VI
Les huit points de contact de deux quelconques de ces couples sont sur une conique; en effet, les quatre points de contact de chaque couple vérifient des relations de la forme (25). En ajoutant, membre à membre, les relations correspondantes pour les deux couples, on obtient précisément des relations de la forme (11), qui expriment que huit points sont sur une conique.
233. Nous venons de supposer que la courbe du quatrième ordre n'a pas de points doubles. Si elle acquiert des points doubles ou des points de rebroussement, le nombre des tangentes doubles diminue, conformément aux formules de Plûcker. On pourra encore étudier le nombre et la disposition de ces tangentes à l'aide des relations fournies par le théorème d'Abel.
Pour ne pas rendre cette étude trop longue, nous nous boiserons à examiner en détail le cas où la courbe admet trois points doubles à tangentes distinctes.
Nous avons trouvé (n° 23i) les conditions nécessaires et suffisantes pour que quatre points ^,, t^, ^3, t^ de la quartique unicursale soient en ligne droite. Ces relations peuvent s'écrire
Cl désignant la constante e^''. Les constantes c,, Co, C3 se déterminent de la façon suivante. Considérons la droite joignant les A. ET G. 33
5l4 CHAPITRE XII.
deux points doubles («o? ^2) et (a^, 63). Cette droite coupe la courbe aux quatre points
Exprimant que la première des relations (28) est vérifiée par ces valeurs de ^<, t. 2, ts, ^/,, on a
""ï - («2 -bi){b,-bi)ia,- bi)ib, ■- 60 * De même, on a
g ( c?.3 — a^)(bs — a-2)(ai —a^Mb^ — a-j) ^^ "" ^a^ — b^){b^ — b.i){ay-bi){b, -62)'
2 {ax — az){bi~-a-i){ai — a^){bi--a^) ^ ^'' ~ {ay — b^){bi — bs){a^-~bi){bz — b^)'
On tire de là deux déterminations pour chacune des constantes C\, C2, C3 : nous les choisirons comme il suit. Formant le produit ^1^2^3 7 ^^ trouve un carré parfait dans le deuxième membre; nous extrairons les racines et nous prendrons
(«1— «aH^' — «3)(«3— «O <"9) «"=^<'==(i,è,)(è.-6,)(é3-é,)'
Ceci posé, arrivons au problème des tangentes doubles. Soient t et t' les paramètres des deux points de contact : on aura dans (28)
if j = ^2 = ^> ^3 rrr ^^ rr: ^ ,
d'où, en extrayant les racines,
, , (t — ak)(t'—ak) ^ ^
^'^^> {t-b,)it'^b,)=^'''^
OÙ £/e = ± I . On a ainsi trois relations pour déterminer t et t' ', ces relations se réduisent forcément à deux, par exemple aux deux premières. Une fois £< et £2 choisis, on trouve un seul système de valeurs pour t et t'^ c'est-à-dire une tangente double. Comme e, = dz I, £2 =± I, on peut associer ces valeurs de quatre façons différentes : on trouve donc quatre tangentes doubles.
Une fois £< et £2 choisis, £3 est déterminé : pour le voir on peut employer la méthode élémentaire suivante, due à Clebsch ; chassons
APPLICATIONS DU THÉORÈME DABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l5
les dénominateurs dans les relations (3o) ; elles prennent la forme
(3i) al — H-Ckb'l — {t^t'){ak — t/^CA-bk) -^ tt'{i — s^-c^.) = o.
Ces équations linéaires en ^ -|- ^' et 1 1' devant être compatibles, on a la condition
«f — £lCi6f «1— Cl Cl 61 1 — £,Ci
Cette condition, ordonnée par rapport à s,, So, £3, est de la forme
(3i bis)
A- -:- Bl £1 -f- Bo £2 -i- B3 £3 4- Cl £2 £3 -T- C2 £3 £1
Les coefficients se calculent immédiatement par le développement du déterminant. Ainsi
aj «1 I j
al «2 I I = («"'2 — «i)(a3 — «2)(«i— «3), «1 «3 I j D --=— {b.~b,)(b:i — b.2)(bi — b:i)ciCiC.,,
Bi =
Gi =
I ^ï bi I
a] ai I
bl b. I
bl b, .
{bi — a.2){bi—as){a,— a3)ci ...,
C2C3 = — («1 — 62)(ai ~bs){b.2—bs)Ci
D'après la relation (29), on a donc
D = -A, Gi = -B,.
On trouve de même
C2 = — B2, C3 = — Bj.
En remarquant que
^3 — Si (l — :i£2£3),
5i6 CHAPITRE XII.
on peut écrire la relation (3i)
(A -+- BiSi -T- BaSî + B3£3)( J — £ie2E3) = o.
Le premier facteur n'est pas nul si (a,, 6,), («2, ^2) (<^35 ^3) sont quelconques; on a donc
(3!2) ei^2£3 = i,
ce qui détermine £3, une fois £< et £2 choisis égaux à ±: i .
Gomme conséquence de cette détermination, nous démontrerons que les huit points de contact des quatre tangentes douhles sont sur une conique. En effet, supposons écrites les relations (3o) pour les quatre tangentes doubles; en appelant {t^^ t\) , \h, Q, (^3, 4), (^4, i[) les valeurs de t correspondant aux points de contact des quatre tangentes doubles, on aura, en multipliant membre à membre les relations (3o) correspondantes,
car, £a ayant deux fois la valeur — i, le produit des seconds membres est c^ ou e^'^S car nous avons posé c'I = e^^K Les relations (33) sont celles qui expriment que huit points de la quartique appartiennent à une conique (n°231). Le théorème est donc démontré.
