PO

formules du n. 0 195, mettre par-tout —q~> ~aT > & c * à fa place cle

P , Q , Sic. , ou , ce qui reviendra au même , multiplier par M les quantités x ‘‘ , y", De cette manière, on aura donc pour les équations du mouvement du corps M, sollicité par les forces ou puissances quelconque^ P , Q , Sic. , les équations-

AI x" = P cos. X -j- Q cos. 7 r -f- &c. r

AI y" = P cos. jtt -j- Q cos. f> &e.

AI ç" = P cos. * -f- Q cos. es- + &c.

Lorsque des corps s’attirent mutuellement , comme l’attraction estf censée venir de toutes les parties de la masse attirante et agir, sur foutes les parties de la masse attirée , il s’ensuit que la valeur absolue de la force d’attraction entre deux corps doit être proportionnelle ait produit de leurs masses.-

100. Dans ces équations, les coordonnées x> y, fsont regardées comme des fonctions du temps r. Pour avoir les équations mêmes de la courbe décrite par le corps , il faudrait éliminer le temps et réduire les coordonnées y et { à de simples fonctions de x. Voici l’esprit et le fondement de cette réduction : ~ **

En regardant les quantités x, y , ç comme fonctions de t, lorsque t

• • ù 1 ûl

devient t + ô , ces quantités deviennent x + ô x 1 H — — x " + —- ■ ■■ x 111 , &c. r

7 + fl y + ■ 4 - y" + iTx &c -> ï + 0? + + -xTj- f . &c.

par les principes établis dans la première partie sur le développement des fonctions. En regardant , d’un autre côté , y et { comme fonctions de x , lorsque x devient x -+• * , ces mêmes quantités deviennent y -J- i (y 7 ) +

JL (y «) + (/") + &c„ { + ê ( { 7 ) + -f(î") + -éj (H + &c *

Je renferme ici les quantités y', y", &C., &c. , entre des parenthèses,

pour les distinguer des mêmes quantités relatives à la première hypothèse.

Donc , si on fart i <

Ôx 7 -~—x" H —

x 7 " + &c. , il faudra que

l’on ait , quel que soit $, l’équation i (y 7 ) + — - — ( y 77 ) H — z ^ - (y 777 ) - + &c. , = êy' H y 77 *-j- — y 777 + &c. , et de même

H — J~y ^ 77 -J- &c. Substituant la valeur de i , et comparant les

termes affectés de la même puissance de 0 , la première équation donnera y 7 = (y 7 )x 7 ,y 77 ==(y 7 )x 77 + (y 77 )x 7l ,y 777 =<y 7 )x 7 " + 3 (y")x 7 x 77 +(y 777 )x 7î ,' et ainsi de suite. D’où l’on tire

t t\ tu / u \ / // tn / tu jt tr f

— yy )x — 3 (.y )xz 2 y x 3/ x , Jy r

et ainsi de suite. Et l’on aura , par la seconde équation , des formules semblables pour ({'), ( { 7/ ) » &c. > en changeant seulement la lettre y en Ces formules s’accordent avec celles que nous avons trouvées , d’une

autremanicre, dans la première partiefn.® 63), car on voit que (y')= -»

( y" ) = ( z * ; et ainsi de suite.

L’analyse précédente est plus directe , et résulte des premiers principes de la chose ; mais celle du numéro cité a l’avantage de faire

yoirl? loi de la progression, car elle donne immédiatement^- 7 ) = -J ,

Cf) =

{y") = — LI / — t ( yW ) ^ . ( ( /I L) — C t ainsi de suite , en

désignant , par un trait appliqué aux parenthèses , la fonction prime de la quantité renfermée entre les parenthèses.

Par le moyen de ces formules , on pourra transformer les équations qui contiennent les fonctions dérivées x 1 , x", &c. , y J , y", &c. , , &c. ,

relativement à t, en d’autres équations où il n’y ait que les fonctions dérivées ( y 1 ) , ( y 11 ) , &c. , ({')>( {" ) , &c. , relativement à x.

aoi. Pour en donner un exemple, supposons qu’on demande la résistance du milieu , en vertu de laquelle un corps pesant lancé dans ce milieu décrirait une courbe donnée. On regardera la résistance comme une force retardatrice qui agit dans la direction même du corps, c’est-à-dire, dans celle de la tangente de la courbe : ainsi , en nommant r la résistance , c’est-à-dire , l’action du milieu résistant sur la surface du corps , divisée par la masse même du corps , on aura — r cos. et , — r cos. fi , — r cos. y pour les forces accélératrices qui en résultent suivant les directions des axes des x , y , ^ , les angles a., fi, y étant ceux de la tangente avec ces axes. De plus, si on nomme g la force accélératrice de la gravité , et qu’on prenne les coordonnées y verticales et dirigées de bas en haut, on aura — g pour la force accélératrice provenant de la gravité suivant les coordonnées y .

Donc , les équations du mouvement seront x" = — r cos. a , y" = — g — r cos. fi , = — r cos. y ;

tir

substituant pour cos. a, cos. fi, cos. y, leurs valeurs — — ', -J—, - 5 —

( n* 195), où u , vitesse du corps, est = s' = V C* 71 + y 1 * + { , on aura celle-ci

La première et la dernière donnent - , d’où l'on tire, en

prenant les fonctions primitives, ^ = m x -f- n , m et n étant des constantes arbitraires. Cette équation , étant celle d’un plan vertical , fait voir que la courbe est nécessairement toute dans ce plan : ainsi , en

Hh .

pçenant Taxe des x dans ce même plan , on aura ^ = o et ç' = o , cr les équations de la courbe se réduiront aux deux premières.

Supposons , pour abréger , — L- = q , on aura x" = — q x y" = — g

— q y 1 ; substituant ces valeurs dans l’expression de ( y 11 ) du n.® 100 T

on aura ( y" ) = — • ; ainsi la valeur de q dépend de ( y m ). Or ,

on a , par le meme numéro , ( y 111 ) = -Z— 1 — LJ x i

mais ayant les valeurs de x" et y" , il n’y aura qu’à prendre leurs fonctions primes pour avoir celles de x " 1 et y" 1 ; et l’on trouvera, en désignant par q' la fonction prime de q , x"' = — q x ' 1 — q 1 x! = (q 1 q') x

y 1 " = — qy " — q' y' = q g -j- ( q* + q 1 ) y 1 - Ainsi , les deux premiers

termes de la valeur de (y'") donneront » et le terme ‘ —

donnera M, g -. De sorte qu’on aura ( y m ) = •’ or

o étant — T( — r —, rr > on ^ era cette substitution , et on chasserai

ensuite x' et y 1 au moyen des équations (y 1 ) = et ( y 11 ) = — — , lesquelles donneront x R y 1 (x 11 -}- y'’) = x 1 ' y' [ i -f- (y J )*] =s

. g V [ < (y \ . ] . jjg sorte qu’après toutes les substitutions , on aura

iy )

( v /;/ ) = r . Comme les fonctions dérivées (vM,

(y") et (y'") sc rapportent maintenant à la variable x, nous pouvons

les représenter simplement par y', y", y 1 " ; ainsi on aura

Or , la courbe étant donnée , on a y en fonction de x : de-là, on tirera les fonctions dérivées y', y" , y 111 ; et la formule précédente donnera , pour chaque point de la courbe , le rapport de la résistance à la gravité.

La vitesse u sera = y' ( x n -f- y 1 ' ) = x 1 y' [ i -}- ( y n ) ] =

—---'.y ^ 1 5 / - - - , c'est-à-dire , en changeanr ( y' ) en y 1 , u =

Si on suppose la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et à la densité du milieu , alors , nommant A cette densité dans un lieu quelconque , on aura r= m u 2 A, m étant un coèfficient constant ; donc ,

substituant la valeur de u, r =

mg ( 1 - 4 - y" ) a — y

; et mettant cette valeur

dans l’équation ci-dessu* , elle deviendra m A = ; — — tt- , par

où on déterminera la densité du milieu nécessaire pour faire décrire la courbe donnée. Réciproquement , cette équation servira à déterminer la courbe , lorsque la densité du milieu sera donnée.

Pour les projectiles lancés dans l’air , on peut supposer la densité du

milieu constante ; ainsi , faisant , pour plus de simplicité , a m A = — ~ *

l’équation de la courbe sera AL. — = K V ( 1 -j- y ,z ) = K s' , s étant

l’arc de la courbe , d’où l’on tire , en prenant les fonctions primitives , ÿ 1 = Ac k ’, A étant une constante arbitraire : c’est la forme la plus , simple sous laquelle puisse être mise l’équation de cette courbe. On peut tirer de ces équations les différentes approximations qui ont été données jusqu’ici pour la détermination de la courbe décrite par les boulets et les bombes ; mais les bornes de cet écrit nous empêchent d’entrer dans atjeun détail sur ce sujet.

102. Au reste , nous remarquerons encore qu’en aurait pu tirer tout de suite l’équation de la courbe , des équations du mouvement x" = —

— x — , y" = — g r -j— , par l’élimination du temps* r. En effet, x et y

étant fonctions de t , on peut réciproquement regarder y et t comme fonctions de x ; et par les principes du n.'63 , si en regarde, en général, x , y, t comme fonctions d’une autre variable quelconque il faudra

Hh z

substituer — j — et —4— à la place de x' , y 1 , et ' r ' , ' t ' à 1s

place de x", y " ; mais en prenant x à la place de { , l’on aura x* = x : donc ,, faisant xf = i dans ces forrjiules , on aura à substituer — 4 — et -4 —

à la place de x'ety' , et 4 ^— et à la place de x" et y".

