Nous venons de voir que le genre de la relation

if2= k{z — ex){z — ei) . ..{z — en)i

où n=z 1 p -\- i ou ip -f- 2, est p.

Le genre des deux relations prises d'abord comme exemple,

(5) u'^ = z, u-= X{z — ei){z — e-i),

est zéro. On peut donc former une fonction rationnelle de z et u avec un seul pôle du premier degré placé en un point arbitraire; sous ce rapport, ces fonctions sont de même nature que les fonctions rationnelles d'une variable représentée sur le plan simple. La raison en est que l'on peut exprimer, dans les relations (5), u et z en fonctions rationnelles d'un paramètre ^, de telle manière qu'à chaque valeur de t réponde un seul point (:?, u) de la surface de Riemann et réciproquement ; pour employer un langage géométrique, cela tient à ce que les courbes (5) sont unicursales.

En effet, pour la première des relations (5), il suffit de poser

et pour la seconde

u=ts/X{z — ei), \ d où

i- et l'on voit que la condition est réalisée. En imaginant le plan