Exemple. — Soit urationnelle

; considérons la fonction

et déterminons ses infinis, ses zéros, ses résidus.

A distance finie, le seul infini est le point de ramification .: = i . Si l'on fait c = i -j- :?', on a, dans le voisinage de :;'= o,

Le point de ramification ^ ^^ i est donc un pôle du second

ordre, le résidu étant égal à 2.

Les seuls zéros à distance finie sont les points ^ := o, u =^ziz i,

car l'équation

z'*-^ uz- = o

donne ^-=0, ou z- ^= — u, équation qui n'a pas de racine à distance finie.

Prenons le zéro j;^ =z o, u = /, on a, dans le domaine de ce point,

c'est donc un zéro d'ordre 2 ; le point ^ = o, u=: — / est de même un zéro d'ordre 2.

Points à V infini. — Les points à l'infini dans les deux feuillets

se distinguent en ce que, pour l'un d'eux ce, , le rapport -- tend

vers -f- I , et, pour l'autre oo^, vers — j . Dans le voisinage du point 00,, on a

-(-ir-(-.;T.

p = 5-Mîi-+-- + — H- — + - —

Le point 00, est donc un pôle d'ordre 3, et le résidu en ce

int est

Enfin, dans le vaisinage du point cc^,

donc

La fonction est régulière au point cca, qui est un zéro du preier ordre; le résidu du point 0C2 est — -•

SLIIFACES DE UIEMANN A DEUX I EUILLETS. 4^

En résumé, on a le Tableau suivant :

Points

Nature

analytiques.

des points.

Résidus.

Pôle d'ordre 9.

Zéro d'ordre 2

Pôle d'ordre 3

Zéro d'ordre 1

I.a somme des résidus est nulle; la somme des ordres des zéros est 5; celle des ordres des infinis est aussi 5.

L'ordre total de la fonction v est 5. Il est aisé de véiilîer que l'équation (' = C a 5 zéros, quel que soit C.

27. Nous allons introduire maintenant, en suivant une méthode de M. Weierstrass, une notion d'une grande importance, celle du genre d'une relation algébrique.

Une fonction uniforme de c régulière en tous les points à distance finie et à l'infini étant une constante, une fonction rationnelle de z devient infinie au moins en un point. Nous avons remarqué (Introduction) que l'on peut former une fonction rationnelle de z avec des pôles arbitraires et des parties principales également arbitraires : par exemple, la fonction

devient infinie en un seul point arbitraire a avec un résidu arbitraire A.

Il en est autrement pour les fonctions rationnelles de z et u^ u étant lié à z par l'équation

u'^ = X{z — ey^{z — e-i) . .. {z—en), avec

n = 2p -T- 1 ou n = ip -T- 2.

Si une fonction r, rationnelle en z et u, devient infinie en un seul point analytique {z^, Uq) arbitraire, l'ordre de cet infini ne peut pas être moindre qu'un certain nombre entier.

4b CHAPITRE 1.

Cet ordre minimum diminué d'une unité se nomme, d'après M, Weierstrass, le genre de la relation algébrique entre u et z^ ou encore le genre de la surface de Riemann correspondante.

Un point analytique arbitraire est un point dont on peut faire varier à volonté la position sur la surface de Riemann; ce point est donc supposé distinct cV an point de ramification. Nous allons démontrer que le genre des surfaces de Riemann précédemment étudiées est égal à y?, si n — - ip -\- i ou ip -4- 2. Cherchons à former une fonction v rationnelle en z et u avec un pôle d'ordre r au point (^07 ^^o)- Cette fonction r peut s'écrire, comme nous l'avons vu,

P, Q, R désignant des polynômes en z sans diviseur commun.