Les deux équations deviendront donc , à cause de s' = V ( x n + y n ) ,

■ et

y t' g ry

d'où il faudra éliminer la fonction t 1 . Substituant , dans cette seconde-

équation , la valeur de — 4 — , tirée de la première , elle deviendra — y — - = — g ; divisant par y" , et prenant de part et d’autre les fonctions

primes , on aura == i valeur qui , étant substituée dans;

la première équation , donnera, comme plus haut, ■— = —

A l’égard de la vitesse u = s'

et comme on

V ( x n y h ) , elle deviendra

vient de trouver t' = V - y - — , la

vitesse deviendra — L > comme ci-dessus.

De cette manière , on pourra toujours éliminer le temps dans les; équations du mouvement , pour avoir tout de suite celles de la courbe décrite ; et nous aurions pu eu user d’abord ainsi : mais l’analyse que nous avons donnés , nous sera utile pour découvrir", comme nous l’avons annoncé au commencement de cet écrit, la véritable source de la méprise où Newton est tombé dans la première édition des Principes , en résolvant le problème dont nous venons de nous occuper , et qui est le troisième du second livre de cet ouvrage.

2.03. Voici la première solution de Newton réduite en analyse ( Œuvres de Jean Bernoulli, tom. I, pag. 481 ). Le mobile étant parvenu à un point quelconque de la courbe , sans la résistance et la gravité i! décrirait dans un temps donné très-petit , une partie très-petite de la

tangente que nous désignerons par a; soit y le petit espace que la gravité ferait décrire dans le même temps perpendiculairement à l'horizon , et p le petit espace dont la résistance diminue l’espace «. parcouru sur la tangente , il est clair que le rapport de p à y sera celui de la résistance à la gravité. Ainsi, le corps , dans le temps qu’il aurait parcouru sur la tangente l’espace «, — p , sera descendu verticalement de la quantité y ,• par conséquent y sera la flèche de l’arc a — p. Maintenant , si on considère le corps comme partant du même point et rebroussant chemin pour décrire en sens contraire le même arc de courbe qu’il a parcouru , il faudra regarder la résistance comme négative, et par conséquent comme une force qui accélère le mouvement au lieu de le retarder. Ainsi , le corps décrira , dans le même temps très-petit , l’espace a + p sur la même tangente dans une direction contraire , et descendra en même temps verticalement de l’espace y , en vertu de la gravité. Far conséquent y sera la flèche de l’arc a + p , pris de l’autre côté du point de la courbe dont il s’agir. Or , les flèches étant pour les arcs infiniment petits, comme les carrés des arcs ou des tangentes , la flèche de Tare «. — p , pris du même-

côté que l’arc a. -j- p , sera y ( * - )*; donc , la différence des flèches

pour les arcs égaux a. — p , pris de part et d’autre du point donné de

la courbe , sera y [ 1 • différence 5 " , on aura

( * 4“ f )* ^ ( *~rr)‘

nommons cette

4» y r $ j, lS ?+/ y J «

à cause que la petite ligne p, parcourue d’un mouvement uniformément accéléré , est infiniment plus petite que la ligne a parcourue dans le même temps d’un mouvement uniforme. Tel est le raisonnement de Newton , présenté de la manière la plus claire ; et le résultat que nous venons de trouver , s’accorde avec celui du corollaire II du problème cité , où il est visible que les lignes C F et F G sont ce que noirs avons nommé a. et y , et que la différence F G — Kl est ce que nous avons nommé S.

Maintenant , en prenant les abscisses x horizontales et les ordonnées y verticales et dirigées de bas en haut , Newton suppose que pour l’abscisse x -J- o , l’ordonnée , exprimée en série, est y 4- Qo — Ro 2 — St , 3 -j- &c..

et il remarque que la partie de la tangente qui répond k la partie o de l’axe, est o V ( i + ÇJ' ) , et que la flèche , c’est-à-dire , la partie de l’ordonnée comprise entre la courbe et la tangente, est R o z -j- S o 3 -j- &c. En faisant o négatif , on aura la flèche qui répond à la meme partie de la tangente prise de l’autre côté du point de contact , et qui sera , par conséquent, R o’ — S o 3 -f- & c. ; et la diff érence des deux flèches sera 2 S o 5 — &c. : or , il est visible que les quantités o V ( 1 + Q 1 ) , Ro 1 -|- 5 o 3 + &c. : et 1 S o 5 • — &c. , répondent à celles que nous avons nommées a . , y et S ;

donc , la quantité ~~p — > qui exprime le rapport de la résistance à la gravité , deviendra , en divisant le haut et le bas par o 3 , ,? ■

= ■{-' , en faisant évanouir la quantité infiniment petite o.

C’est aussi le résultat trouvé par Newton dans l’exemple premier du meme problème.

Suivant notre notation , lorsque x devient x -f- o , y devient y -J- oy 1 » »

4 — — y " -f- y'" * ^ onc > comparant avec la série de

Newton , on a Q = y 1 , R = — , S = * substituant

ces valeurs dans la formule précédente , le rapport de la résistance à la

gravité deviendra — t au lieu que nous l’avons trouvé

ci-dessus ( n.’ 201 ) / V. I. LldljL- j I . D’où il suit que la solution

de Newton est fautive.

Il est remarquable que si on substitue simplement y 1 , y ", y 1 " pour Q, ù — R , — S , on a un résultat exact : c’est ce qui a fait croire aux Bernoulli qui ont découvert les premiers l’erreur de Newton , et à tous ceux qui en ont parlé depuis , que cette erreur venait de ce que Newton avait pris les termes de la série Q 0* — R o z — S o 3 — &c. , pour les différences premières, secondes et troisièmes de l’ordonnée, tandis que ces termes ne sont égaux qu’à ces différences divisées par 1,2,6, &c. Mais , d'après l’analyse que nous venons de donner de la solution de Newton ,

il est facile de voir que sa méprise ne vient point de la considération des différences dont il n’est point question dans sa solution , et que la substitution des termes R o 1 et S o 5 de la série dont il s’agit , a la place

des quantités y et dans la formule -^r , est légitime: ainsi , l'erreur 1 4 r

doit être dans cette formule même , qui donne le rapport de la résistance à la gravité.

104. La solution de Newton peut être rendue plus simple et plus directe de la manière suivante. En nommant u la vitesse dans un point quelconque de la courbe , w0 est l’espace que le corps parcourrait sur la tangente dans le temps 0, en faisant abstraction de la gravité et de la résistance. Nommant g la force absolue de la gravité , et r celle de la

résistance , et —--seront les espaces parcourus, en vertu de cesforces,

dans le même temps 0y ainsi , le corps aura parcouru, suivant la tangente, la

ligne uû — , et , suivant l’ordonnée y , la ligne — ^ - , dans une

direction contraire b celle suivant laquelle cette coordonnée croît. Soit A l’angle de la tangente avec l’axe des x , il en résultera , suivant la direc-

tion de l’axe des x , l’espace ( u ô — ) cos. A , et , suivant la direc-

tion de l’axe des y , l’espace ( u ô — — — - ) sin, A ■' j — . Or , y étant

fonction de supposons , avec Newton , que x devenant x -j- o , y devienne y + Q o — Ko 1 — S o 3 — &c. -, il faudra donc qu’en faisane

o = (eô ^ — ) cos. A , on ait Q o — Ro 1 — S o 3 , &c. = («ô —

) sin. A , quelle que soit la valeur de ô , qu’on suppose

très- petite.

Substituons , dans la seconde équation , la valeur de o donnée par lapremière , et ordonnant les termes par rapport aux puissances de 0, on aura

fi Çu cos. A — ( - 2 ücos. A -f- Ru 1 cos. A ') 0 1 — ( Rur cos. A 1

+ Su 3 cos. A 3 ) 6 1 + &c. = 0 u sin. A — ( -- - -j L- ) Q\

DES FONCTIONS AN AL YTIQtJES.

développées clans le nun^ro précédent , x -f- 6 û cos. A -

r cos. A

et y + 6 // sin. A — ( r sln. A -f- g ) : ces séries étant comparées

avec la forme générale x 4* 0 x 1 H — x" H — — — x 1 " + &c. , et

y *+■ 6 y 1 4 — - — y" -f- ~ T ~ 3 ~ “t* & c - » on aura x< == u cos * ^ •

x" = — r cos. A , et y’ = u sin. ./? , y" = — r sin. ^ — g , d’où l’on tire d’abord x 1 " = — ( r cos. .ci )' , y" 1 = — ( r sin. A y , en dénotant par un trait appliqué aux parenthèses , la fonction prime de la quantité renfermée entre les parenthèses. Ainsi , les troisièmes termes des

séries dont il s’agit, seront ( r cos. A )'et — - ( r sin. A )'.

