rnf ( I ) 4 - m'-f. ( i ) 4- m'f ( 3 ) -p &c

4 -mf { 1 , 1 ) -P ni 1 / ( 1 , i ) 4 - n/f ( 1 , 3 ) + &c. ,

4 - mf ( i , 1 ) 4 - tn 1 / ( i , a ) -P nff (1,3) 4 - &<-% ,

4 - mf ( 3 , 1 ) 4- rn-f (3,1)4- m 3 / ( 3 > 3 : ) 4 - &c. ,, -p &c»

D’un autre côté , il 6st visible que ces deux substitutions successives.

-il THÉORIE

équivalent à une substitution unique qu’on ferait dans la fonction j ' ( x , y , ç . . . ) , en mettant

x H- ( x + m ) cl , y -f ( i -f ) £ , { + ( ï + n),y< & c * à la place de r, y, [, <Sec. , et qui donnerait, par le développeront, /( y, î • • • ) + ( i + m )/( i ) + ( i -i- m )*/( i ) -J- ( i + m'ff ( 3 ) +• &c.

Ainsi , il faudra que ces deux dévelcppemcns soient identiques , et que par conséquent les termes qui renferment les mêmes dimensions c!e et , j 3 , ’y j fcc. soient égaux de part et d’autre , quelle que soit d’ailleurs la quantité m. On aura donc les comparaisons suivantes :

/( 3 ) - 1 - m *f( 3 ) + «‘/C*»*) + nl f(->* )= ( 1 + m y fi 3 ) >

et ainsi de suite.

Et comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de m, on tirera ces valeurs ,

/(i, 3 )=^ 4 /( 4 ),/(i, i)= 6 /( 4 ),/( 3 , i) = 4 /( 4 ), fcc.

Dans le cas du n.° 183 , en prenant les quantités y , y', y" , &c. pour autant de variables indépendantes, et u , oJ , J', &c. pour les quantités dont on les fait croître respectivement , il est clair que les quantités P, Q, R 3 &c. répondent aux quantités /(ï)*/( 1 )»/( 3 )* » et

les quantités p , q ,r , &c. aux quantités /( 1,1) ,/( i, 1 ) ,/( 3, x ), &c. Ainsi les formules précédentes donnent sur-le-champ les relations />= i Q, ^ = 3 K, &c. , dont nous avons fait usage.

Nous remarquerons encore que, d’après les relations précédentes, on pourrait simplifier la démonstration du même numéro. Car , puisque la quantité P ou j ( 1 ) est une fonction prime, y‘et o> étant quelconques,

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. nj

toute? les quantités /( i , i),/(i,i),/(i, 3), &c. , qui résultent du développement de / ( i ) , seront , chacune en particulier , des fonctions primes ; donc les quantités /(î-),/( 3)»/(4), & c; » c’est-à-dire ,

Qj R, S, & c. , seront des fonctions primes; donc, &c.

Nous terminerons ici les applications de la théorie des fonctions à la. géométrie : nous aurions pu les étendre plus loin , si les bornes de cct écrit L’avaient permis ; mais il suffit d’avoir tracé la route , pour démontrer en toute rigueur , par cetre théorie , les propriétés des courbes et des surfaces qui dépendent du calcul différentiel.

Application à la Mécanique

1 5 5. Je vais maintenant considérer la théorie des fonctions relativement à la mécanique. Ici les fonctions se rapportent essentiellement au temps , que nous désignerons toujours par t ; et comme la position d’un point dans l’espace dépend de trois coordonnées rectangulaires .r, y, ces “ coordonnées r dans les problèmes de mécanique, seront censées être des fonctions de t. Ainsi , on peut regarder la mécanique comme une géométrie à quatre dimensions , et L’analyse mécanique comme une extension de Panalyse géométrique.

Considérons d’abord le mouvement rectiligne , er supposons que x soit Fespace parcouru pendant le temps t , on aura x =s f t , et la fonction f t devra è^re telle qu’elle devienne nulle lorsque x = o. La forme la plus si mple de f t est évidemment a t ; ce qui donne t = a étant une constante : ainsi , dans le mouvement représenté par cetre équation , les espaces parcourus sont toujours proportionnels aux temps écoulés depuis Le commencement du mouvement ; ce qui est la propriété du mouvement qu’on appelle uniforme. La constante a * qui exprime le rapport de l’espace au temps, est la mesure de ce qu’on nomme la vitesse; c’est le seuL élément qui entre dans certe espèce de mouvement , et par lequel un .mouvement uniforme diffère d’un autre mouvement uniforme.

L’observation et l’expérience nous font voir qu’un corps mis en mouvement d’une manière quelconque, si 0:1 écarte toutes Iss causes d’altérarioo

qui peuvent agir sur lui, continue à se mouvoir de lui -même» d’un mouvement rectiligne et uniforme ; d’eà il suit que la vitesse une fois imprimée , se conserve toujours la même , et suivant la même direction : c’est en quoi consiste la première loi du mouvement.