Remarquons que, si un point ^0 distinct d'un point de ramification est une racine d'ordre A' du polynôme R(5), la fonction V admet au moins un des deux points analytiques (i^o? i/o)> (^05 — ^^0)7 correspondant à ^ = ::o 7 comme pôle d'ordre A". En effet, on ne peut pas avoir en même temps

P(xJo)^«oQ(^o) ^ o, P(x;o) — «oQ(-o) ^ o,

car, «0 n'étant pas nul, on aurait

et les polynômes P, Q, R admettraient un diviseur commun (5 — ^o)- Supposons, pour fixer les idées, P(3o) + ?/oQ(^o) différent de zéro : alors la fonction r devient infinie d'ordre k au point analytique (^o? «o)j et la proposition est démontrée.

Si le polynôme R(5) admet ei pour racine d'ordre A, et siP(<?/) n'est pas nul, le rapport v devient en et infini d'ordre 2 A, car, d'après les conventions antérieurement faites, on prend comme

infiniment grand principal . Si P(e/) est nul, Q(c/) ne

peut pas l'être, P, Q, R n'ayant pas de diviseur commun. Dans ce cas, on peut supprimer au numérateur et au dénominateur de v le facteur y/ ;^ — <?/ et la fonction v devient au point et infinie d'un ordre 2 A — i, au moins égal à i .

Ces remarques étant faites, puisque la fonction doit devenir infinie d^ ordre r au seul point (^o? "0)5 1^ polynôme R(-3) ne doit pas admettre d'autre racine que z^^z^^ au degré r de multiplicité. Car, si ce polynôme admettait une autre racine, la fonction v deviendrait infinie en d'autres points analytiques d'après la remarque précédente; et, si ce polynôme admettait la racine s© à un degré k différent de r, la fonction v admettrait l'un des deux points analytiques (^0? "0) o^^ (^07 — ^^0) comme pôle d'ordre k ; elle ne remplirait pas les conditions demandées.

On a donc, en négligeant un facteur constant,

Pour z = Zqj la fonction u a deux déterminations Uq et — //(, : la fonction ç devant devenir infinie d'ordre r au seul point (^0, Uq) et devant rester finie au point (^07 — ''0)7 le numérateur

P(^)-^ uQ{z)

doit admettre le zéro (sq, — Uq) à l'ordre /' de multiplicité. Le développement de P(^) 4- ?<Q(^) par la formule de Taylor, au voisinage du point (Zq, — Uq)^ doit donc contenir (:: — ::o)' en facteur, ce qui s'exprime en écrivant que cette fonction et ses (r — i) premières dérivées s'annulent en ce point.

Il faut, en outre, que la fonction ç soit finie à l'infini. Donc : i^ Si P('3) n'est pas identiquement nul, son degré est au plus égal à /■ ; 2" Si Q(-3) n'est pas identiquement nul, son degré est au plus égal à /■ — p — i .

En effet, à l'infini, u est d'ordre p -h - en z quand /? = 2/; -4- i ,

et d'ordre /? -f- i quand n^= 2p -\- 2. Donc, si le degré de P dépassait /', ou si celui de Q dépassait r — p — i, l'une au moins des déterminations du numérateur serait à l'infini d'un ordre en z supérieur à r, et le rapport

deviendrait infini, au moins dans un des feuillets, pour z infini.

Ces conditions ne peuvent pas être remplies si l'ordre /■ est inférieur k p -\- i ; car alors, si Q n'était pas identiquement nul.

son degré serait négatifs ce qui est absurde. Le poljnonie Q étant identiquement nul, le numérateur P -t- wQ se réduit à P, et, comme le développement de P-h^^Q suivant les puissances de z — ^0 dans le voisinage du yjoint (sq, — Wo) doit contenir (^ — ^o)'' en facteur, le polynôme P de degré /• doit contenir {z — ^o)'' en facteur : il est donc égal au produit de (^ — ^o)'' par une constante, etl'on a

ç = const.

Donc, Vordie r du pôle unique {zq^ u^) de ht fonction v ne peut pas être inférieur à p-^\. Le genre est bien /?, comme nous l'avons annoncé.