Or , ( r cos. . A . y = r 1 cos. A — r A 1 sin. A , et ( r sin. A )' =

/■' sin. A + /• A 1 cos. 4 ; mais les valeurs de x J et x " étant comparées, donnent — r cos. A = ( u cos. A y = u 1 cos. A — u A' sin. A , et de même celles de y' et y" donnent — r sin. A — g =( u sin. A )' = u‘ sin. A -f- u A' cos. A , d’où l’on tire , en éliminant u 1 , — g cos. A

= u A' : savoir , A 1 =^= — r- ■ * cos ' • . Substituant cette valeur de A!

dans les formules ci-dessus , on aura

/ a \i ai Z r fin. A cos. A

( r cos. A Y — r 1 cos. A ^

, ( r sin. A y =s

r 1 sin. A

pr cos. A *

On ajoutera donc ces nouveaux termes aux valeurs des quantités 0 et Ç o — R o 1 — 5 o 1 — &c. du numéro précédent , et l’on aura

0 = 6 u cos. A

r cos. A

( R cos. A +

? f SU1. ^ DIS* -r) 9 p J A * jâ

— ) , et Qo — Ro 2 — 5V = Bu sun A —

( r sîn. 4 -f g ) -^- 7 - ( r 1 sin. A — )•

ri •

î 5 © ' THÉORIE

Éliminant o et poussant la précision jtisqu’a^o 3 , oa aura l’équation

ù Qu cos. A — 6 S ( I Qr cos. A 4* R u% cos. A' ) — ô 1 [ — ^ -

( r 1 cos. A 4-

ç r sin. A co?- A

) — R u r cos. A z 4~

5 u 5 cos. A 5 ] = S u sin. 'A — — (rsin. A -J- g ) —

S* / • a e r cos. zi* .

. ( / sin. yf — -S ) ■

d’où l’on tire , par ta comparaison des termes , les équations Q u cos. A =s= u sin. A , Q r cos. A 4 - x R u* cos. A 1 = r sin. A 4" g >> Q ( r' cos. yf 4* g r ^ ri *• ^ . ) — 6 Rur cos. .4* 4'"

6 5 u s cos. A 5 = r' sin. ./I — — .

Les deux premières étant les mêmes que clans te numéro 2.04 , elles»

donneront également tang. A = Q et tr — ■ ' ' ' 4 ; ^ -- - ,• mais la;

troisième , en y substituant Q cos. A à la place de sin. A , ensuite divisant: par cos. A 1 , et multipliant par u , deviendra. Q 1 g r — 6Ru'r 4~' 6 S u 1 cos. A = — g r ; substituant la valeur précédente de u ~ , on aura»

— igr( 1 4 -Q ) -1 J K = 0 ,

d’où l’on tire , à cause de cos. A =

V C 1 4- Ç>* )~ ’ s ~ ~ TÏT-

c’est la valeur que Newton donne dans la seconde et dans la troisième édition des Principes ( livre II , problème III ) ; et on voit qu’en substituant

dans cette valeur les quantités y 1 , — à la place de-

Q , R , S ( n.“ aoj) , elle devient — " " % — ~ » tc ^ c qu’elle •

doit être ( n.‘ zoi ).

Comme Newton n’est parvenu ù ce dernier résultat qu’en suivant une marche analogue à celle du calcul différai tief , nous avons ctu qulifi

• DES FONCTIONS .ANALYTIQUES. a S i

n’était pas inutile de faire voir, comment la méthode des séries pouvait y conduire, et cju’on nous saurait gré d’éclaircir, en même temps, un point d’analyse sur lequel les plus grands géomètres s’étoient trompés, et qui peut intéresser l’histoire de la naissance des nouveaux calculs.

ao 5 . Reprenons les formules générales du numéro 199, et supposons que la force P soit dirigée vers un point déterminé par les coordonnées a, b , c ; si on nomme p la distance rectiligne de ce point au point de la courbe qui répond aux coordonnées r, y, on aura p = yj [ (x — a ) J

+ (y — b y -j- ( 1 — c )’ ] , et il est visible que — * ~~~ÿ~ e

seront les projections de la ligne p sur les axes des x, y, ^ ; donc -d— — >

„. y ' t - Â ~~ - - seront les cosinus des angles que la ligne p fait avec

ces axes , c’est-à-dire , des angles X , fx, r , que la direction de la force P

fait avec les mêmes axes. Donc , les termes P cos. X, P cos. /.i , P cos. » ,

dus à la force P dans les valeurs de Mx", AI y", AI ç", pourront être

urepresentes par P — , i — , P ~~ p •

Si maintenant on suppose p égal à une constante d, on aura l’équatioa de la surface d’une sphère dont d ou p sera le rayon , et dont le centre sera déterminé par les coordonnées a , b , c t - et la direction de la force P sera perpendiculaire à la surface de cette sphère, puisqu’elle tend à son centre*. Donc, si une autre surface quelconque représentée par l’équation f{ x, y, j) = o c-st tangente à la sphère, la direction de la force P sera aussi perpendiculaire à cette surface, et l’on aura, par le n.° 151 ,

en substituant p à d, K,

OÙ

et sont les fonctions primes relatives à x et y de la quantité j regardée comme une fonction de x et y donnée par l’équation de la surface! Or, en prenant les deux équations primes de /(x, y, ^ ) = ô relativement à x et y on a ( n.* gz ) /' ( x) + {'/'({) =

0 , et

ija THÉORIE-

/'(y) + (?) — ©> où/' (x)v f (y), /' (?) désignent les;

fonctions primes de la fonction / ( x , y , \ ) prises relativement à x , y ,

Donc , — — -jr-py- , = y ,• par conséquent * on aura*

p VL /(*)'.+ / {y ) -i~ f ( * )' J *'

j.—Jl ^

. . ; — r LAsl

Donc , si la force P agit dans une direction perpendiculaire à là; surface représentée par l’équation f •( .r, y , ç ) = o , il en résultera ,, dans les valeurs des quantités Mx", les termes respectifs

vT 7 u )* -F 7 (j )* +T 7 üT J *'

pjtj o

2.07. Si on suppose que le corps soit forcé de se mouvoir sur une 1 surface courbe représentée par l’équation j (x,y , j )= o , il est clair qire l’action de la surface sur le corps ne peut être que perpendiculaire à la surface. Nommant donc P la force qui résulte de cette action , et faisant

n = “V r/^Gn^A y)' + f (& .°nauran/'(r) t n/-'(y)„

n/ (?) pour les termes dus à cette force dans les équations du n.° 199. Or , la force P n’étant donnée que dans.sa direction , sa valeur demeurera inconnue : par.conséquentla quantité II entrera dans ces équations comme . line inconnue , mais comme on a l’équation f (x , y, { ) = o, à laquelle les va]eurs dex, y , ^ doivent satisfaire , quel que soit le temps t, en éliminant l’inconnue H , on aura encore autant d’équations qu’il sera, nécessaire pour la solution du problème..

Maintenant il est facile de concevoir que le même résultat aura lieu , si , en faisant abstraction de la surface , on considère seulement l’équation /(*> y> {) =. o , comme une équation de condition. donnée par fa nature de la question mécanique proposée , d’où l’on conclura que rqute condition du problème exprimée par l’équation f ( x , y , ç ) = o , donnera dans les valeurs de Mx" , My ", M des termes de la forme

n /'(*), 1 nf (?)•

Donc aussi , s’il y avait dans le problème deux conditions exprimées par les équations f(x, y, % ) , <p (xj y, ?) = o , ce qui est le cas des corps qui se meuvent sur des lignes de figures données , chacune de ces équations donnerait de pareils termes. Ainsi , on aurait , en vertu de ces * équations , les termes II/'(x) -j- d'p' (x) , H f' (y) + <p' ( y ) »

n f ( { ) + à ajouter aux valeurs de M x" , My" ,

Les quantités II et 'ic demeurent indéterminées , et doivent être éliminées ; mais les équations que •Ton aura de moins par ces éliminations , seront remplacées parles équatipns données f\x,y , {) = o, et f {x,y, ç ) = o ; et ainsi de suite-

2.08. Jusqu’ici , nous n’avons considéré que le mouvement d’un corps isolé ; mais les formules que nous venons de trouver s’appliquent également au mouvement des corps qui agissent les tins sur les autres d’une manière quelconque, soit en se tirant par des fils ou par des leviers, soit en se poussant immédiatement ou par l’entremise de verges ou de ressorts , &c.

Lorsque plusieurs corps sont joints ensemble et dépendent les uns des autres, de manière que l’un ne puisse être mil sans que ies autres ce participent plus ou moins à son mouvement, on peut toujours exprimer les conditions de ce système par des équations entre les coordonnées dés difFérens corps qui le composent; car, il est visible que ces conditions ne peuvent consister que dans des- relations données entre les lieux des corps dans l’espace. On aura donc, dans ce cas , différentes équations de la form e/(x,y, , y , Z, &c. ) = o, en nommant x>y, q les coordonnées

de l’un des corps du système dont M sera la masse , £ , n , les coordonnées d’un autrq-de ces corps, qui aura la masse N, &c. ; et chacune des fonctions /( x , y .... ) donnera , relativement au corps M, dans les valeurs-

de AI x' , AI y", Al ç", les mêmes termes II f ( x ) , Tîf 1 (y),n/ / (^), que si les quantités £,»,£, &c. , étaient constantes : car il est facile de concevoir que la direction des forces P , Q , &c. , doit être la même dans un*instant quelconque , soit que les corps se meuvent ou non , puisqu’elle dépend uniquement de la disposition mutuelle des corps dans cet instant.

Far la même raison , la même fonction donnera , relativement au corps N dans les valeurs de N N y'\ N les termes H /' ( 'c, ) » nf ( y ) , Tîf ( £ ) ; en dénotant par /' ( i; ) > /' ( » ) » f ( Ç ) les fonctions primes de /*(*, prises relativement à

^ , y , (^; et ainsi de suite pour chaque corps du système, # et pour chaque fonction résultant des différentes équations données par les conditions 4u système.