Si on représente le temps par l’abscisse , et l’espace parcouru par l’ordonnée d’une ligne , il est clair que cette ligne sera pour le mouvement uniforme une droite passant par l’origine des abscisses , et que la tangente de l'angle qu’elle fait avec l’axe sera la mesure de la vitesse du mouvement.

186. La fonction de t , la plus simple après at, est If; en prenant cette expression pour f t , on aura une autre espèce de mouvement rectiligne représenté par l’équation * = bf, dans laquelle les espaces parcourus depuis l’origine du mouvement sont proportionnels aux carrés de temps.

L’observation et l’expérience nous présentent aussi journellement ce mouvement dans les corps qui tombent par leur pesanteur , en faisant abstraction de la résistance de l’air , et de toute autre cause étrangère d’altération, La constante b , qui est le seul élément qui entre dans la constitution de ce mouvement , est la même pour tous les cotps dans le même lieu de la terre , et dépend de la force de la gravité qui le produit et qui agit sans cesse de la même manière sur le mobile. Ainsi, ce mouvement ne se continue qu’en vertu de la force qu’on peut regarder comme une cause extérieure agissant continuellement sur le corps , et dont le coefficient b est la mesure.

Comme dans ce mouvement les espaces augmentent en plus grande raison que les temps , on le nomme mouvement accéléré, et en particulier, on appelle celui dont il s’agit, uniformément accéléré , par la raison que nous verrons dans un moment.

Si on représente ici le temps par l'abscisse , et l’espace parcouru par l’ordonnée d’une courbe , on voit que cette courbe sera une parabole

dont le paramètre sera — | , et dont l’axe principal ser^ l’axe des'

ordonnées y.

. Le

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. nj Le mouvement le plus simple , après celui que nous venons de considérer , serait celui où l’on aurait x = c t 3 ; mais la nature ne nous offre aucun mouvement simple de cette espèce , et nous ignorons ce que le coefficient c pourrait représenter , en le considérant d’une manière absolue et indépendante des vitesses et des forces. *

Ce sont là les mouvemens simples dont toutes les autres espèces de mouvement peuvent être regardées comme composées ; et l’art de la mécanique consiste dans cette composition et décomposition , d’où résultent les rapports entre les temps , les espaces , les vitesses et les forces.

187. Si l’on réunit les deux espèces de mouvement que nous venons de considérer , on aura le mouvement représenté par l’équation x = a t .-j- b r m qui sera par conséquent composé d’un mouvement uniforme et d’un mouvement uniformément accéléré, et qui résultera de la réunion des deux causes qui peuvent produire chacun d’eux en particulier, c’est-à-dire , d’une vitesse proportionnelle à a, primitivement imprimée , et d’une force accélératrice proportionnelle à b , agissant continuellement sur le mobile.

La nature nous offre aussi la composition de cês deux mouvemens dans les corps pesans lancés verticalement de haut en bas , eu de bas en haut , en faisant abstraction de la résistance de l’air , et de toute autre cause ‘étrangère. Dans leà corps lancés verticalement de haut en bas , la force b agit dans la direction même du mouvement , comme nous le supposons ; mais dans les corps lancés verticalement de bas en haut , la force b agit en sens contraire , et devient par conséquent négative ; elle tend ainsi à retarder le mouvement du corps , et s’appelle alors force retardatrice. Le mouvement lui-même s’appelle, dans ce cas, uniformément retardé.

L’observation nous fait voir que , dans la composition de ces deux mouvemens , chacun d’eux se conserve comme s’il était seul dans le mobile , de manière que l’espace parcouru au bout d’un temps quelconque, est exactement la somme ou la différence des espaces que Ic^iobiJe aurait parcourus séparément en vertu des deux causes qui produisent les deux mouvemens ; de sorte que le résultat , c’est-à-dire , l’espace parcouru , est le même que si les deux mouvemens avaient lieu séparément % et successivement.

Ff

1 83. ConsicTétons maintenant un mouvement rectiligne qnelconqt?e représenté par l’équation x = / 1 . Au bout du temps t , le mobile auraparcouru i’espace/f ; et au bout du temps r -f- ô ^ il aura parcouru l’espace /( t + 9 ) : par conséquent , la différence /(t+ 6 ) — f t sera l’espace-, parcouru pendant le temps 6 , qui a commencé à l’instant où le temps t a fini. La fonction f (t -J- 0 ) étant développée suivant les puissances

de 9 devient / 1 + 9/' t -J — f" t 4 ? &c. , comme on l’a vu dans la

première partie ; donc l’espace parcouru durant le temps 9 , sera représenté

par la formule ôf'c-f 9 - — f" t 4 — f" 1 1 4 “ &c. dans laquelle le*

jfemps t écoulé avant le temps 9 est maintenant regardé comme une* constante. Ainsi , le mouvement par lequel cet espace est parcouru, sera' composé de différais mouvemens partiels, dont les espaces répondant au;