La fonction ç existe, au contraire, si r^p + i. Par exemple, si /'=^-]-i, elle est entièrement déterminée à une constante additive et à un facteur constant près. En effet, Q(^) devant être de degré zéro, se réduit à une constante C. Le polynôme P(^) de degré />> + i est assujetti à cette condition que le développement de

dans le voisinage de ^ = i^o? u^= — if^a-, contienne [z — ^o)^^' en facteur. On a donc

A désignant une constante : d'où enfin résulte pour v l'expression

{z — z^)-\-...^ "'^ {z — Zç,)P-^U

avec deux constantes arbitraires A et C.

Nous avons supposé le point {zq, Uq) arbitrairement variable sur la surface et distinct des points de ramification. Une fonction ayant un seul pôle placé en un point de ramification peut y devenir infinie d'un ordre moindre que (p -+- 1). Ainsi, quel que soit le genre, la fonction

SURFACKS DE HIEMANN A D E U \ F E l I L LET S. 49

devient, au seul point de ramification <?/, infiniment grande du second ordre.

28. On peut généraliser le résultat précédent en cherchant à former une fonction r, rationnelle en z et u, ajant q pôles arbitrairement choisis (a, , 6| ), . . . , (a^, 6^), distincts des points de ramification, avec des degrés de multiplicité déterminés a,, a^j, .. ., ay. Cette fonction sera d'ordre

Elle n'existe, on le voit, comme tout à l'heure, que si r^p -f- i. Les polynômes P, Q, R sont alors assujettis aux conditions suivantes : R est déterminé, à un facteur constant près,

R = (^ - «1 )^> (^ - a,y^^ ...{z- aq)y-, ;

P est de degré au plus égal à r, Q de degré au plus égal à /• — p — I ; le numérateur P -t- ;<Q, développé par la formule de Tajlor, doit contenir (; — «t)^' en facteur dans le voisinage de («,, — /;,), (-3 — ao)^^ en facteur dans le voisinage de («2, — 60), ..., (r — t/^)^*? dans le voisinage du point (<^y, — ^y).Le polynôme Q étant choisi arbitrairement du degré r — p — i, le poljnome P est de la forme P=: AR-f-P,, A désignant une constante et P, un polynôme de degré /• — i entièrement déterminé par les conditions précédentes : on connaît en effet les valeurs de P, et de ses (a, — i) premières dérivées pour z=^ a^^ les valeurs de P, et de ses (ao — i) premières dérivées pour z =: a,, etc., ce qui donne, comme il est connu, ;• conditions déterminant les /• coefficients de P,. {Voir un article de M. Hermite, Journal de Crelle, t. 84-, p. 70).

L'expression de v est donc

^-'^^ — wj) — '

où A est une constante arbitraire et Q(^) un poljnome arbitraire de degré r — p — 1. Cette expression contient, outre A, /• — p constantes arbitraires d'une façon linéaire et homogène. Dans le voisinage de chaque pôle, les coefficients de la partie principale sont en nombre égal au degré de multiplicité du pôle : il y a donc A. ET G. 4

50 CIIAPITUE I.

en tout /• coefïîcients des parties principales. Ces coefficients étant des fonctions linéaires et homogènes des /• — /> constantes qui figurent dans Q (:;), il y a entre eux p relations.

29. Formons ces relations dans le cas simple où tous les pôles sont du premier ordre,

ai = «2 — . - . = a^ -- I .

Alors rz q^

R = (^ — ay)(z — a,) ...(z — a,.) ;

Q(^) est de degré /• — p — i , Viz ) de degré i\ et l'on a

P(ai)-^6iQ(ai)=ro, ï\a,)~b^(l{a^)r^o, V{ar)-b,.C){ar) =0,

puisque P-f- wQ doit s'annuler aux: points (a, , — ^i ), (ao, — ^2)? . . . , [ar, - bf). Si l'on fait

P(^) = AR(^) + Pi(>), P, étant de degré /' — i , on aura

Pi(«i)-: 6iQ(ai), Pi («2)-- ^2QC«2), Pi («,.)=. b,(){a,.),

relations qui déterminent enlièiement le polynôme P,(:;), doni on peut écrire l'expression par la formule de Lagrange.