î.09. Quand des corps s’attirent ou se repoussent par des forces intrinsèques, ou par l’action de ressorts auxquelsîk sont attachés , comme la force s’exerce suivant la ligne qui joint les deux corps qui agissent l’un sur l’autre , sa direction sera , pour chacun des corps , perpendiculaire à la surface sphérique qui passerait par ce corps , et aurait son centre dans l’autre corps. Ainsi , nommant d la distance des deux corps M et N, on aura , pour les deux surfaces l’équation V[(* — + ( y — ■ y )*

-j- ( ’ — ^ )- ] = d , en prenant x , y , ç pour les coordonnées de celle qui passe par Al , et £ , y , £ pour les coordonnées de la surface qui passe par N. Ainsi , suivant la théorie du n.° 107 , on fera f ( x ,y , ^ , y , ^ ) = V [ ( X — £ )* + ( y — »)*+(? — Ç y ] — d ; et comme cette valeur donne f 1 ( x ) = -J- f ( y )* + j‘ ( { )’ = 1 , en aura P = I I. Donc , puisque la quanlité d doit être regardée comme constante , en prenant les fonctions primes , on fera simplement

= — £) s -Hy — »)*.+ ({ — £)’]»

et prenant II pour la force absolue , qui agit sur les deux corps, on aura les mêmes formules que ci-dessus pour l’cfTet de cette force dans le mouvement des corps AI et 17 , où il faut remarquer que la force II devra être prise positivement lorsqu’elle tend à augmenter la di’stance entre les corps , et négativement lorsqu’elle tend à la dimiuuer.

•• DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i 5î

Ici , il est évident que la quantité TI doit être la même pour les termes qui- résultent de la meme fonction /( x , y . . . . ) dans les équations relatives aux corps M et N. On pourrait douter si cela doit avoir iieu en général , comme nous l’avons supposé , de quelque manière que les corps agissent entre eux ; mais on peut le-prouvcr par le moyen du principe connu des vitesses virtuelles.

xi o. Eît effet, de es qui a été démontré plus haut (n.° 207) , il résulte seulement que les forces dues à l’équation de condition J (x,y, ç , £ ,

= o , sont représentées par FI/' ( x) , Ylf 1 (y) , II/* ({) pour le corps Al, par 'F f (£) , * P ( » ) , * p ( Ç) pour le corps N, et ainsi de suite , les quantités TI , , &c. , étant nécessairement lés mêmes pour le même

corps. Ces forces rresont, àproprement parler, que desforces de résistance, qui naissent de l’action mutuelle des corps , ou qui viennent des obstacles qui , par la nature du système , altèrent et changent le mouvement des corps. Si donc on imprimait à chaque corps des forces égales et directement contraires à celles-là , l’effet de ces forces serait détruit par les résistances dont nous venons de parler ; par conséquent , le système devrait demeurer en équilibre. Donc, les corps AI, N , Scc. sollicités, suivant Tes directions de leurs coordonnées , par les forces — 17 f ( x ) , — U f 1 (y) , ~ — Tlp (ç ) pour le corps Af, par les forces — ^rf 1 (£), — ^P(») — •*' p (£) pour le corps N, et ainsi des autres .devront se faire équilibre..

Or , par le principe des vitesses virtuelles , la somme des forces multi- ' pliées chacune p3r la vitesse que le point où elle est appliquée aurait , suivant la direction de la force , si on donnait au système un mouvement quelconque , doit être nulle dans le cas de l’équilibre. Donc, prenant dans notre cas les vitesses réelles x',y‘,p, y’, &c., des corps AI, N, Scc. ,

suivant les directions de leurs coordonnées , pour leurs vitesses virtuelle* suivant ces directions, on aura pour l’équilibre des forces dont il s’agit , l’équation

• — np(x)x> — np(y)y> — np( { ){'— */(£)£—

et cette équation devra avoir lieu en général, en vertu de l’équation de condition / (x, y , {, £ , y , £...) = o, d’où dépendent les forces.

Il /' ( x ) , Il f' ( y) , Stc. Or, si on prend l’équation prime de cette équation , relativement au temps t , dont les variables x, y-, ç , £ , &c . , font censées être fonctions , on a ( n.° ji )

et il est visible que cette équation ne peut subsister avec la précédente , indépendamment ‘des valeurs des vitesses x', y 1 , &c. , à moins qu’on n’ait

On doit conclure de là , en général , que les forces qui peuvent résulter de l’action mutuelle des corps d’un système donné , se déduisent directement des équations de condition qui doivent avoir lieu entre les coordonnées des differens corps du sysrème , en prenant les fonctions primes des fonctions qui sont nulles en vertu de ces. équations. Les fonctions primes delà même fonction, prises par rapport aux différentes coordonnées , sont toujours proportionnelles aux forces qui agissent suivant ces coordonnées , et qui dépendent de la condition relative à cette fonction. J’étais déjà parvenu à un résultat semblable dans la Mécanique analytique ; la démonstration précédante est plus directe , et donne , pour ainsi dire , la métaphysique de la chose.

m. Supposons que les conditions du système soient indépendantes de l’origine des abscisses , c’est-à-dire , de la position du plan des y et ^ , et que , par conséquent , les fonctions désignées par les caractéristiques f <p , & c. , soient telles que si on augmente à la fois les abscisses x, £j, &c. des différens corps , d’une même quantité quelconque i , cette quantité disparaisse d'elle-même des fonctions ; ce qui aura lieu , lorsque ces fonctions ne contiendront pas les quantités isolées, x, ç, &c. , mais seulement leurs différences x — £ , &c.

En substituant x -J- i , £ -j- /, &c. , à la place de x, , &c. dans la fonction /( x, y , 7 ,£...) , elle deviendra , par le développement suivant les puissances de i 3

/(*. y> i.» $•••) + tir (*) + f U) + &c.] +

• Donc ,

Donc , on aura nécessairement l’équation du premier ordre

Ou trouvera , de la même manière ,

<p' (x) + tp 1 ( £ ) 4* & c.c= o;

et ainsi de suite.

Or , si le système n’cst soumis à d’autres forces que celles qui peuvent résulter de l’action mutuelle des corps , les équations du mouvement relatives aux coordonnées x , £, &c. , seront de la forme ( n.° 207 ).

Mx" = n /' ( AT ) + * <p‘ ( X ) + &C. i

iVf = n/' (^) 4- * 9' (£) + &c ->

Donc, ajoutant ces équations ensemble, on aura simplement M x " 4 - 4- &c. = o ,

équation indépendante des conditions du système.

Cette équation a l’équation primitive

et celle-ci a encore l'équation primitive

Mx 4- -N £ 4 - &c. =■ a t 4- £ , a -et b étant des constantes arbitraires.

Ainsi , on a tout de suite , dans ce cas , une relation entre les différentes abscisses x , £ , &c.

Il est facile de voir que le cas dont il s’agit , aura lieu dans tout système entièrement libre de se mouvoir dans la direction de l’axe des abscisses , quelle que soit l’action que les cot^s peuvent exercer leS uns sur les autres. Car, alors , relativement à cet axe , les conditions du système ne pourront dépendre que de la position respective des corps , et nullement de leur position par rapport à l’origine des abscisses ; par conséquent, les équations qui, exprimeront ces conditions , ne pourront contenir que les différences x — £ , &c. des abscisses. Et si les corps exercent les uns sur les autres des attractions ou des répulsions mutuelles , comme les

Kk

fonctions f (x, y, £ . . . ) dues à ces forces, sont représentées sim-

plement par les distances V[(* — £ )* + ( y — » )* + ({ — £ )* ] &c.

( n. a 205), ces fonctions auront aussi la même propriété.

Donc, lorsque le mouvement du système sera tout-à-fait libre-suivant la direction de l’axe des**, de quelque manière que les corps agissent les uns sur le* autres , soit par des forces quelconques de résistance ou par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, l’équation précédente entre les abscisses x , &c. des différens corps, aura toujours lieu.

Si l’on prend dans le système un point qui réponde à l’abscisse X, telle que l’on ait

Y M x -{- -"Ni -f- &c.

on aura X " = o, et de là X 1 = a, X = at, en supposant que l’espace X soit nul au commencement du temps. Ainsi , le mouvement de ce point suivant lu direction de l’axe des x sera uniforme avec la; vitesse constante a,

m. Si , dans le même système, on suppose que les corps M, N, Scc. soient de plus animés par des forces quelconques P, Q>,*&c. dirigées suivant l’axe des x et tendant à augmenter les x , &c. , il faudra dans

ce cas ajouter respectivement les quantités P, Qj &c.,-aux valeurs de Mx", &c. ; ce qui donnera les équations

M x 11 = P -f-n/ / (Ar) + 'ï , p / (x) + &c. ;

N%‘ = Q + nf (£) + *<pf (O + &c.„

dont la somme sera

Mx" + N g + &c. = P + Q + &c. ;

et si l’on substitue pour M x + N £ + &c. la quantité ( A I -f*

N -f» &c. ) X , on aura

( M + N + &c. ) X" — P + Q + &c. ; équation qui représente le mouvement rectiligne suivant l’axe des x d’un corps dont la masse serait M -J- N + &c. , et qui serait animé par une force égale à F + Q -j- &c.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 25 9 D’où l’on peut conclure que le point du système qui répond à l’abscisse X , aura, dans la direction de l’axe des x , le même mouvement qu’il aurait si tous les corps du système étaient concentrés dans ce point, et que toutes les forces qui agissent sur les corps dans la direction du même axe lui fussent appliquées.

213. Si le système est libre à la fois relativement à l’axe des x et à celui des y , il est visible que les mêmes résultats auront lieu pour le* mouvemens suivant ces deux axes ; et si le système est absolument libre dans tous les sens , alors les mêmes résultats auront lieu par rapport aux trois axes ; et on pourra en couciure que si on prend dans le système un point qui réponde aux coordonnées X , Y, Z , telles que l’on ait

AI x N £ -f- ftc.

