 0 . . 0 Ml = p'^ I cos — h i sin-

= pi[cos(i

Ui-\- U2= O.

Si le point z décrit une courbe fermée, G n'entourant pas l'ori- ;ine, l'argument de z part d'une certaine valeur Ô et revient à cette

Fig. I.

même valeur : chacune des déterminations Ui et 112, suivie par continuité, reprend sa valeur initiale quand le point z reprend sa position initiale.

Si le point z décrit une courbe fermée C entourant une fois l'origine, l'argument 9 de ^ part d'une certaine valeur initiale et reprend cette valeur augmentée ou diminuée de 2 7r, suivant le

sens dans lequel la courbe est décrite; l'argument - revient donc

à la valeur primitive augmentée ou diminuée de tt; la détermination u^ suivie par continuité prend la valeur u.2, quand le point z revient à son point de départ; inversement u^. prend la valeur u^. Donc les deux déterminations de a se permutent quand z tourne une jois autour de l'origine. D'une manière générale, si le point z revient au point de départ après avoir tourné nfois autour de l'origine, les déterminations u^ et u^ reprennent leurs valeurs initiales ou se permutent suivant que n est pair ou impair.

Les deux déterminations ?/, et U2 ne sont donc pas fonctions uniformes de z dans le plan indéfini des z', mais, dans toute région à contoiw simple ne contenant pas Forigine, elles sont des fonctions analytiques uniformes de z.

2. En suivant la méthode générale donnée par Riemann, on peut remplacer le plan simple, sur lequel u n'est pas une fonction uniforme de z^ par deux feuillets indéfinis superposés dont l'ensemble constitue une surface unique, sur laquelle la fonction u devient uniforme, et qu'on nomme surface de Riemann.

Prenons deux plans V^ et Po limités chacun par un cercle de rayon R aussi grand qu'on le veut, ayant pour centre l'origine O d'un système d'axes Ox et Ojk; puis découpons dans chacun de ces plans une petite ouverture rectiligne suivant le ravon Ox^ aibiOcidi dans le premier, «2^20006^2 dans le deuxième, ces ouvertures ayant une largeur infiniment petite : nous obtiendrons les deux feuillets séparés représentés dans la fig. 2.

Fis:. 2.

Si l'on part d'un point Zq du premier plan avec la détermination u^^ de la fonction w, cette détermination, suivie par continuité, est une fonction uniforme de u sur le plan ou feuillet P^, car, à cause de la bande découpée a^b^Oc^d^, la variable ^ ne peut pas tourner autour de O ; de même, la détermination Uo est uniforme sur le plan Po. Nous imaginerons qu'en chaque points du plan P, on inscrive la valeur de la détermination «, ainsi obtenue par continuité et en chaque point z du plan P2 la valeur de la détermination Wo.

Il est utile de remarquer que les valeurs de la détermination Ui aux points situés en face l'un de l'aulre sur les bords opposés de

l'ouverture a^b^c^d^ sont égales et de signes contraires. Ainsi, en appelant i^<(^,) et ?/, (ci ) les valeurs de u^ aux points 61 et c< situés en face l'un de l'autre, on a

i^i(^i) = — ai ( Cl).

En effet, partons de bs avec la détermination ii^ (6,) inscrite en ce point : si la variable :; décrivait le contour ^i EF^, entourant O et revenait en ^,, la valeur finale de a serait — u^{b^); mais z ne peut pas revenir en b^ à cause de l'ouverture a^b^c^d^\ le point z doit s'arrêter au point c^ sur le bord de cette ouverture en face de 6, . Comme l'ouverture a une largeur infiniment petite, la valeur u^{c^) trouvée en c, est infiniment peu dilTérente de celle qu'on trouverait en b^ en achevant le tour; on a donc

De même, sur le plan Po, on a

Gomme les valeurs de u^ et u-, correspondant à une même valeur de z sont égales et de signes contraires, on a enfin

ai(ci) = — u^[c.2)= ihib^).

Nous avons ainsi obtenu, sur deux feuillets entièrement séparés, le tableau complet des différentes déterminations de u. Riemann réunit ces deux feuillets en une surface unique par le procédé suivant : Plaçons le feuillet P, au-dessus de P2, réunissons par une bande de surface les deux bords a, b^ et d2C.2', puis par une autre bande de surface traversant la première les deux bords «2 ^2 et d^ Ci . Nous obtiendrons ainsi une surface unique composée de deux nappes planes qui se traversent suivant une ligne double ou ligne de passage dirigée suivant un rayon. Pour se représenter cette surface, on n'a qu'à imaginer les deux feuillets placés à une certaine distance l'un au-dessus de l'autre. On peut imaginer, par exemple, que les bords O^i^i etOc2<^2 (fig- ^) sont raccordés par une portion de surface engendrée par une droite parallèle aux plans P, et Po s'appujant sur les deux directrices rectilignes 00, O

et «1 c/o ; de même O c, 6^, ei Ob.ao sont raccordés par une bande de surface engendrée par une droite parallèle aux deux plans s'appujant sur 00,0 et dta-2- Ces deux surfaces de raccord ont la génératrice commune O, L suivant laquelle elles se traversent, et qu'on appelle ligne de passage d'un feuillet dans l'autre.