temps 6 seront t , f 11 1, — — — p 1 *^&c. ; et l’on voit que le premier’

de ces mouvemens partiels sera uniforme avec une vitesse mesurée par" f t (n° t 8 5 ) , et que le second sera uniformément accéléré et dû à une* force accélératrice proportionnelle z if" t (Th* 1 86 ). A l’égard des autres,, comme ils ne se rapportent à. aucun mouvement sirfiple connu , il ne ■ sera pas nécessaire de les considérer en particulier , et nous allons faire voir qu’on peut en faire abstraction dans la détermiuation du mouvement aucommencement du temps 9.

En effet, si on développe la fonction f{t -f- 9), suivant la formule

générale du n.° 1 47 , on aura f t 4* &/' f 4" — f " f 4* ■ J ■ f" ( t 4- A 9 ) -

7s étant un coèfficient inconnu , dont la valeur est nécessairement comprise entre o et 1 ; de sorte que l’espace parcouru dans le temps 9 sera exprimé

exactement par la formule 9/' t 4 f" 1 H 7 “ — f" ( t 4- A 9 )..

Les deux prqjjiers termes représentent, comme l’on voit, le mouvement composé d’uniforme et d’uniformément accéléré ; le troisième représente la totalité des autres mouvemens , qui se combinent avec celui-là , et qui . empêchent le vrai mouvement d’être un simple résultat de ces deux. Mais* j’observe qu’on peut prendre 6 , assez petit pour que le mouvement composé:

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. xi*

âej deux termesôy 1 t H — f" t approche plus du véritable mouvement

-que ne pourrait faire tout autre mouvement composé d’un mouvement uniforme et d’un mouvement uniforménfbnt accéléré. Car , la différence des espaces parcourus pendant le temps 6 , par le mouvement -composé dont il s’agir et par le véritable mouvement , sera exprimée

par ( t + \ê ) ; mais l’espace parcouru par tout autre mouvement

composé d’un uniforme et d’un uniformément accéléré , étant représenté par a 0 -f- b 6’ ( n.‘ 1 8 y ) , la différence entre cet espace et le véritable

espace parcouru sera f)(/'t — + f"t — b) -f- + A0 )»•

«t il est aisé de prouver par un raisonnement semblable à celui du n.® 1 1 1 , que tant que a et b différent de f t et if't , on ptîurra toujours prendre 0 assez petit pour que cette dernière différence surpasse la première , e* que .dès que cette condition aura lieu pour une valeur de 0 , elle aura Jieu , à plus forte raison , pour toutes les valeurs plus petites. Donc le terme 6ft exprime tout ce qu’ihpeut y avoir d’uniforme dans le mouvement

propose, considéré au commencement du tempsô, et le terme— f't

.exprime de même tout ce qu’il peut y avoir dans ce mouvement, d’uniformément accéléré.

On peut conclure de-là que tout mouvement rectiligne , représenté par f équation x—ft, peut , dans un instant quelconque au bout du temps t , être regardé comme composé d’un mouvement uniforme dû à une vitesse •imprirOée au mobile , mesurée par/* t, et d’un mouvement uniformément accéléré dû à une force accélératrice agissant sur le mobile et proportionnelle à simplement tif't; que par conséquent , si les causes

qui empêchent le mouvement proposé d’être uniforme , venaient à cesser tout-à-coup , le mouvement se continuerait , dès cet instant, d’une manière uniforme avec une vitesse mesurée par f t ; et que si l’effet de ces causes , au lieu de devenir nul , devenait constant , le mouvement deviendrait composé du mouvement uniforme dont nous venons de parler , et d’un mouvement uniformément accéléré , commençant au même instant , en vertu d’une force accélératrice constante et proportionnelle à /"f,

Ff a,

ai8 THÉORIE

' Plusieurs'phénomènes de la nature, et sur-tout les résultats des dlfÉSrentes expériences qu’on a imaginées sur la chute des corps , confirment pleinement la conclusion que nous venons de trouver , et qui doit être regardée comme le principe fondamental de toute la théorie du mouvement..