AI y -f - N m &c.

At + M -f bc. ’

ce point , lorsque le système n’est animé par aucune force extérieure , se mouvra uniformément en ligne droite ; et que si les différens corps du système sont animés par des forets quelconques , le même point se mouvra comme si tous les corps y étaient concentrés, et que toutes les forces y fussent appliquées chacune suivant sa direction propre.

Le point dont il s’agit est connu , en mécanique , sous le nom de centre de gravité , et la proposition que nous venons de démontrer s’énonce ordinairement ainsi : L’état de mouvement ou de repos du centre de gravité de plusieurs corps , ne change point par l’action mutuelle des corps entre eux , pourvu que le système soit entièrement libre ; c’est ce qui constitue le principe ou la loi de la conservation du mouvement du centre de gravité.

Il est bon de remarquer que ce principe a lieu aussi , lorsque , par la rencontre et l’action mutuelle des corps , il survient des changemens brusques dans leurs mouvemens; car, on peut regarder ces changemens comme produits par l’action de ressorts interposés entre les corps qui se

Kk 1

i6a THÉORIE

choquent , et dont la durée est presque momentanée. C’est ainsi qu’on peut envisager les changemens qui arrivent dans le choc des corps durs r et c’est par cette raison que le mouvement du centre de gravité n’est point altéré dans ces changemens.

114 . On rapporte communément le centre de gravité de plusieurs corps à trois axes fixes , par le moyen des coordonnées X , Y , Z, données* ci-dessus ; si on voulait le rapporter à des points déterminés , alors nommant a , b , c les trois coordonnées d’un de ces points , et d la distance du centre de gravité à ce point , pn aurait

d'=(X— a y 4 - ( r— by + (Z — c y = X z 4 - Y-- + Z ! —

x a X — x b Y — x c Z 4" a* -j- b 1 4- cv

Or, si on fait le carré de la quantité M x + + &c. , il est:

facile de voir qu’on peut le mettre sous la forme ( AI + N -J- &c. ); ( Ad x 1 + N ^ + &c. ) — AIN (x — <-)’ — &c. ; doue om aura ( n.' précédent )

V* Mx' d- m' 4- &C. MN ( r ?)' -f- «rc.

M -f N + &c. { M -(- iV -j- &c.

et de là X 1 — x a X 4~ a * =

AI(x aV4W(f aV 4- &C- ■ MN {x £)'.+ &c;*

AI -f- jN 4" &c. t M -j- N 4" &c. )‘

On trouvera de même Y z — xb Y -(- b 1 =

AI (y b)' 4- N (» b -h&c. MN (y — » )* 4- &c. ..

et pareillement Z 1 — xcZ -j- c* =

m ( 7 — c y -f k (<r — <?)■ + &c. mn(i — ey + «k.

AI 4- N 4- &c. ( M 4- A' 4- &c. y

Si l’on fait ces substitutions dans l’expression précédente de d 1 , et qu’on* désigne , pour abréger , par A la somme des masses Al, N , &tc . , multipliées chacune par le carré de sa distance au point donné , cette somme étant de pjüs divisée par la somme des masses ; et qu’on désigne aussi par B la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées par le carré de leurs, distances respectives , cette somme étant divisée paiy

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 161 îe carré de la somme des masses , on aura d x = A — B , et par conséquent d = ^ { A — Æ ).

Ainsi , comme la quantité B ne dépend que de la position respective des corps , si on détermine les valeurs de A par rapport à trois points differens , pris dans le système ou hors du système , à volonté , on aura les distances du centre de gravité à ces points , et par conséquent sa position absolue. Si les corps étaient tous dans le même plan , il suffirait de considérer deux points; et il n’en faudrait qu’un seul si tons les corps étaient dans une même ligne droite. En prenant les trois points donnés dans les corps mêmes du système , la position du centre de gravité sera donnée simplement par les masses et par leurs distances respectives. Comme cette manière de trouver le centre de gravité est peu connue , j’ai cru pouvoir la donner ici à cause de l’utilité dont elle peut être dans plusieurs occasions.

.215. Supposons maintenant que les conditions du système soient indépendantes de Ja direction des axes des x et y sur le plan de ces coordonnées , en sorte qu’en faisant tourner ces axes autour de l’axe des { d’un angle quelconque i , ce qui changera les abscisses x , £ &c. en x cos. i — y sm. i , ^ cos. i — » vsin. t&c., et les ordonnées y , w &c. en y cos. i x sin. i r n cos, i -j~ jfsin. i &c. y les fonctions représentées par les caractéristiques f, <p &c. ne varient point par ces changemens, quel que soit l’angle i. 11 est facile de voir que cette propriété aura lieu , en général , dans toute fonction des quantités x 1 -f- y 3 > •+* »* ,

x i; + y» , x>; — y £ , &cv

Si l’on fait a = x ( cos. i — 1 ) — y sin. i , 6 s= y ( cos. i — 1 ) + x sin. J , a, = £ ( cos. i — 1 ) — y sin. i , fi = >1 ( cos. i — r j + é, sin. i , Sic. ; il faudra qu’en substituant à la- fois dans ces fonctions + * -h fi Scc. à la place de x , y , £ , » , &c. »

et développant suivant les puissances de i, la somme des termes affectés d’une même puissance soit nulle. Or, par ces substitutions, et par le développement suivant les puissances de a , b, et, | 3 , &c. , la fonction /(* » y » f » 0 devient f{x ,y , { , £ . . . ) + af ( * ) + bf (y ) +

z6i • THÉORIE

Mais on a sin. i = i -f- &c. , cos. i = i — — {- &c. ;

donc les termes affectés de i dans la formule précédente seront

*[ — yf (*) 4- *f (y) — v f (s) 4- £f (») — &c.];

par conséquent on aura pour la fonction j\x , y . . . ) l’équation de condition

x J'y — yf (*) + U 1 ( ”) — *f (.0 + &c * == °-

Cn trouvera de la même manière pour la fonction p l’équation * •

et ainsi des autres.

2.16. Maintenant, si les corps du système n’éprouvent d’autres actions que celles qui peuvent résulter de leur liaison mutuelle , les équations du mouvement relatives aux coordonnées x , y , £ , * &c. seront de cette forme (n.° zcj ) ; .

My" — U f {y) + (y) -f- &c.;

Donc , si on ajoute la seconde de ces équations multipliée par y, la quatrième multipliée par £ et ainsi de suite , et qu’on en retranche la première multipliée par y , la troisième multipliée par >7, &c. , on aura, en vertu des équations de condition trouvées ci-dessus , l’équation

M(xy" — y x" ) -f W(£*" — *5") + &c. = 0,

qui est aussi , comme l’on voir , indépendante des conditions du système. En prenant son équation primitive, on aura

C étant une constante arbitraire. Ainsi on a tout de suite une équation du premier ordre entre les coordonnées x, y, ^ , r &:c. des différens corps. Or , .y y' — y x' = xy‘ -j* y x 1 — 2 y x' ; mais x y' -j- y x 1 est

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 163 la fonction prime de x y , c’est-à-dire , du .double de l’aire du triangle rectangle dont x est la base et y la hauteur , et y x 1 est la fonction prime . de l’aire de la courbe comprise entre l’abscisse x et l’ordonnée y ,■ donc

S era la fonction prime de la différence du triangL et de

l’aire dont nous parlons ; et i! est facile de voir que cette différence est en général , égale à l’espace compris entie la courte dont x et y sont les coordonnées , et la droite menée de l’origine de ces coordonnées à la courbe, c’est-à-dire, à l’aire du secteur décrit par cette même droite qu’on

nomme rayon vecteur.

Ainsi, nommant A cette aire, on aura xy' — y x‘= i A' ; et nommant de même x l’aire décrite par le rayon vecteur mené à la courbe dont £ et v sont les coordonnées , on aura pareillement £ »' — = 2 ,• et

ainsi des autres. De cette manière , l’équation précédente deviendra 2, M A’ + 2 N x' + &c. = C ; et comme les fonctions primes se rapportent ici au temps t , on aura cette équation primitive

D étant une constante arbitraire , qui sera nulle si on fait commencer les aires A , x &c. au commencement du temps t. Alors la somme des aires multipliées chacune par la masse correspondante , sera proportionnelle au temps.

II peut arriver , suivant la forme de la courbe dont x et y sont les coordonnées , que l’aire détrite par le rayon vecteur soit au contraire la différence de l’aire de la courbe et de celle du triangle „ auquel cas on aura x y 1 — y x' = — 2 A 1 ; mais il est facile de se convaincre que , dans ce cas , l’aire sera décrite dans un sens opposé. Donc , en généra! , la somme des produits des masses par les aires sera proportionnelle au temps , en prenant positivement les aires tracées dans le même sens , et négativement celles qui seraient tracées dans un sens opposé. C’est une remarque essentielle , et sans laquelle le théorème dont il s’agit ne serait pas vrai en général.

Cette loi des aires aura donc lieu dans le mouvement de tout système de corps agissant les uns sur les autres d’une manière quelconque ..

ad 4 -THÉORIE

pourvu que le système soit entièrement libre de tourner autour de l’axe des j perpendiculaire au plan des x et y ; car , il est visible que les conditions provenant de la liaison mutuelle des corps , seront alors les • mêmes , quelque direction qu’on donne aux axes des x et y.

Et Éles corps agissent les uns sur les autres par des forces d’attraction ■ou de répulsion , les fonctions dues à ces forces étant représentées simplement par les distances V [ ( x — £ )* + ( y — »)■•+• ({ — O* 3 ^ c *

( n.° zog ) , ces fonctions auront aussi la propriété que nous avons supposée , et par conséquent la même loi des aires aura encore lieu.