On obtiendra une forme remarquable de v par la méthode suivante, qui fournit immédiatement les/> relations entre les coefficients des parties principales relatives aux pôles (a,, 6,), ...,

Décomposant rrrr^ ^^ r7^" ^" tractions simples, on a

K z — «1 z — a=> z — Ur

Q Al A, A,.

R z — ci\ z — a=i z — cip

P + mQ , Cl -f- Al M C^-\- X^ii G,.-fA,. w.

R z — «1 z — a-i z — ar

A, Cl, . . . , Cr, A, , Ao, . . . , A,^ étant des constantes.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 5l

Pour z := a^, 11= — bij là valeur de ç doit rester Jinie, car la fonction v doit avoir le pôle («, , ^, ) et non (a^ , — bi). On a donc

même

la fonction ç s'écrit

A -+- Al

fonction qui, à distance finie, admet évidemment les seuls pôles («,, bi ), («25 ^2)? • • • j {(^r, br) du premier ordre.

Mais les coefficients A,, Ao, . . . , A^ ne sont pas arbitraires :

en effet, ce sont les résidus de la fraction rationnelle ^, dans la-

quelle le degré du numérateur est r — p — i, celui du dénominateur étant r. La somme des résidus de cette fraction rationnelle à distance finie est donc nulle, et il en est de même de la somme des résidus des fractions

car le degré de z-P-^ Q est encore inférieur de deux unités à celui du dénominateur, de sorte que le résidu à l'infini est nul.

On a donc, entre A,, Ao, . . . , A^ et a,, «2, ..., «r les/? relations nécessaires

Ajai-j- A2a2-{-. . --^ A^a,. = o,

(3) { Ai«f-f- A,a2|. __i \^.^2 o^

Al <-i ~ A,«5-i -. . . -f- X,aP,-^

Ces relations sont suffisantes pour que la fonction trouvée remplisse toutes les conditions demandées. En effet, on vérifie que, si ces conditions sont remplies, la fonction v définie parla relation (a) est finie à l'infini. Par exemple, si n est pair et égal à 2/? -t- 2, on a dans le voisinage du point x, dans l'un des feuillets

Il = v/Â Z^/'+i-f- Go^P+ Gi^/'-i + . . . + C/,, z -^ G,,-- li^±i ^. . . V

puis

T «1 af

et ainsi de suite. Subslituant ces développements dans l'expression (a) de ç et tenant compte des relations ([^), on voit que les coeflicicnts des puissances positives de z sont bien nuls. Si 71 est impair, /i = 2/> + i , on a pour z infiniment grand

Il z= y/A I z 2

Cos

iMïf-A

et, en vertu des relations ([^), les coefGcients des puissances positives de z dans le développement de ^^ disparaissent encore.

Le résidu relatif au pôle («i, b^) étant, d'après l'expression (a) de r,

Bi=:2Ai6i,

et les résidus relatifs aux autres pôles

les /? relations ([3) donnent, entre les résidus B,,Bo, ..., B^., /? relations de la forme

al T> «« ^ a

bo b,.

Les relations (jB) rendent évident ce fait que nous avons déjà démontré autrement, que r doit être au moins égal kp -f- i.

Eq effet, si l'on avait 7'^/>, ces relations linéaires et homogènes en A, , Ao, . . . , A^ donneraient pour tous ces coefficients des valeurs nulles, car le déterminant des coefficients de k^^ A^, ...^ A^, dans les r premières relations, est

déterminant qui est différent de zéro, puisque toutes les quantités «, , rto) • • : (^r sont supposées différentes.

Si les points («i , b^ ), (a^j ^2)7 • • • ? (<^rj ^r) n'étaient pas arbitraires, c'est-à-dire variables indépendamment les uns des autres, la fonction v pourrait exister pour r <^/? + i . Par exemple, si l'on prend les deux points (<7,, 6,), («,, — ^,), qui sont superposés dans les deux feuillets, il existe une fonction admettant seulement ces deux pôles au premier degré, c'est