189. Donc , en général, dans tout mouvement rectiligne dans lequell’espace parcouru est une fonction donnée du temps écoulé , la fonction prime de cette fonction représentera la vitesse , et la fonction seconde représentera la force accélératrice dans un instant quelconque; car, comme les temps, les espaces , les vitesses et les forces sont des choses hétérogènesqu’on ne peut comparer ensemble qu’après les avoir réduites en nombresen les rapportant chacune à une unité déterminée dans son espèce , noies pouvons, pour plus de simplicité, exprimer immédiatement la vitesse et la force par les fonctions primes et secondes , comme nous exprimons, l’espace par la fonction primitive. D’où l’on voit que les fonctions primes et secondes se présentent naturellement dans la mécanique , où elles ont une valeur et une signification déterminées : c’est ce qui a porté Newtou à établir le calcul des. fluxions sur la considération du mouvement. Ainsi l’espace , la vitesse et la force étant regardés comme des fonctions dm temps , sont représentés respectivement par la fonction primitive , par sa fonction prime et par sa fonction seconde ; de manière que connais*sant l’expression de J’espace par le temps , on aura tout de suite celles; de la vitesse et de la force par l’analyse directe des fonctions ; mais si. on ne connaît que la vitesse ou la force par le temps , il faudra alors remonter aux équations primitives- par. les règles de l’analyse invltse.

Désignant donc par x l’espace parcouru durant le temps t , et regardant x comme fonction de t , on aura , suivant la notation employée jusqu’ici , a' pour la vitesse au bout de ce temps , et a" pour la force accélératrice dans le même instant ; d’où l’on voit que si la loi du mouvement est donnée par une relation entre le temps , l’espace , la vitesse et la force-, on aura une équation du second ordre entre r,x , x', x", d’où il faudra tirer l’équation primitive en t en x par les règles de l’analyse inverse des fonctions , et on déterminera les deux constantes arbitraires qui. eutreront dans cette équation., par les valeurs données dex et de x' dans.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 2:7 on instant donné , c’esr-x-dire , par l'espace et la vitesse , qu’on suppose connus dans cet instant.

Dans le mouvement uniforme représenté par l’équation x = a t , on aura donc x 1 = a , x" = o ; ainsi , le coefficient a , rapport de l’espace parcouru au temps, exprimera- la vitesse, et la force accélératrice sera nulleîRns le mouvement uniformément accéléré et représenté par x = £t\ on a«a x'=,ibt et x" = x b. Ainsi, la vitesse dans un instant quelconque est proportionnelle au temps écoulé depuis l’origine du mouvement. Le rapport entre la vitesse et le temps exprime la force accélératrice , et est double du rapport entre l’espace parcouru et le carré du temps. L’augmentation continuelle et uniforme de la vitesse dans cette espece de mouvement , lui a fait donner le nom de mouvement uniformément accéléré.

Ce qu’il y a de plus simple et de plus naturel pour comparer les forces accélératrices c’est de prendre la force de la gravité dans un lieu

donné pour l’unité. Ainsi, on aura pour le corps pesant xb = 1 , et b = ~ ;

donc x = — , x 1 = t = V x x ; de sorte qu’on peut déterminer la

vitesse par la racine carrée du double de la hauteur d’où un corps pesant doit tomber pour acquérir cette vitesse. Par conséquent , si on veut prendre une vitesse donnée pour l’unité des vitesses , il faudra alors prendre pour l’unité des espaces le double de la hauteur nécessaire pour la produire.

190. Nous venons d’examiner la nature et les propriétés du mouvement rectiligne ; le mouvement curviligne se réduit naturellement à deux on trois mouvemens rectilignes , suivant que la courbe décrite'par le mobile est à- simple ou à double courbure. En effet , en rapportant cette courbe à deux ou trois coordonnées rectangulaires x , y* f , il est clair que la détermination du point de la courbe où le mobile se trouvera à chaque instant , dépendra de la valeur de ces coordonnées au même instant , de sorte que chacune de ces coordonnées sera une fonction- donnée du- temps, et pourra représenter l’espace rectiligne parcouru par un mobile qui serait la projection du vrai mobile sur chacun des trois axes des même*, coordonnées.

Ainsi , si le mouvement se fait dans un plan , il pourra être représenté par les deux équations x = ft , y = Ft, d'où éliminant t , on aura en x et y l’équation de la ligne parcourue par le mobile. Si le mouvement se fait dans des plans différens , il sera représenté alors par les trois équations x = ft, y = Ft , j = <p t -, d’où éliminant t , on aura deux équations en x , y , ç , qui détermineront la ligne à double «Pfrbure

.décrite par le corps. jk'

19 1. Supposons d’abord que les trois mouvemens relatifs aux axes des x , y , f soient uniformes, on aura x= ai , y = b t , { = et, a, b, c étant les vitesses de ces mouvemens,. Éliminant t, on aura

y = et £ = , deux .équations rjui apparriennent à une ligne

droite passant par l’origine des coordonnées , et dont les projections sur les plans des x , y et des x , ç font ., avec t’axe des x , des angles dont

— — et — sont les tangentes. La partie de cette droite qui répond aux

coordonnées x,y,^, sera donc V ( ** -f- y* -j- f ) = r V ( + £* -f- c* );

ce sera l’espace décrit pendant le temps t , en .vertu des trois mouvemens .uniformes. Ce mouvement composé sera donc aussi rectiligne et uniforme , avec une vitesse égale à V ( û* -j- b 1 + c* ). A l’égard de sa direction , il est plus simple de la rapporter aux trois axes des coordonnées x , y, ç, et il est visible que, puisque ai , b t , et sont les projections de la ligne

/V ( a* ■+* + c 1 ) sur les trois axes , les rapports

y (a - 4: 77 » y seront les cosiqus des aD S lcs <î ue

cette direction fait avec les mêmes axes, La somme des carrés de ces cosinus est , comme l’on voit , égale à l’unité , ce qui est la propriété connue des angles qu’une même droite fait avec trois autres droites perpendiculaires cntr’elles.

