PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER

ment de la fonction f(.r ij pouvait contenir un terme de la forme

«/", la fonction Ce serait nécessairement irrationnelle, et aurait, par conséquent, un certain nombre de. valeurs différentes, qur serait le même pour la fonction f ( x -l-t), ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant représenté par la série

pi -+- qr

ui'

., chaque valeur de Cr se combine-

rait avec chacune des n valeurs du radical y t m ; de sort# que la fonction f (x -+- i) développée aurait plus de valeurs différentes que la même Jonction non développée, ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que. x et / demeurent indéterminées; mais elle cesserait de l’ètre si l’on donnait à x des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces va-

leurs détruisissent quelques radicaux dans Cr, qui pourraient néanmoins subsister dans f(x -I- i). Nous examinerons plus bas (chap. V) ces cas particuliers et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction t (x-(-f) 11e saurait contenir, en général, des puissances fractionnaires de i ; il est facile de s’assurer aussi qu'il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de f.

Car, si parmi les termes de ce développement, il y en avait un de la forme m étant un nombre entier positif, en faisant i= o, ce

terme deviendrait infini; donc la fonction f(x-t- t) devrait devenir infinie lorsque i = o; par conséquent, il faudrait que Cr devint infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de x.

5. Nous étant ainsi assuré de la forme générale du développement de la fonction f(.c-f- i), voyons plus particulièrement en quoi ce développement consiste, et ce que signifie chacun de ses termes.

On voit d abord que si l’on cherche dans cette fonction ce qui est indépendant de la quantité t, il n’y a qu’à faire t — o, ce qui la réduit à Ce. Ainsi ftr est la partie de f (x -i- i) qui reste lorsque la quantité i devient nulle; de sorte que f (r -4- / ) sera égale à Cr, plus

3 ’éd.

rel&Mi

I j.iiifc - ''»' ■ ' s t ?"

, '- T fl

.■ jfl

Diç,[tifed t y j

[fl

une quantité qui doit disparaître en faisant i — o, et qui sera par conséquent, ou pourra être censée multipliée par une puissance positive de et comme nous venons de démontrer que dans le développement de ï(pc -+- i) il ne peut entrer aucune puissance fractionnaire de i, il s’ensuit que la quantité dont il s’agit ne pourra être multipliée que par une puissance positive et entière de i: elle sera donc de la forme t’P, P étant une fonction de x et i, qui ne deviendra point infinie lorsque i = o.

On aura donc ainsi

f (jt — f— i) = £r -+• «P;

donc f (.T -+-t) — £r = i P, et, par conséquent, divisible par V; la division faite, on aur^

p — Ce

Or, P étant une nouvelle fonction de x et i, on pourra de même en séparer ce qui est indépendant de i, et qui, par conséquent, ne s'évanouit pas lorsque i devient nul. Soit donc /> ce que devient P lorsqu’on fait i — o, p sera une fonction de a’ sans t; et, par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera que P = p ■+- iQ , /Q étant la partie de P qui devient nulle lorsque /' = o, et Q étant une nouvelle fonction de .r et i qui ne devient pas infinie lorsque i — o.

On aura donc P — p = iQ, et, par conséquent, divisible par i ; la division faite, on aura

Soit <j la valeur de Q, en y faisant i — o, q sera une fonction de x ' sans i, et la partie de Q, qui devient nulle lorsque i devient nul, sera, comme ci-dessus, de la forme «R, R étant une fonction de x et i, qui ne deviendra pas infinie lorsque i = o, et qu'on trouvera en divisant Q — q par i, et ainsi de suite.