Enfin , si les corps M , N &c. étaient de plus animés par des forces quelconques P # Q , &c. , dirigées vers des points donnés de l’axe des f , éloignés du plan des x et y des quantités m, n , &c. , il est facile de conclure des formules du numéro 20 6 que l’on aurait à ajouter aux

valeurs de M x"

et N y", les termes respectifs

VU'+y-H î — «TT

et — tf— n — \—i-î m- ; et de même aux valeurs de M et N

VT* -r\y tU — m ) J *

les termes

VU* + »‘ + (f-

et

£jl

; et

ainsi de suite. Donc , les valeurs des quantités M ( x y" — y x" ) ,’ M ( ^ v" — » t*" ) &c. seront indépendantes de ces forces , et la loi des aires subsistera également dans ce cas ; donc elle subsistera aussi si les corps ne sont'animés que par des forces dirigées parallèlement au même axe , et par conséquent perpendiculaire au plan des x et y. *

117. Donc , en général , si le système est libre de tourner autour d’un axe fixe , quelle que soit l’action que les corps peuvent exercer les uns sur les autres et de quelques forces qu’ils soient animés , pourvu qu’elles tendent à cet axe ou qu’elles y soient parallèles , la somme des produits de la masse de chaque corps par l’aire que sa projection sur un plan perpendiculaire au même axe décrit auteur de cet axe , est toujours prooortionnelle au temps. , j

Si dmc le système était libre de tourner, d’une manière quelconque,

autour

•autour d’un peint fixe , et qu’outre l’action mutuelle des corps , chacun d’eux fût encore sollicité par une force quelconque tendant à ce point, la même loi des aires aurait lieu relativement k tous les axes qui passeraient par ce même point. Ainsi , dans ce cas, en prenant ce point pour l’origine des coordonnées, on aurait, relativement aux trois axes des coordonnées, ces trois équations du premier ordre ( n.° précédent ) :

C, D , E étant trois constantes arbitraires.

zi8. Si le système était entièrement libre, et qu’il n’y eût aucun point fixe , ces équations et par conséquent la loi des aires auraient lieu par rapport à un point quelconque qu’on prendrait pour î’origlke des coordonnées , et pour tous les axes qu’on ferait passer par ce point.

Il en serait encore de même dans ce cas , si le point dont il s’agit , au lieu d’être fixe dans l’espace , avait un mouvement quelconque rectiligne et uniforme. En elFet , supposons qu’il parcourre dans le temps t ks espaces et t , fi t, y t suivant la direction des axes des x , y , ^ , les vitesses *, / Z, y étant constantes, et soient p , q , r les coordonnées du corps M , y x > P celles du corps IV, &c. , rapportées à ce même point pris pour leur origine , il est clair qu’on aura p = x — et f , q = y — fit , r = q

— y t , et de même •*- = ç — a. t , x — » — fi t y p — (^ — y t ; et ainsi des autres. Donc , on aura p q‘ — q p 1 = ( x — et £ ) ( y ' — fi)

— (y — fit ) ( x' — «.) = x y‘ — yx 1 — « (ty' — y) -f- fi (tx' — x), et pareillement tt x' — Z 7 t' = Ç »' — » s — «.(£»' — » ) -ffi ( £ £' — £ ) ; et ainsi des autres formules semblables. On aura donc

M { pq' — q p' ) H- N ( tt x! — Z ) + &c - = M. ( x y' — y x') + -N ( <; y' — n % ) + & c.

— et t (, My' -4- N n' + &c. ) H- et (Afy + -N» 4* &c. )

+ fit (M x 1 -f N% + &c.) — fi(Mx + N£ + &c.).

Or , dans ce cas ( n ,** xn et xi 3 ), Mx + -f* Sic. = a t b,

My + N n + &c. = c t + d ; a , b , c , d étant des constantes : donc, faisant ces substitutions , il. viendra #

= M ( x y! — yx‘) -b N (£>,' — „£) 4- &c.. ^

-j- et J |3 5 = C ~r cr.d jS b.

Ainsi la quantité M(pq' — q p 1 ) -J~ -N ( — X.’ 7r ‘ ) &c. sera

encore constante ; par conséquent , la somme des aires décrites autour de l’axe des r passant par le point mobile , multipliées chacune par la masse respective , sera aussi proportionnelle au temps.

On trouvera , de la même manière , que les deux autres quantités M ( p r 1 — r p' ) -H N ( 7r p' — p tt 7 ) H- &c. , M {q r‘ — r q 1 ) ~b -N ( x p' — p x! ) ~b &c. , seront constantes, et qu’ainsi la somme des aires décrites autour des axes de q et p passant par le meme point mobile , multipliées chacune par la masse respective , sera*eucore proportionnée au temps.

Donc , puisque , dans le cas d’or.t il s’agit , le centre de gravité du système ne peut avoir qu’un mouvement rectiligne et uniforme ( n.° 2. 1 3 ),. il s’ensuit que la loi des aires aura lieu aussi par rapport au centre de gravité et pour tous les axes qu’on fera passer par ce centre.

Nous remarquerons encore que la loi des aires dont nous parlons , a lieu aussi comme celle, du mouvement du centre de gravité , et par la: même raison ( n." xi 3 ) , lorsqu’il survient des changemens brusques dans les mouvemens du système , par l’action mutuelle des corps qui le composent. Ainsi , la même loi peut s’appliquer également au choc des corps durs et à celui des corps élastiques.

119. Quelles que soient les conditions du système , les équations de condition / ( x ,-y , ? , £. . . ) = o , p ( * , y ,{»£...) = o , &c. donneront toujours , en prenant les fonctions primes relativement au temps t , dont les variables x , y , &c. sont d^s fonctions , xf (.r) + y'f (y) + ?'/' (?) + %f(& + « + Çf‘ (Q + &c. = o ,

*'p'(*) + ÿç'iy) + ?'?' (?) + £p' (Ô 4 - »'p'W + Ç'p' {Q + &c. = o ; et ainsi de suite. . .

Or, si le système n’éprouve que l’action des forces qui résultent Je

ces conditions , les équations du mouvement des corps M , N , &c. seront ■de la forme ( h.° zo 8 ).

M x" = n f'(x) +•* <p‘ ( AT ) + &C.

Donc, multipliant ces équations respectivement par*', &c,

et les ajoutant ensemble , on aura celle-ci ,

qui est entièrement indépendante des conditions du système , et qui , par conséquent , aura lien en général , quelle que puisse être la disposition et la liaison mutuelle des corps qui le composent.

Cette équation a pour équation primitive

dans laquelle II est une constante arbitraire. Or , nous ayons vu (n.° igy) que V ( -v' 1 4* y' 1 *+■ ç'* ) exprime la vitesse du corps qui décrit la courbe dont x , y , { sont les ctMponnées ; donc , si on nomme u la vitesse du corps M , v celle du corps N , et ainsi dc$ autres , on aura -V* 4- y* + ï' 1 = u\ ¥ + * n + = v% &c. ,

et .l’équation précédente deviendra 31 ir 4~ -N v J + &c. = H.

Dans la fameuse dispute sur l’estimation des forces , on a appelé force vive d’un corps en mouvement , le produit de sa masse et du carré de sa vitesse. Ainsi , en conservant cette dénomination , on voit per l’équation qu’on vient de trouver, que la somme des forces vives de tous les corps d’un système , est constante , lorsque ces corps n’éprouvent d’autrqp actions que celles qui résultent de leur liaison , et , en général, de toutes les conditions qui peuvent être exprimées par des équations entre les différentes coordonnées du corps , sans que le temps y entre. C’est dans cette loi que consiste le principe de la conservation des forces vives.

j.6B THÉORIE

no. Si les corps agissant de plus les uns sur les autres par desforces d’attraction ou de répulsion quelconques , ces forces donneraient à la vérité , des termes de la niémg forme n/ > (jr) J II/ / (y), &c. dans les valeurs des quantités Mx n t My‘', &c. , en prenant pour la fonction / ( x- , y , . . . ) la distance v' [ ( * — T + ( T — »)* + ({ — ^ 7 ] entre deux corps , et pour II la force absolue que ces corps exercent l'un sur l’autre ( n.° 209 ) ,• mais il est évident que la condition x'/' ( x ) -J- y' f (y) -H &c. = o , n’aurait pas lieu pour cette fonction r comme pour celles qui résultent des conditions du système. Ainsi, ces termes subsisteront dans l’équation indépendante des conditions du système/, et l’on aura par conséquent

M ( x' x" + y' y" + p f ) 4 - xV( + »' y," 4- £ ) *4- &c.

~n [x’f 1 (x) + y'/' (y) + ïf‘ (y) + U' (0 4 * + <pf’(Q 1 + &C.,-

où l’on voit que la quantité x'f (x) 4 - y'f 1 (y) -J- &c. est la fonction* prime relativement à t de la fonction J ( x , y , ç , qui est ici’

Donc , en général , si on désigne pa r p la distance rcctiiignc entre les corps M et N , et par P la force absolue d’attraction ou de répulsion que ces corps exercent l’iin sur l’autre , si on désigne de même par q la distance rectiligne errrr; deux autres corps du système , et par Q la force absolue d’attraction ou de répulsion entre ce^»ps , et ainsi de suite , en prenant les quantités P , Q , &e. , positivement lorsqu'elles tendent à augmenter les distances p, q , & c. , et négativement lorsqu’elles tendent à diminuer ces distances , et qu’on nomme u , v, &c. les vitesses des corps M, N, &c,,. l’équation précédente deviendra

Mu u’ -j- N v v 1 4 * &c. = P p' 4 ~ &c..

qui est également indépendante des conditions du système , mais qui renferme , comme l’on voit , les forces F, Q>, &c. d’attraction ou de répulsion mutuelle. . .