191.. Nommons A la vitesse du mouvement composé , et a, $ , y les angles que la direction de ce mouvement fait avec les trois axes , on jaura A = V ( + b 1 = c* ) et

= co§. ft

= cos.

— cos, y i

d’où l’on rire

a = ^ cos. cl, b = cos. c = A cos. y.

On voit par-là comment la vitesse A d’un mouvement uniforme ,suivant une direction donnée , peut se décomposer dans trois vitesses v a , b , c sflivant des directions perpendiculaires entre elles.

Si donc un corps avait à la fois deux vitesses A et B suivant des directions données , faisant T avec trois axes perpendiculaires entre eux , les angles respectifs * , 3» y et X , fx , 1 , il en résulterait , suivant ces mêmes axes ,, les vitesses composées A cos. et + B cos. X, A cos. 3 -f*

B cos. /x -, A cos. y + B cos. » ; et ces vitesses donneraient une vitesse unique C, avec une direction qui ferait, avec les mêmes axes y les angles 7 r , p , <r , de manière que l’on aurait

C cos. 7 t = A cos. et + B cos. X,

C cos. p = A cos. J3 4 -B cos. /x ,■

C cos. <r = A cos. y 4 B cos. v.

Comme les lignes A cos. «, A cos. 3, A cos. y sont les projections sur les trois axes de la ligne A prise sur la direction de la vitesse A, et ainsi des autres quantités semblables, il est facile de conclure des équations^ précédentes , que , si on place les deux lignes A et B l’une au bout de l’autre , suivant leurs propres directions, la ligne C joindra ces lignes, de sorte que A , B , C seront les trois côtés d’un triangle ; et si , sur les deux lignes A et B partant d’un même point , on construit un parallélogramme , la ligne C en sera la diagonale. De cette manière , la composition et décomposition des vitesses se- réduit àr une considération géométrique très-simple ; mais pour lé calcul , il est plus simple encore dé tout rapporter à trois axes perpendiculaires entre eux par les formules précédentes, qu’on peur étendre à autant de vitesses qu’on aura à composer.

Nous remarquerons encore que si on nomme A l’angle des deux lignesr A et B partant d’un même point , le carré de la ligne qui les joindra, sera exprimé , comme l’on 'sait , par A 1 — ■ i. A B cos. A+B 1 . D’un autre côté , en considérant les projections de ces lignes , il est aisé de voir que ce. même carré sera exprime par ( A cos. «. B cos. X- )* 4?“

( A cos. 3 — B cos. ju )* -j- (4 cos. 7 — B cos. * )* = A* + B ! — ï A B ( cos. «. cos. X -f- cos. 3 cos. /x -j- cos. y cos. r ) , d’où l’on tire , par la comparaison , cos. A = cos. a cos. X -J- cos. 3 cos. p -+- cos. y cos. y , équaficn qui donne la relation entre l’angle A de deux lignes et les angles a, 3 > y et X , p , y que ces lignes font avec trois axes perpendiculaires entre eux. Cette relation est connue dans la trigonométrie sphérique ; mais comme nous aurons occasion d’en faire usage dans la suite , nous avons été bien aises de la démontrer par la méthode des projections.

193. La considération des mouvemens uniformes nous a donné la composition et la décomposition des vitesses ; celle des mouvemens uniformément accélérés nous donnera de même la composition et la décomposition des forces.

En effet , supposons que les trois mouvemens rectilignes suivant les axes des coordonnées x , y , ç , soient uniformément accélérés et produits par des forces accélératrices g , h , k , on aura ( n.‘ 1 8 g ) x = { g i z , y — i ht*, 1 — i ki\

L’élimination de t donne y = — — — , \ , ce qui fait voir

que la ligne décrire en vertu de ces mouvemens , est aussi une droite passant par l’origine des coordonnées. La partie de cette droite qui répond aux coordonnées x , y , ç .sera donc aussi V ( x* + y* -J- f- ) j t* V ( g 2 + h* -J- k* ) ; ce sera l’espace parcouru par le mouvement composé, pendant le temps t; d’où l’on voit que ce mouvement sera aussi uniformément accéléré , et dû à une force accélératrice égale à V (g* + h* -f- k 1 ). Et comme les lignes i g t* , iht*, i k t* sont les projections de la ligne J t* V -f- A* -j- k 1 ) sur les trois axes,

les rapports y * ) > v(r + /,■ -+- *•) ' Vu +A -f- k )

seront les cosinus des angles que la direction du mouvement composé fera avec les mêmes axes.

