I-OS 7^6 ^ Log^^ - Log^-— 5 + Log ^--^ = K -- an

OÙ K est une constante qui sera déterminée dès qu'on connaîtra les points d'intersection de F = o avec une conique particulière passant par A et B.

Ainsi, coupons l'ellipse -^ + ^ — 1=0 par des cercles, c'està-dire des coniques passant par les deux points circulaires à l'infini A et B. On peut exprimer les coordonnées d'un point de l'ellipse, en posant

a7 = <2coso = a ) ^ = èsino = 6

t = tang ^'

La droite de l'infini AB coupe l'ellipse en deux points Ni et N2 correspondant aux valeurs ^ = y — i et t =r. — y — ^ i . L'intégrale de troisième espèce avec ces deux points singuliers logarithmiques est

2 dt

c'est-à-dire nsz^i'^. Soient alors cp, , cpo, 03, cp^ les valeurs de cp correspondant à quatre points de l'ellipse situés sur un cercle; comme la somme des valeurs de l'intégrale rn en ces quatre points est constante, on a

OÙ G est une constante et ii un entier. Le cercle homographique de l'ellipse lui est bitangent aux deux sommets : pour ce cercle particulier, on a

La constante G est donc nulle et on a

')>.o «:ii A l'ii m-; XII.

^l'M't. On ohlH'iil ciHorc (l(s I Ih'oi'ciikîS (i(; ( Îk'oiiu'I ri(; <l'un ruaiM.r soiivcfillrrs r\i"^Ati\ eu .i|>|)li(|iiarit l(; llK'orrnKMl' Ahel a (Jos ml<'<^r ;»I<'S jil)(*li(;iirK;s (|iii oui iiih' si;^iii(i(;!il iOii j^roni/Miici iir, nai- (!X('in|)l<' à (\('.H irité;.;f'al(!.s alxîliciinos reprcîsenlanl, des ai/es, des fi/cs, (les tlisfanccs, des ///tj^ les, (Me.

l'oiir donuci' mic i(l('(' de; (Uî ^l'iiir de iIm'oi rincs, nrcnoiis iiim; coiirlKi d'ordi'iî ///, V(;jr, y) : o, avec /n dii'e(;hoiis asjinptolique.s disliiieL(;s. K'airct d'cin secleur do celle eourix' (U)m|)l('î aiiloiir du poinl (), (Jonl le choix est arbitraire, est

S ~ / .7.' r/y y dun Xf ' f

(7esl iirHî iiHci^rale ahcliciiiK; r<daliv(! 'h la courbe. (a'XU) inléf;ral(î devi(Mil liilinie seiileuKuil à l'iiiliin^ j)our voir coinnient elh? d(;vi(Mil inlitiic, )'('iiiar(|ii<)ns (pu; |)(Hir iinc, des brai)('li(;s iufiiiie.s, ou a, ./• élaul 1res ^raiid,

y — ax -h h -I ■ — I- . , . .

Donc

S ?= A- "+- c - hx H- r; loi» .r H f- . . . .

Ij'iiilé^rabî S devi(!iil donc; iidiin(; avec ./• parce (pi^îllc; conliiMil le leiriH! bx qui dwvicîul indiii du pi(;niier ordre el le lerme \{^^x.

Coupons alors la courbe F = o par une courbe variable f :=z o d'ordre .ç, (issujettùi à cwoir sos directions asymptotir/uos fixes et distinctes des directions asymptotiijues de F :=- o. J.a sonnn(î

des aires des secteurs S limitais aux points d'intersection de F et/ est constante. Mw efï'et, si ^•:—- o est une dcuxicme r^oinbe d'ordre.? ayant niâmes directions asyniplolirpies (pn; /' o, parmi les courbes du faisceau /' \ \i.'\ o jl s'en Irouvc uik; l'orruéct de la droile de l'inliui et d'une courb(; d'ordre .s ™ i ; comme cette courbe passe par les points où l'inlc'î^rale S devient infinie, la somme (^f)) a la môme valcMir pour les deux courbes/et «]; (n"1K()). <^uand le degré de/:=::o égale ou surj)ass(' celui de; V o, ou jx-ui

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GEOMETRIE, J2l

évidemment remplacer dans l'énoncé la courbé /=o parla courbe

où lest arbitraire, car celte courbe n'a aucun point commun avec F = o à l'infini.