121. Enfin, si le? corps étaient en même temps attirés vers ces centres fixes ou repoussés de ces centres , la meme équation aurait encore lieu en prenant , par exemple , p pour la distance du corps ili à un centre

fixe , et P pour la force qui \ient de ce centre ; et ainsi des autres. Car, en peut déduire le cas des forces tendantes à des centres fixes , de celui des actions mutuelles des corps , en supposant que quelques-uns de tes corps deviennent immobiles , ce qui a lieu .lorsque leurs masses sont infinies ; mais , sans avoir recours à cette démonstration indirecte , il n’y a qu’à considérer que si le corps M , par exemple , éprouve l’action: d’une force P qui part d’un centre fixe dont la position soit déterminée par les coordonnées / , m , n , etdonr la distance à Msoltp , il en résultera ( n.° 206) dans les valeurs des quantités Mx" , My" , les termes

respectifs . p L f rr~ m ^ F ( * ~ Ai et par conséquent

dans la valeur de M(x'x" -fi- y'y-" -fi- ou de Muu'Jes termes

PI x — l)

p (. — „) fi

[ ( X — I y + (y — m y + ( 1 SjLzz J\ x r " 1 y 1 5 zz: .ILLà— . donc , les termes dont

; qtais p étant n y ] , on a

il s’agit se réduisent à P p'.

D’où l’on conclura , en général , que l’équation

Mu u 1 -fi- Nw' 4“ &c» = P p' "h Q.Ç 1 H - &c. a lieu pour un système quelconque de corps disposés ou liés entre eux d’une manière quelconque, et qui s’attirent ou se repoussenr réciproquement , ou sont attirés vers des centres fixes , ou repoussés par des forces quelconques P , Ç) , &c. , en nommant p , q, &c. les distances mutuelles des corps qui s’attirent ou se repoussent , ou leurs distances aux centres fixes d’attraction ou de répulsion , et prenant les quantités P , Q j &c. , positivement ou négativement , selon que ces forces seront répulsives ou attractives , parce que les premières tendent à augmenter les distancesp , q , &c. , et les secondes à les diminuer.

xii. Si les forces P , Q , &c. sont respectivement des fohetions quelconques des distances p, q, &c. , suivant lesquelles elles agissent , ce qu’on peut toujours supposer lorsque ces forces sont indépendantes les unes des autres , ou , en général , si les quantités P , Q , & c. sont des fonctions de p, q, &c. , telles que la quantité P p‘ . 4 - Q q 1 4~ &c.

! 7 o ' ■ ^ THÉORIE

soir la fonction prime cTune fonction de p , q , Scc . , que nous désigneront par F(p, q l’équation primitive de l’équation ci-dessus sera

Mur -f- N v 1 -f- Scc. = /f -f- z F (p , q . . .)

K étant une constante arbitraire ; et , dans ce cas , les forces P , Q , 6c c. t qui agissent suivant les lignes p , q , &c. , seront représentées par les fonctions primes P (p), F' (q) , Scc.

■ Soient a , b , Scc. les valeurs de p , q , &c. dans un instant donné, et U, V , 6cc. % les vitesses de M , N , Scc. dans cet instant , l’équation précédente rapportée à ce meme instant , donnera

MU * + NV* + &c. = K -f z Fia, b...),

d’où l’on tire K = MU'- -J- N JS* + &c. — z F (a, b ...); donc , substituant cette valeur , on aura l’équation générale Mu 1 -f- N v ’ ri - &c. = FI U- -j- M V z + Scc. -f* 2 . F(p, q . . . ) — z F(a, b. .

Cette équation renferme le principe de la conservation des forces vives pris dans toute sa généralité. Elle fait voir que la force vive totale du système ne dépend *que des forces actives qui animent les corps , et de la position des cürps relativement aux centres de ces forces ; de sorte que si , dans deux instans , les corps se trouvent à mêmes distances de ces centres, la somme de leurs forces vives sera aussi la même.

J'entends par force s actives , les forces que les corps exercent les uns sur les autres, et dont l’effet est de changer leurs distances ou leurs positions respectives , comme les forces intrinsèques d’artracrion ou de répulsion , les forces des retsorts placés entre les corps , Scc. Au contraire , j’appelle /brccs passives les forces de résistance produites par les pressions des corps , les tensions des fils ou des verges , Scc. , et dont l’effet est de maintenir les corps dans une même position respective , et d’empêcher que les conditions du système ne soient violées. Ces forces passives ne contribuent en rien , comme l’cn voit , à la production de ia force vive ; les forces actives seules l’augmentent ou la diminuent. , comme elles feraient , si les corps , étant mus librement , partaient des mêmes points et arrivaient aux mêmes points, en décrivant des ligaes quelconques.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. z 7 r

113. Nous avons vu qae la loi du mouvement du centre de gravité , et celle des aires , sont indépendantes de l’action mutuelle des corps , quelle que soit cette action , soit qu’elle vienne des forces passives ou actives ; ainsi , à cet égard , ces deux lois ont une plus grande étendue que la loi de la conservation des forces vives , qui n'est indépendante que de l’action des forces passives, il résulte de la que cette derniere loi ne peut pas subsister, comme les deux premières , dans les cas où , par l’action mutuelle des corps , ou par la rencontre d’obstacles, il survient des changemens brusques dans leurs mouvc-inens , parce que ces changemens sont ou peuvent toujours être regardés comme l’effet des forces actives de ressorts placés entre les corps , ou en#re eux et les obstacles , et qui , en se contractant ou se dilatant très-peu, maintiennent la loi de continuité dans la variation des mouvemens. La force vive des corps qui subissent ainsi des changemens brusques , reçoit , à chacun de ces changemens, une augmentation ou une diminution égale à la force vive que l’action de ces ressorts produiraient si les corps n’étaient soumis qu’à cette action.

Ainsi , si les corps M , N, &c. viennent à se rencontrer , ou à rencontrer des obstacles, de manière qu’il en résulte des changemens brusques dans leurs mttuvemens , on pourra appliquer à ces corps , pendant leur action , quelque courre qu’elle puisse être , la formule du numéro précédent ; de sorte qu’en nommant U, V, &c. leurs vitesses au commencement de * Faction, u,v les vitesses à la fin de l’action , désignant de plus par

les valeurs des distances p , cj , &c. au commencement , et par a., (è, &c. leurs valeurs à la fin de la même action , on aura MU'+NV'+frc.— Mtf-T-Nv*— 6 cc.==iF{a,b'.,.)~ 1 F( a ; £...). Ce qui montre que la différence des forces vives , au commencement et à la fin de l’action ,* sera % F {a, b . . . ) — * F ( «. , jS . ... ) , où Fon remarquera que, quoique les quantités a,./ 3 , &c. diffèrent- très-peu des quantités a, b , 6 c c., la différence des fonctions semblables F {a, b...) er F {cl, @ . . . ) peut avoir une valeur finie quelconque.

114, Comme ces fonctions sont inconnues, on ne pourrait pas déterminer , de cette manière , la variation de la force vive ; mais, dans les cas partieti îiers , on pourra la trouver d’après les conditions du problème.

Lorsque des corps se choquent, soir immédiatement, soit par l’entremise de leviers ou c!e machines quelconques, si les corps sont parfaitement élastiques , la compression et la restitution se font suivant la même loi , et l’action est censée durer jusqu’à ce que les corps soient revenus , par la restitution du ressort , à la même position respective où la compression a commencé. On aura donc pour ce cas , dans l’équation' précédente , a. = a , 3 = h , & c. , et par conséquent F ( a., jS . , . ) = F( a, b . . . ) ,* d’où il suit que la force vive sera la même avant et après le choc ; ce qu’on sait depuis long- temps , mais dont on n’avait pas, que je sache, une démonstration simple et générale.

Au contraire, dans le choc des corps durs, l’action n’est censée durer que jusqu’à ce que les corps aient acquis des vitesses en vertu desquelles ils ne se nuisent plus , et qui , par conséquent , ne produisent point d’action entre eux. Ainsi , l’etTet de ces vitesses sur l’action mutuelle des corps étant nul, si on leur imprimait ces mêmes vitesses avant l’action f elle serait la même en vertu des vitesses composées de celles-ci et des vitesses propres des corps. Donc , elle serait encore la même , si les vitesses imprimées étaient égales et directement contraires à celles dont nous parlons , car l’action ne varierait pas , en supposant qu’on détruisît ces vitesses imprimées , par des vitesses opposées.

Il s’ensuit de là que , dans le choc des corps durs, les vitesses u , v, & c. , après le choc , doivent être telles que, si on imprime aux corps AI, N, &c. •

ces mêmes vitesses en sens contraire , l’équation AI U 1 + N V z + &c. —

Ain 1 — N v 1 — &c. = x F {a , b . . ) — iF(«,$..)du numéro précédent subsiste également. Or , les termes qui en composent le second membre , ne dépendant que de l’action mutuelle des corps, demeurent nécessairement les mêmes ; donc la valeur de Al U x -f- N F” 1 + &c. —

AI u z — À r v" — &c. , ne changera pas en composant lés vitesses U , V, &c. et les vitesses u , v , &c. avec les vitesses — u , — v , & c. Si donc on nomme A la vitesse composée de U et de — u , B la vitesse composée de V et de — v, &c. , on aura l'équation AI U 1 -j-.N V'- + &c. — M u r — N v~ — &c . = AI A 1 -}- N B 1 -j- &c. , puisque les vitesses composées u — u , v — v, &c, sont nullcs.