O.i voit par-là que laccmposition des mouvemensuciformément accélérés suit les memes règles que celle des mouvemens uniformes , et que par conséquent la composition et décomposition des forces se fait de la même

manière

manière que celle des vitesses ; de sorte que les formules trouvées dans le numéro précédent s’appliqueront également aux forces accélératrices , en substituant simplement les forces aux vitesses.

Ainsi, si un mobile est sollicité à la fois par deux forces G et H, suivant des directions données , dont les angles avec trois axes perpendiculaires entre eux soient respectivement «, , j 3 , y et À , fx , *, il en résultera , suivant les directions des trois axes , les forces composées G cos. a. + H cos. X , G cos. fi + H cos. [a , G cos. y -f- H cos. v ; et si K est la force unique résultant de celles-ci , en nommant tt , p , <r les angles que sa direction fera avec les mêmes axes , on aura les équations

K cos. 7 r = G cos. «c -f -H cos. X ,

K cos. p = G cos. fi + H cos. ai ,

K cos. or = G cos. y H cos. r.

194. Si les mouvemens , suivant les axes des coordonnées, étaient composés d’uniformes et d’uniformément accélérés , de manière que l’on eût x = at -f- îgt’j y = ht + | Af s , 3 = et -f- ikt 1 , alors la ligne décrite en vertu de ces mouvemens , ne serait plus droite , elle serait seulement dans un même plan passant par l’origine des coordonnées ; car , ea éliminant t et r 1 des trois équations , on aurait une équation de la forme Ix m y -f- = o. Mais on peut composera part les trois mouvemens

uniformes et les trois mouvemens uniformément accélérés ; et il en résultera un mouvement composé d’un simple mouvement uniforme suivant une direction donnée, et d’un simple mouvement uniformément accéléré suivant une autre direction donnée.

La nature nous présente aussi la combinaison de ces mouvemens dans les projectiles lancés obliquement à l’horizon , en faisant abstraction de la résistance de l’air. Le mouvement uniforme , effet de la vitesse imprimée, se continue en ligne droite , comme s’il était seul ; et le mouvement uniformément accéléré , effet de la gravité du corps , se continue aussi verticalement de haut en bas , comme s’il était unique dans le mobile de manière qu’au bout d’un temps quelconque , le corps se trouvera au même point où il serait si ces deux mouvemens s’effectuaient successivement

zj* THÉO’RIE'

et indépendamment l’un de l’autre ; et à chaque instant , Te corps a à 'a foi % la vitesse du mouvement uniforme et la vitesse du mouvement uniformément accéléré , et de ces deux vitesses suivant des directions différentes , se compose la vitesse du projectile.

Soit H la hauteur d’où il faudrait qu’un corps tombât pour acquérir la vitesse avec laquelle le projectile est lancé obliquement a l’horizon cette vitesse sera exprimée par ^ zH , en prenant la force accélératrice de la gravité pour l’unité ( n.° 18g ). De-!à , en prenant les abscisses x horizontales et dans le plan de la ligne de projection , et les ordonnées y verticales et dirigées de haut en bas , et nommant «. l’inclinaison de la ligne de projection avec l'horizontale et verticales : donc , les expressions de x et y deviendront x = t^zll cos. a. et y = t \j z H sin'. «. — j t%. parce que la direction de la gravité étant contraire à celle des ordonnées y, le terme j ? dû à l’accélération de la gravité , doit être pris négativement.

En éliminant t de ces équations , on aura y = x tang. a — 4^ cos

équation à une parabole , d’où l’on pourra déduire les propriétés connues^ de la trajectoire des projectiles dans le vide ; mais ce n’est pas ici le-lieu d’entrer dans ce détail.

inf. Considérons maintenant un mouvement quelconque , et supposons; que les coordonnées x , y , ^ de la courbe décrite par le mobile , soient des fonctions données du temps t , comme dans le n. # 190. Dans un* instant quelconque , au bout du temps t , le corps aura , suivant la. direction de l’axe des x , la vitesse x' et la force accélératrice x“ ( n.° 1 8g );. il aura pareillement , suivant la direction de l’axe des y, la vitesse y 1 et la force accélératrice y" ; et suivant la direction de l’axe des ^ , la vitesse ^ et la force accélératrice ç". Donc , les trois vitesses x 1 , y 1 , donneront la vitesse composée \J ( ad*»-}- y lz -{- f 1 ) , que nous appellerons u dont la direction fera , avec les trois axes, des angles dont les cosinus / / /

seront — ~ , --- ; de sorte que , nommant a , /3 , y ces angles r

on aura

x' = u cos. a , y' =: u cos. /B , = u cos. y ^

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. *3 y

c’est ce qui résulte de la théorie du n.® 1 83 , combinée avec celle du n.° 191. •

