CHAPITRE PREMIER

Développement en série d'une Jonction d une variable, lorsqu'on attribue un accroissement à cette variable. Formation successive des termes de la série. Théorème important sur la nature de ces séries.

I. Nous désignerons, en général, par la caractéristique f ou F, placée devant une variable, toute fonction de cette variable, c’està-dire toute quantité dépendante de cette variable, et qui varie avec elle suivant une loi donnée. Ainsi f.c ou Fx désignera une fonction de la variablè x; mais, lorsqu’on voudra désigner la fonction d’une quantité déjà composée de cette variable, comme x*, a -4- bx, etc., on renfermera cette quantité entre deux parenthèses. Ainsi £r désignera une fonction de x; f(x’), f(a-h bx) , etc., désigneront des fonctions de x*, de a -f- bx, etc.

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes, comme de x, y, nous écrirons f (x, y), et ainsi des autres,

Lorsque nous voudrons employer d’autres caractéristiques pour marquer les fonctions, nous aurons soin d'en avertir.

Considérons donc une fonction fx d’une variable quelconque x. Si à la place de x on y met x -t- i, i étant une quantité quelconque

indéterminée, elle deviendra f (x -f- i), et par la théorie des séries on pourra la développer en une série de cette forme

fx-1 -pi -4- qP -4- rP -4-

dans laquelle les quantités />, q, r, etc., coefficients des puissances de i seront de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonction primitive x, et indépendantes de l’indéterminée i.

2. Mais pour ne rien avancer gratuitement, nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit représenter le développement de toute fonction £r, lorsqu’on y substitue x -4 - 1 à la place de .r, et que nous avons supposée ne devoir contenir que des puissances entières et positives de t.

Cette supposition se vérifie, en effet, par le développement des différentes fonctions connues, mais personne, que je sache, n’a cherché à le démontrer à priori; ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire, qu’il y a des cas particuliers où elle ne peut pas avoir lieu. D’ailleurs, le calcul différentiel porte expressément sur cette même supposition, et les cas qui font exception sont précisément ceux où le calcul a été accusé d’être en défaut.

Je vais d’abord démontrer que, dans la série résultante du développement de la fonction f (x 1 ) , il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de i, à moins qu'on ne donne à x des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de i ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction primitive fx, et il est clair en même temps que la substitution de x -4- i, au lieu de x, ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre de ces radicaux, ni en changer la nature, tant que x et i sont des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a, par conséquent, autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développe-