On pourra vérifier la proposition suivante : Parmi les sept systèmes de coniques quadruplement tangentes définies par les équations (21), les trois systèmes obtenus en assujettissant n, + /lo + n-i à èlre pair contiennent chacun deux paires de tangentes doubles; les quatre autres systèmes obtenus en assujettissant ni -i- n^ -h n^i à être impair ne contiennent pas de tangentes doubles.
Si la quartique a des points de rebroussement, le nombre des tangentes doubles est moindre. Il faudrait alors remplacer
loer 7— par ?
oik désignant le paramètre du point de rebroussement.
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. Diy
234. Les cas particuliers que nous avons traités montrent comment le théorème d'Abel donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système de points situés sur une courbe donnée d'ordre m soit le système complet des points d'intersection de cette courbe avec une courbe d'un degré donné. Si la courbe n'a pas de points doubles, les conditions seront exprimées à l'aide d'intégrales de première espèce. S'il y a des points doubles, il faut employer, en outre, des intégrales de troisième espèce devenant infinies respectivement aux points superposés aux points doubles. S'il y a des rebroussements, ces intégrales de troisième espèce sont remplacées par des intégrales de deuxième espèce ayant respectivement les points de rebroussement comme pôles du premier ordre. Quand la courbe sécante passe par des points doubles ou de rebroussement, les relations qui contiennent les intégrales correspondantes disparaissent. Enfin, si le degré de la courbe sécante est inférieur ou égal à m — 3, les relations fournies par le théorème d'Abel de la façon que nous venons d'indiquer ne sont pas toutes distinctes.
235. Dans les applications précédentes, nous avons cherché les conditions nécessaires et suffisantes pour que ms points, pris sur la courbe d'ordre m, appartiennent à une courbe quelconque d'ordre s qui n'est assujettie à aucune condition. Le théorème d'Abel se prête aussi à l'étude des groupes de points d'intersection d'une courbe donnée avec des courbes d'ordre s assujetties à passer par des points fixes donnés pris en dehors de cette courbe.
Prenons, par exemple, une cubique plane sans point double et coupons-la par des droites passant par un point fixe A non situé sur la cubique. Une de ces droites coupe la courbe en trois points Ml, Mo, M3 ; l'un de ces points étant choisi arbitrairement, les deux autres sont déterminés : il y a donc deux relations distinctes entre les trois points analytiques M,, Mo, M3. Nous les obtiendrons comme il suit : d'abord en appelant u l'intégrale de première espèce attachée à la cubique, et u^^ 11.2-, U3 les valeurs de cette intégrale aux points M, , Mo, M3, on a la relation déjà indiquée
(34) Wi -r- U-2 -h W3 = P -i- /?ltO -T- /)l lii',
5l8 CHAPITRE XII.
qui exprime que les trois points sont en ligne droite. Menons ensuite par A une sécante déterminée ANiNgNg et appelons v!5{x^y) l'intégrale de troisième espèce ayant pour points singuliers logarithmiques les points Ni, Ng. La somme t^i -h 7^2 + ^:$ des trois valeurs de m aux points Mi , Mo, M3, où une droite variable y = o, passant par A, coupe la courbe, est constante. En effet, soit W= o une seconde droite, passant par A; la somme 7574 + ^2 + ^3 est la même pour les deux droites /= o et W= o, car, dans le faisceau /+ [JiW = o, il j a une droite passant par les points critiques logarithmiques de l'intégrale rn , à savoir la droite ANiNoN^ (n" 185). On a donc une nouvelle relation
(35) THi+THaH-nTgr^ Q -h Ci^TItH- mQ-^- 7?2'0',
0 et ù' étant les périodes de ts correspondant aux mêmes coupures que co et w' pour u.
Voici un deuxième exemple.
Soient une conique fixe F(^, y) = o et deux points fixes A et B non situés sur la courbe. Une conique quelconque passant par A et B coupe F = o en quatre points dont trois peuvent être choisis arbitrairement; il y a donc une relation entre ces quatre points : cette relation est fournie par le théorème d'Abel. Soient Ni et N2 les deux points fixes où la droite AB coupe la conique ; formons l'intégrale de troisième espèce 7jj(^,j), relative à F (x, 7)= o, admettant comme points singuliers logarithmiques les deux points Ni et N2.
La somme 7774 + 7172+7153 + 757.4 des quatre valeurs que prend 757 aux quatre points d'intersection de F = o avec une conique /=:o passant par les deux points A et B reste constante quand cette conique varie. En effet, si l'on considère une deuxième conique (L == o passant par les points A et B, la somme Ts^ + 7573 -h 7573 + 757/, est la même pour les points d'intersection de F = o avec les deux coniques /= o et ^ = o, car, dans le faisceau /+ \k^ = o, il se trouve une conique passant par Ni et N2. Si l'on exprime les cooordonnées d'un point de la conique F — o en fonction rationnelle d'un paramètre ^, et si l'on appelle a et b les valeurs de t correspondant aux points fixes IN, et No, on a
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l9
La relation entre les valeurs ^,, ^o, ^3, ^4 du paramètre t aux quatre points d'intersection de F = o avec une conique variable passant par A et B est donc de la forme