Nous remarquerons d’abord ici que l’expression de la vitesse u du mobile est la même que celle de la fonction prime de l’arc de la courbe parcourue (n.® dé sorte que nommant, en général, s l’espace cunilignc

parcouru par le corps , et le regardant comme une fonction du temps , on aura s 1 pour la vitesse réelle du mobile, comme si le mouvement- était rectiligne. Nous remarquerons ensuite que la direction de cette vitesse sera la même que celle de la tangente de la courbe ; car , par les formules du n.® 140 , on voit que y' et sont les tangentes des angles que la tangente de la courbe projetée sur le plan des x et y et sur celui des x et ^ , fait avec l’axe des x ,• mais comme , d3ns ces formules , y et f sont supposées fonctions de x , pour le* appliquer au cas où l’on suppose x,y , ç fonctions d’une troisième variable t , il faudra , suivant la remarque du

n.® 63 , substituer et à la place de y' et ç' , de sorte que les

tangentes des angles dont il s’agit seront exprimées par

et

ces angles seront donc les nfêmes que ceux des projections sur les mêmes plans de la ligne qui serait décrire par la vitesse composée de trois vitesses x y 7 1 (n* ig t ) ; par conséquent , cette ligne coïncidera avec la tangente de la courbe. De- la, il suit que si les causes qui empêchent le mouvement d’être rectiligne et uniforme , venaient à cesser subitement dans un instant quelconque , le mobile continuerait son mouvement pat la tangente , avec une vitesse égale à la fonction prime de l’arc décrit.

ig 5 . Les trois forces accélératrices x" , y", donneront de même ( n.®’ 1 88 et igy ) une force unique exprimée par V( x ,n -f- y "* -f- f 1 ), qr.j nous appellerons P , et dont la direction fera, avec les trojs axes des

coordonnées x , y , f , des angles dont les cosinus seront , ~jT > %

de sorte que, nommant X, fx, » ces angles, on aura

x" = P cos. X, y" = r cos. fx , = P cos. ».

Ala^ , connaissant la loi du mouvement clu corps, c’est-à-dire , les valeurs

i 3 6 THÉORIE

de x ,y , ç en / on pourra trouver, par ces équations, laiorce accéléra trier et sa direction à chaque insrant ; et réciproquement, connaissant la force P avec les angles A‘, ju, », on aura trois équations du second ordre qui serviront à déterminer x , y et ^ en t. Les problèmes de la première espèce ne dépendent que de l’analyse directe des fonctions, et sont, par conséquent, toujours résolubles; ceux de la seconde espèce dépendent* de l’analyse inverse des fonctions , et sont sujets à toutes les difficultés de cette analyse.

Si le mobile était sollicité à la fois par deux forces accélératrices P et Çl suivant des directions faisant, avec les axes des x, y , des angles A, /-t, * pour la force P, et 7r, p , <r pour la force Q, on aurait, par les formulesdes numéros cités r

x 11 = P COS. X + Q COS. 7T

y" = P cos. /x -f-* Q cos. p ,

f 1 = P COS. » + Q COS. cr ;

et ainsi dé suite, pour tel nombre de forces qu’on voudra;

197. Supposons que les directions des forces P , Q fassent , avec !à*i tangente de la courbe, les angles A, T, ptllsque , dans les formules dun.° 195, les angles a , 3 , y sont 1°* mêmes que ceux de la tangenteavec les trois axes, on aura , par la formule trouvée à la fin du n.° 191,, Cos. A = cos. a. cos. A + cos. /B. cos. /jl cos. y. cos. y,, et de même

Cos. T = cos. a cos. - 7 T -f- cos. (S cos. p -f* cos. y cos. cr.

Dont , multipliant les trois dernières équations du numéro précédent par cos. a, cos. j 3 , cos. y, et les ajoutant ensemble, on aura

x" cos. a. + y" cos. /B -f- cos. y — P cos. A + Ç cos. F.

Substituant pour cos. et , cos. (S , cos. y leurs valeurs — , -*£— , -

C n* 195 )* et remarquant que ■ ■ * — est la fonction'

prime de V ( 4 * y >z + f* ) > c’est-à-dire , de s', que pan

conséquent cette quantité est égale à s", on aura l’équation

s" = P cos. A + Q cos. T,.

qni est, comme' l’on voit, semblable aux équations du mouvement} rectiligne suivant les trois axes.