Fis. 3.

On voit, sur la figure, qu'on peut passer du point [z^U\) du feuillet supérieur au point (^, u-^) du feuillet inférieur, en suivant le chemin continu

{z, a,) aj3Y0£(^, u,)

qui fait un tour autour de l'axe 00, O; inversement, on peut remonter du point (:;, 11.2) au point (3, w,) en suivant le même chemin en sens contraire, ou en prenant le chemin

(::, z.,)a'3'YoV(::,«0.

De telle sorte que le chemin total formé de ces deux chemins placés à la suite Fun de l'autre

(5, wi) «3703 (j, Ui)ci."~^'Y^'i {z, Ui)

ramène du point (;,«,) à ce même point après deux tours autour de l'axe 00,0. La continuité de u est assurée quand on passe d'un feuillet dans l'autre parce t'ait que la valeur de «, en un point du bord 06, «, dans P, est égale à la valeur de 11-2 au bord opposé

Oc2^2 dans Po, et que ces deux bords sont précisément ceux qu'on a réunis ; il en est de même des deux autres bords Oc, d^ et

Nous ferons cette convention que les points des deux feuillets appartenant à la ligne de passage O, L sonl absolument distincts ; de sorte que, par convention, le chemin ypa (^, «, ) s'oV, quoique partant du point y de la ligne de passage et revenant à ce point, ne constitue pas un chemin fermé, car le premier élément de ce chemin est dans l'une des nappes qui se croisent suivant O) L et le dernier élément dans l'autre. En vertu de cette même convention, les deux chemins (i) et (2) n'ont pas de point commun en y. En général, deux chemins aboutissant en un même point de la ligne de passage ne seront considérés comme se coupant sur cette ligne que si leurs deux éléments aboutissant en ce point sont situés sur une même nappe. Cette convention est spéciale à la ligne de passage : diinû un chemin partant d'un point de l'axe 00, O et aboutissant en ce même point est toujours un chemin fermé.

La figure précédente est une figure dans l'espace : en réalité, on suppose les deux feuillets P, et P2 infiniment près l'un de l'autre, et l'on représente la projection de la figure sur le plan P2 telle que la verrait un observateur placé à une grande distance au-dessus du plan P,. De plus, on ne figure pas les lignes 0 6, a,, Oc, <i,, ..., qui ne jouent plus aucun rôle. Les deux plans apparaissent alors comme superposés : la ligne de passage se projette en OL. On convient de tracer en traits pleins les chemins situés dans le feuillet supérieur et en traits pointillés les chemins situés dans le feuillet inférieur : ces derniers points étant invisibles pour l'observateur placé au-dessus du plan P, . Par exemple, les chemins précédents (i) et (2) sont représentés par les tracés ci-dessous ifih' 4) • la partie {z, u^ ) aSy étant dans le feuillet supérieur est en trait plein; on traverse ensuite la ligne de passage, on passe dans le feuillet inférieur, et l'on a la partie yûc (^, «2) en pointillé, conduisant au point (^, u^) du feuillet inférieur. En continuant à tourner dans le même sens à partir de (^, u.>)^ on suit le chemin {z^ lu) (a'P'y), dans le feuillet inférieur, puis yo's' {z, ii^) dans le feuillet supérieur.

3. Pour désigner un point de la surface de Riemann, au lieu d

dire qu'il se projette en z et qu'il est dans le feuillet supérieur ou le feuillet inférieur, on dit souvent le point (^, u^) ou le point (;, U2) en indiquant à côté de la variable indépendante z celle des déterminations que l'on prend pour w, ce qui revient à indiquer

Fig. 4.

le leuillet dans lequel on place le point ;:. On appelle point analytique {z,u) l'ensemble d'une valeur de z et de l'une des déterminations correspondantes de la fonction u. D'après cela, à chaque point analytique correspond un point unique de la surface de Riemann et réciproquement.

En particulier, à chaque point y de la ligne de passage correspond un point analytique qui est différent suivant que ce point y est considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre des feuillets qui se croisent suivant OL ; c'est ce que nous avons expliqué plus haut en détail. Au point O lui-même les deux feuillets se réunissent; pour ^ = o, les deux points analytiques {z, u^) {z, U2) se réunissent en un seul (o, o). Ce point se nomme point de ramification de la surface de Riemann.

Gomme le rayon R est aussi grand qu'on le veut, les considérations précédentes s'étendent à tout le plan des ^, qui se trouve ainsi recouvert de deux feuillets indéfinis soudés l'un à Tautre le long d'une ligne de passage OL indéfinie dans le sens OL.

4. Pour étudier la fonction u à l'infini, on pose ^ = -, et Ton est ramené à étudier la fonction

dans le voisinage de ^' = o. A chaque valeur de V {fig. 5) correspondent deux valeurs u^ et u^ de u égales et de signes contraires. Ces deux déterminations, suivies par continuité, repren-

Fis.

nent les mêmes valeurs quand i;' revient au même point sans avoir tourné autour de l'origine O' ou après avoir tourné un nombre pair de fois autour de O'; elles se permutent, au contraire, quand z^ tourne un nombre impair de fois autour de O'.