Par exemple, on pourra vérifier le théorème pour l'hyperbole

xy = I coupée par les coniques

où P et Q sont des constantes déterminées non nulles, a, ^, y, 8 des constantes arbitraires.

236. Voici un exemple des théorèmes relatifs aux angles. Soient F(^, y) = o une courbe fixe d'ordre f?i et 8 l'angle que fait, avec une direction fixe, O^r, la droite OM joignant un point arbitraire O au point 1\I pris sur la courbe. Le point O étant choisi comme

û r jf, X dy — y dx

ou encore, comme

F^ dx -+- F y dy = o, x¥;^—yF'y dx

L'angle 9 est donc donné par une intégrale abélienne relative à la relation algébrique F(;r, y) = o. Cette intégrale abélienne, étant égale à

arc tans: — = — . Lo<

n'a d'autres singularités sur la surface de Riemann que des points singuliers logarithmiques; elle n'a d'ailleurs qu'une période tt.

D'après son expression sous forme finie, cette intégrale est finie en tous les points de la courbe F := o, à distance finie ou infinie, excepté aux points de rencontre de la courbe avec les droites isotropes

Le théorème d'Abel, appliqué à l'intégrale Ô sous la forme du A. ET G. 33.

n° 186, donne alors le théorème suivant, que nous énonçons en adoptant une dénomination due à Laguerre; nous dirons que deux systèmes de droites ont la même orientation si la somme des angles que font les droites d'un des systèmes avec un axe fixe, égale, à un multiple de tu près, la somme des angles que font les droites de l'autre système avec le même axe. Les deux systèmes formés par les droites qui joignent respectivement un même point O aux points oit la courbe donnée F = o est traversée par deux courbes G = o et 0'= o de même degré, ont même orientation si, parmi les courbes du faisceau G -f- XG'= o, il en est une qui passe par les points de rencontre de¥ ^= o avec un cercle de rayon nul de centre O (*). Par exemple, on peut prendre pour G et G' deux cercles de centre O.

On obtient des propositions analogues en employant les coordonnées tangentielles. Soient /(?/, v)=^o l'équation tangentielle d'une courbe algébrique et 8 l'angle de la tangente

UX -^ Vf -^1 = o

avec l'axe O^. On a

,. u ,^ (' (Hi — u dv 0 — — arc tanjï — i d% — — 7

L'angle Q est do*nc encore une intégrale abélienne relative à la relation algébrique /(;/, v) = o : celte intégrale devient infinie comme un logarithme pour les valeurs de u et v correspondant aux tangentes menées à la courbe par les points circulaires à l'infini u ~h iv = o et u — iv = o. On en conclut le théorème suivant :

Les deux systèmes de tangentes respectivement communes à la courbe /( u, ç) = o et à deux courbes algébriques o{u, v)=^o et ^(?<, v) =0 ont même orientation si, paimi les courbes du faisceau tangentiel cp -f- X(i> = o, il en est une qui touche les tangentes menées à /"= o par les points cycliques du plan (-).

Par exemple, les deux systèmes de tangentes communes à une

(') JIuMBERT, Journal de Mathématiques, 4" série, l. III, p. 356; 1887. (M Hur.iBERT, loc. cit., p. 358.

courbe algébrique et à deux courbes liomofocales ont même orientation (M.

237. Terminons enfin par quelques exemples relatifs aux arcs. Soit

l'équation d'une courbe algébrique. L'arc a- de celte courbe est défini par

Gomme -^ est une fonction iri'ationnelle de x eV y^ rr est

donné par une intégrale abélienne relative à une relation algébrique différente de ¥[œ^y) = o. Il y a exception pour les courbes que Laguerre a appelées courbes de direction (-) et qui sont caractérisées par cette propriété que \/^'^ 4- F'- puisse s'exprimer rationnellement en fonction des coordonuéees x et r d'un point de la courbe.