Cette équation sert à déterminer directement la vitesse réelle du corpsqui est exprimée par s 1 ; et l’on voit que lesforces perpendiculaires à la tangente , n’influent en rien sur la vitesse , puisque les angles A , T étant alors droits, leurs cosinus sont nuis, ce qui détruit les termes dus à ces forces dans l’expression de s". D’où l’on peut conclure , en général , que , lorsqu’un corps est contraint de se mouvoir dans un canal d’une figure donnée , comme l’action des parois du canal sur le corps ne peut s’exercer que perpendiculairement au canal même , la vitesse du corps ne sera nullement altérée par cette action. Au contraire , les forces qui agissent suivant la tangente , produisent sur la vitesse leur plein et entier effet , comme si le mouvement du corps était rectiligne , puisque les" angles A , T devenant nuis pour ces forces , leurs cosinus sent égaux àl’unité.- *

198. La gravité et toutes les forces d’attraction connues agissent égaler ment sur toutes les parties matérielles des corps , et y produisent le même mouvement , abstraction faite de l’inégalité des forces, à raison des distances ; de sorte que l’effet de l’action de ces forces est indépendan? de la masse du corps mu , et est le même par rapport à la vitesse imprimée,, que si la masse était réduite à un point. Dans les attractions réciproques des corps , la force d’attraction est proportionnelle à la masse du corps attirant , parce que chacune de ses particules attire également ; par conséquent , le mouvement absolu imprimé au corps attiré , est simplc-r ment proportionnel à la masse du corps attirant.-

Il n’en est pas de même des forces qui ne pénètrent point dans l'intérieur des corps , et qui n’agissent qu’à l’extérieur , comme l’action des ressorts , celle de la résistance des fluides, les forces produites par la pression par la tension des fils, &c. Il est clair que ces forces ne peuvent produire le même effet -sur différens corps , à moins qu’elles ne soient proportionnelles à leurs masses ; car, si une force double , par Ami pie r agit sur un corps de masse double , c’est la même chose que si deux-’ forces simples agissent séparément sur deux masses simples ; il est clair.'

aussi que l’effet produit sur une même masse ou des masses égales , par différentes forces, c’est-à-dire , le mouvement ou la vitesse imprimée doit être proportionnelle aux forces ; ainsi , si une force F agissant sur une masse Al, y imprime la vitesse V , une force m Fagissantsur la masse mM, y imprimera encore la vitesse F"; mais la force m F agissant sur la même masse Al, lui imprimera la vitesse m V : donc la même force m F imprimera à la masse m M la vitesse V, et à la masse M la vitesse m ; d’où il suit que les vitesses imprimées par une meme force à des masses differentes , sont en raison inverse des masses. Donc , en général , l’effef d’une force donnée sur une masse donnée , est en raison directe de la force et en raison inverse de la masse , ou comme la force divisée par la masse.

Ce principe est confirmé par l’expérience ; car un ressort placé entre deux corps , et agissant également sur l’un et sur l’autre , leur imprime des vitesses en raison inverse de leurs masses. Lorsque deux corps durs mus sur la même ligne en sens opposés , viennent à se choquer avec des vitesses en raison inverse de leurs masses , iis s’arrêtent après le choc , p3r la destruction réciproque de leur mouvement ; et s’ils sont parfaitement élastiques , ils sont réfléchis en arrière , -chacun avec la même vitesse qu’il avait avant le choc.

Dans les corps pesans , comme la gravité agit également sur toutes les parties de la masse du corps, son action absolue est proportionnelle à la masse ; donc , di\ isant cette action par la masse , l’effet de la pesanteur pour imprimer du mouvement aux corps , devient indépendant de leur masse , et est le même pour tous les corps. Mais , si deux corps pesans se tiennent par un4ï! passant sur une poulie, comme les forces qui résultent de leur pesanteur, et qui sont proportionnelles aux masses , tirent le fil en sens contraire il n’y a que la différence de ces forces qui puisse leur imprimer du mouvement ; et comme les deux corps doivent se mouvoir conjointement et parcourir le même espace vertical dans le même temps , la masse totale à mouvoir est la somme des masses ; ainsi , l’action de la gravité ^feur mouvoir ces corps, se trouve diminuée en raison de la différence des masses à leur somme ; par conséquent , les espaces parcourus gu bput d’un temps quelconque , seront à ceux d’un corps pesant qui tombe

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i

F.bremsnr, dans la même raison. C’est ce que l’expéncr.ce confirme :!. la machine connue pour démontrer les lois de l’accélération dès grave

199. Il résulte du principe que nous venons d’exooser, que les forces accélératrices d’un corps doivent être estimées par les valeurs absolues des forces qui agissent sur le corps, divisées par la masse même du corps.. Ainsi, si P, Q, &c. , expriment les valeurs absolues des forces qui agissent sur un corps dont la masse est M , suivant des directions qui fassent , avec les axes des coordonnées x , y , ^ , les angles X,, ;x,i pour la force P , les angles 7 r , p , <r pour la force Q , et ainsi des autres , il faudra , dans les