C'est ce que l'on voit immédiatement, comme ci-dessus, pour le point ^ = o (n" 1). On pourra donc remplacer le plan simple ^'O'jk', sur lequel la fonction u de z^ n'est pas uniforme, par une surface de Riemann à deux feuillets raccordés le long d'une ligne de passage O'L' issue de O' et indéfinie dans un sens, dans le sens O^ x\ par exemple. On exprime ce fait, par analogie avec ce qui précède, en disant que la surface de Riemann primitive a un point de ramification à V infini. En ce point ^' == o, les deux déterminations de u sont égales et infinies.

En résumé, la surface de Riemann à deux feuillets, sur laquelle la fonction u est uniforme, a deux points de ramification ^==o, c = X et une ligne de passage allant de u à l'infini, c'est-à-dire de \ an de ces points à Vautre.

o. On peut simplifier un peu ces considérations, à l'aide de la transformation suivante.

Sur le plan xOy de la variable ^, élevons une perpendiculaire 00' égale à i et, sur 00' comme diamètre, décrivons une sphère {fig. 6). Soit z un point du plan des xy, la droite O':; coupe la sphère en un point Ç et le triangle rectangle O'O^, dans lequel Ov est la hauteur issue du sommet de Tangle droit, donne

On peut donc dire que la sphère est la transformée du plan par ravons vecteurs réciproques, le pôle de transformation étant O'. Nous faisons correspondre ainsi à chaque point -; du plan un point Ç de la sphère et inversement.

Fis. 6.

Supposons que le plan œOy soit recouvert par la surface de Rieniann à deux feuillets, précédemment définie, avec la ligne de passage indéfinie OL dirigée suivant O^. Nous avons supposé qu'en chaque point z de chaque feuillet on a inscrit la détermination correspondante de u, de façon que, à chaque point de la surface de Riemann, corresponde un point analytique déterminé (3, u). Si Ton applique à cette surface de Riemann la transformation par rayons vecteurs réciproques que nous venons de définir, chacun des feuillets se transformera en un feuillet sphérique : la surface se transformera en une autre, formée de deux feuillets sphériques appliqués sur la sphère, soudés l'un à l'autre le long de la ligne de passage OAO' qui est une demi-circonférence transformée de la demi-droite indéfinie OL. A chaque point analytique (^, u) de la surface de Riemann plane correspond un point Ç de la surface de Riemann sphérique, où l'on pourra supposer inscrite la valeur correspondante u et que nous appellerons le point (ï, u) de la surface sphérique. La valeur de la fonction u, en chaque point de la surface de Riemann sphérique est ainsi bien déterminée. Quand nous dirons que le point analytique (Ç, u) décrit une courbe sur la surface sphérique à deux feuillets, cela signifiera que le point analytique correspondant (g, u) décrit sur la surface de Riemann plane la courl)e correspondante.

L'avantag-e de cette nouvelle représentation est que la nouvelle surface de Riemann est limitée; les points à l'infini dans le plan des z ont pour image sur la sphère le seul point O' qu'on appelle le point oo ; on voit, d'après cela, que la surface de lliemann spliérique a deux points de ramification O et O^ et une ligne de passage OAO' joignant ces deux points.

Pour étudier la fonction u pour des valeurs très grandes de z-,

nous avons posé z = — • Cette transformation aune interprétation

géométrique simple dans la figure précédente. Menons en O' le plan tangent à la sphère et, dans ce plan, un axe O' x', parallèle à O^ et de même sens que O^, puis un axe O'y' perpendiculaire, dirigé en sens contraire de Oy. La droite OÇ perce le plan x'O'y' en un point z' qui est précisément la représentation du point z' , lié à z par la relation zz' = i .

En effet, les deux triangles semblables 00' 3' et O'O^ donnent

immédiatement

de plus, l'angle xOz est égal à x' O' z' . Donc, en vertu de l'orientation des axes Oy et O'y' ^ les quantités imaginaires z et z' ont des arguments égaux et de signes contraires, ce qui prouve la relation annoncée zz'=^i. La surface de Riemann sphérique à deux feuillets est donc aussi la transformée par rayons vecteurs réciproques de la surface de Riemann du plan des x' y' que nous avons introduite pour étudier la fonction «, dans le voisinage de z' ^= o. Remarcjuc. — Si l'on étudiait de même la fonction

on verrait qu'elle est uniforme, sur une surface plane à deux

Fig. 7.

feuillets soudés suivant la ligne de passage e^he^ joignant les deux points de ramification (?<, ^2. A l'infini, les deux feuillets sont

séparés : le point x n'est pas un point de ramification {^fig^ 7). En construisant la surface sphéiique correspondante, on aurait une surface sphérique à deux feuillets soudés suivant la ligne de passage £, Aso transformée de CiLe^- Cette surface serait de même nature que la précédente.