Gemme U, V, &c. sont les vitesses avant le choc, et //, v les vitesses

après

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i 7 j après le choc , il est clair que A , B , & c. seront les vitesses perdues par le choc ; par conséquent , M A} -J- N B* -f- Sec. sera la force vive qui résulterait de ces vitesses ; d’où l’on tire cette conclusion : que , dans le choc des corps durs , il se fait une perte de forces vives égale à ia force vive que les mêmes corps auraient s’ils étaient animés chacun de la vitesse qu’il perd dans le choc. Ce théorème remarquable est dû , je crois, à Carnot , qui l’a trouvé d’une autre manière dans son Essai sur les machines en général ; il est utile pour compléter l’équation des forces vives , dans les cas où il se fait une perte de ces forces par le choc.

nj. Dans l’équation du n.° m

Mu u' - 1 - Nvv 1 -j- &c. = P p' -j- Qq 1 + &c. , les quantités p , q , &c. désignent les distances rectiligues des points où les forces P , Q , &c. sont appliquées, aux centres de ces forces; ainsi , les quantités p‘ , q' , Sec. expriment les vitesses de ces points suivant les directions de ces mêmes forces, et comme les quantités p, q , &c.n’enrrent point dans l’équation , il s’ensuit qu’elle a toujours lieu , quelles que soient les forces P, Q, & c. , soit qu’elles tendent à des poiors donnés ou non, pourvu que l’on prenne pour p',q' , Sec. les vitesses respectives des points où ces forces sont appliquées suivant les directions mêmes des forces.

Si les forces P, Q , &c. étaient en équilibre, la quantité Pp' -j- Qq' -f- Sec. serait nulle par le principe des vitesses virtuelles (n.° z i o ) : ainsi l’équation précédente montre ce que cette quantité devient lorsque les forces produisent du mouvement ; et l’on voit qu’elle est alors égale à la fonction prime de la moitié de la force vive de tous les corps du système , quelle que soit d’ailleurs la disposition et la liaison mutuelle de ces corps.

Donc si , dans un instant quelconque , les forces qui agissent sur le système viennent à se contre-balancer , la fonction primd de la force vive sera alors nulle, et par conséquent, la force vive sera un maximum ou un minimum ( n° 1 31 ). En général , de toutes les situations que le système peut prendre , celle où il serait en équilibre , est aussi celle où sa force vive serait un maximum ou minimum , s’il était en mouvement ; et il est démontré que l’équilibre sera stable lorsque la force vive sera un maximum , et qu’il ne le sera pas , lorsque la force vive sera un minimum. ^

Mm

174 TI-IÉORIE

Mais la démonstration de cette propriété singulière de l’équilibre ne peut pas ctre insérée ici. V oye^ la Mécanique analytique.

xrS". Puisque les quantités p', q ' , & c. n’expriment que les vitesses des points où sont appliquées les forces F , Q , &c. , estimées suivant la direction de ces forces, on peut prendre pour p,q, 8 tc. les espaces simultanés parcourus par ces points , suivant ces directions. Ainsi P p 1 sera la fonction prime de l’aire de la courbe dont l’abscisse serait égale à p et l’ordonnée rectangle serait P et de même Qq 1 sera la fonction prime de l’aire de la courbe dont l’abscisse sera q et l’ordonnée Q; et ainsi des autres ( n. c 1 35 ). Donc , si on désigne respectivement ces aires par (F), ( Q), &c. , et qu’on prenne les fonctions primitives des deux membres de l’équation dont it s’agit ( n 0 prie. ) , on aura , en multipliant par 2 et nommant U, V les vitesses de M, N, & c. lorsque les aires ( F ) , ( Q ) , &c. sont supposées commencer :

Mu* -\*Nv' -f- &c. — MU 1 — NV 1 — &c.=i= 1 (F) + i( Q) -f- &c.

Cette équarion est la même que celle du n.° 221 , qui renferme le principe de la conservation des forces vives ; mais elle est présentée ici d’une manière indépendante des fonctions qui peuvent représenter les forces P, Q, &c.

Si on suppose que ces forces agissent chacune séparément sur des corps libres dont les masses soient m, n, & c. , on aura, par les équationsfondamentales du n.° 199 , mp' , =: P , nq" = Q, & c. ; donc , multipliant respectivement par 2 p ' , 2 q 1 & c. , et prenant les fonctions primitives r on aura mp)' m = a + 2 (F), nef 1 = b + 1 ( Q), et ainsi des autres , a et b érant des constantes arbitraires. Donc, si on suppose , pour plus de simplicité , que les vitesses p 1 , q 1 , &c. soient nulles, lorsque les aires (F) , ( Q ), &c. commencent , on aura a = o , b = o , & c.; et par conséquent

mp n == 2 ( F ) nf = 2 (Q), &c. ,

où l’on voit que mp lz , n q 1 ' , &c. sont les forces vives produites séparément et librement par les forces F , Q , &c. pendant la génération des aires ( P ) , ( Q ) , &c. ; de sorte que ces aires elles-mêmes sont égales à h» moitié des forces vives produites.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. lyj

Donc , lorsque ces forces agissent sur des corps liés entre eux d’une manière quelconque , elles produisent , dans tout le système , une augmentation de force vive égale à la somme des forces vives que chaque force produirait en particulier si elle agissait seule sur un corps libre , et qu’elle lui fît parcourir , suivant sa direction ,• un espace égal à celui qtie le corps parcourt réellement , suivant la même direction. C’est proprement ce qui constitue le principe de la conservation des forces vives.

xiy. Cette loi des forces vives est d’une grande importance dans la théorie des machines. L’objet général des machines est de transmettre l’action des puissances motrices , de la manière la plus propre à vaincre les résistances qui s’opposent au mouvement qu’on veut produire. Ces résistances n’étant que des forces qui agissent dans un sens contraire a celui des puissances , on peut les regarder et traiter comme des puissances négatives. Ainsi , dans une machine quelconque en mouvement , l’augmentation de la force vive totale est toujours égale à la somme des forces vives que les puissances auraient produites , moins la somme de celles qui auraient pu être produites par les résistances , si les points sur lesquels . ces forces agissent s’étaient mus librement*

On peut réduire à la gravité et aux ressorts presque toutes les forces dont nous pouvons disposer. Un poids P , en descendant librement d’une hauteur h, acquiert une force vive égale à a Ph; car , dans ce cas, la force P étant constante, l’air ( P ) est égale au produit de l’ordonnée P par l’abscisse h(n,° 2x6). Ainsi, lorsqu'on a à sa disposition une chute verticale h d’un pui^fc P f on peut dépenser une force vive égale à a P h, laquelle peut être employée da»s une machine comme puissance ou comme résistance. Un ressort bandé , produit, en se débandant librement , une force vive qui dépend de la force du ressort et de l’espace par lequel le ressort peut se débander , et qui est égale au double défaire (P) (n/ 2x6). Donc , si on a à sa disposition un ressort bandé jusqu’il un certain point , et qui puisse se débander par un espace donné , on est le maître de dépenser une force vive donnée et de l’employer dans une machine quelconque. Ainsi , on peut dire qu’une chute d'eau , dont la quantité et la hauteur sont données; qu’une quantité donnée de charbon, eu tant qu’elle peut

T H É O R I E , Sic:

être employée à vaporiser une quantité donnée d’eau ; qu’une quantité donnée de poudre à canon ; qu’une journée de travail d’un animal donné , &c. renferment une quantité déterminée de force vive , dont oa peut disposer , mais qu’on ne saurait augmenter paraucun moyen mécanique.

On peut donc toujours regarder une machine comme destinée à détruire une quantité donnée de force vis e en consumant une autre force vive donnée. Et il suit du principe général , que la force vive des puissances motrices doit surpasser celle des résistances , de la quantité dont la force vive totale de tous les corps qui se meuvent eu vertu de ces forces augmente pendant que ces mêmes forces vives se consument; et s’il arrivait des changemens brusques dans leurs mouvemens, il y faudrait ajouter la somme des forces vives qui résulteraient des vitesses perdues dans les choes ( n.° 22^. ).

On peut calculer de cette manière l’effet de toute machine , et déterminer les conditions nécessaires pour que cet effet devienne le plus grand qu’il est possible , relativement aux circonstances de la machine donnée.

atS. Je ne m’étends pas davantage sur les applications a la mécanique*, et je ne m’arrêterai pas à résoudre des problèmes particuliers. Comme mon dessein n’est pas de donner un Traité de mécanique, je me contente d’avoir déduit de la théorie des fonctions * les principes et les équations fondamentales du mouvement , qu’on ne démontre ordinairement que par la considération des infiniment petits. Je m’étais proposé de montrer , dans une troisième partie, la correspondance du calcul différentiel avec la théorie des fonctions, et d’y faire voir principalement que lata^thode des infiniment petits n’est qu’un instrument ingénieur fondé sur cette théorie , et destiné abréger les opérations qui en dépendent ; mais comme ces rapprochemens .'ne sont pas difficiles, pour ne point trop grossir cet Ouvrage, je les fi laisse à foire à ceux de mes lecteurs qui possèdent le calcul différentiel ; et d’ailleurs- , je si’en crois dispensé par le nouveau Traité du calcul différentiel de Lacroix , où ce calcul est présenté sous tous ses points de.

(lie , et développé avec tour le détail qu’on geur désirer.

: v fin : ..

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