Supposons cette condition remplie

alors or est une intégrale abélienne relative à la courbe elle-même F = o. La courbe f(x, y) =i o est une courbe adjointe, car la fonction y* s'annule en tous les points singuliers de F.

En appliquant à l'intégrale o- le théorème d'Abel, on aura des relations entre les longueurs des arcs de la courbe de direction F = o comptés depuis un point fixe jusqu'aux points où cette courbe est coupée par une courbe variable d'un degré déterminé. Nous nous contenterons d'en indiquer un exemple élégant.

La courbe du sixième ordre, qui a pour équation en coordonnées polaires

r3= «3 cos3ô,

est du genre un, comme étant la transformée par rayons vecteurs

{') Laguerre, Comptes rendus, janyier i865. (0 Comptes rendus, t. XCIV, 1882.

") >./| <; Il M' nui; \ii.

récipr()(|iics d'iinc (',iil)i(nio sans poinl. doiihlc. (]('lle courbe est d'ailleurs une (tourbe de direelion, car ou a

\j[\ dinVîrenliellc <li csl doue l)ieu ralioiiuelle eu œ vXy. On vév\[\(\ eu oulie (|ue a esl, une iiii(':;iale de première espèce; eu cHcL il suflil de l'expiiuiei' eu foiu-liou (!<• /',

r a^ dr

J y/;^Fir7a

pour i-econuaîlre qu'elle esl pari oui (iuie.

Donc, eu appelaul o-,, o-^, . . ., cr„,/ les arcs comptés de[)uis des points fixes de la courbe jus(|u'au\ points de reueoutrc de la

courbe douuée avec uwv courbe al^ébricpie (pudcoiupie C,

d'or(b'e //, ou a

a] H- aj -f- . . . -t- ffG« ~- K,

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5'}.5

K désignant une constante indépendante des coefficients de C« ( ' ). l*ar exemple, un cercle passant par l'origine coupe la courbe considérée en douze points dont six à l'infini aux points cycliques, trois à l'origine; il en reste donc trois variables seulement A, B, C; les trois arcs OA, OB, OC comptés à partir de l'origine dans un même sens de circulation sur la courbe ont donc une somme constante quand le cercle varie, et cette constante est nulle, car la somme s'annule évidemment avec le rayon du cercle. On a donc en valeur absolue, en supposant que OA est le plus

grand des arcs,

arcOA = arcOB -f- arc OC.

L'arc de cette courbe a déjà été étudié par M. IVf. Roberts (Journal de Mathématiques, t. XII).

238. Le théorème d'Abel appliqué aux courbes gauches coupées par des surfaces algébriques permet également d'étudier Icî» groupes de points sur ces courbes. Par exemple, une biquadratique gauche sans point double effectif est du genre un. En appelant u l'intégrale elliptique attachée à la courbe, on a, pour les quatre points d'intersection de la courbe avec un plan, une relation de la forme

(37) tti-t- «2 -4- «3-4- a^:^ G -i- /nw -I- /n'w',

m et m' étant des entiers, w et w' les périodes de u. La théorie de ces courbes est alors analogue à celle des cubiques sans point singulier.

Si Ton prend, sur la biquadratique, deux points variables M| et INLj, assujettis à la condition

ai -f- «2 = A -r- mw -r- rn'co',

où A est une constante arbitraire, la droite M| M2 engendre une quadrique passant par la courbe. D'après (3^), les génératrices de

(•) HuMBERT, Journal de Matlœmatiques, '\* série, t. III, p. 394; i^^y-

526 CHAPITRE XII. — APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL.

l'autre système de cette quadrique rencontrent la courbe en deux points M3 et M4 tels que

M3 -h W4 = G — A 4- m w -h m' lo'.